柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

解析几何教案第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲面1第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲线教学目的:1.掌握消去参数法，能运用此法熟练地求出一般柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.能识别母线平行于坐标轴的柱面方程,顶点在坐标原点的锥面方程,旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程.掌握求这些特殊位置的特殊曲面方程的方法,并能识别曲面的大致形状.3.掌握平行截线法,能运用此法讨论二次曲面的方程,认识曲面的形状.4.掌握椭球面、双曲面与抛物面的标准方程与主要性质.5.了解单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性,并能掌握求直母线的方法.6.能根据给定条件,较准确地作出空间区域的简图.重点难点:1.柱面、锥面、旋转曲面的定义和一般方程的求法是重点,寻找柱面、锥面、旋转曲面的准线是难点.2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程、性质与形状是重点,一般二次曲面方程的灵活多样是难点.3.二次直纹面的性质及直母线方程求法是重点,证明单叶双曲面与双曲抛物面的一些性质难点.4.空间区域的作图是重点,其中在作空间区域时,分析并作出几个曲面的交线是难点.§4.1柱面一.柱面的定义空间中由平行于定方向且与定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫柱面.柱面的方向:定方向;准线:定曲线;母线:一族平行线中的每一条直线.柱面由其准线和定方向唯一确定,但对于一柱面,准线不唯一.二.柱面的方程在空间直角坐标系下,柱面准线方程0),,(0),,(21zyxFzyxF解析几何教案第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲面2(1)母线的方向数X,Y,Z.即ZYXv,,(2)任取柱面准线上一点),,(1111zyxM则过此点的母线方程为ZzzYyyXxx111且有0),,(1111zyxF,0),,(1112zyxF.从而消去参数111,,zyx最后得到一个三元方程0),,(zyxF，这就是以0),,(0),,(21zyxFzyxF为准线,母线的方向数X,Y,Z的柱面方程.三.例题讲解例1.柱面的准线方程为2221222222zyxzyx母线的方向数为－1,0,1.求这柱面的方程.解设),,(1111zyxM是准线上的点,那么过),,(1111zyxM的母线为101111zzyyxx,且2221212121212121zyxzyx(1)设tzzyyxx101111,那么,1txxyy1,tzz1,代入(1)得2)(2)(21)()(222222tzytxtzytx可得0)(2tz,即zt求得柱面方程为1)(22ytx.例2.已知圆柱面的轴为21211zyx,点(－1,－2,1)在此圆柱上,求这柱面的方程.解法一因为圆柱面的母线平行于其轴,所以母线的方向数即为轴的方向数－1,－2,－2.若能求出圆柱面的准线圆,问题即解决了.空间的圆总可以看成是某一球面与一平面的交线,此圆柱面的准线圆可以看成是以轴上的点(0,－1,－1)为中心,点(0,－1,－1)到已知点(－1,－2,1)的距离14d为半径的球面14)1()1(222zyx与过知点(－1,－2,1)且垂直于解析几何教案第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲面3轴的平面0322zyx的交线,即准线圆的方程为032214)1()1(222zyxzyx设),,(111zyx为准线圆上的点,那么14)1()1(212121zyx,0322111zyx且过的),,(111zyx母线为221111zzyyxx.消去参数111,,zyx即得所求的圆柱面方程0991818844558222zyyzxzxyzyx.解法二将圆柱面看成是动点到轴线等距离的点的轨迹,这里的距离就是圆柱面的半径.轴的方向矢量为2,2,1v,轴上的定点为)1,1,0(0M,而圆柱面上的点为)1,2,1(1M,所以2,3,110MM,因此)1,2,1(1M到轴的距离为311710vvMMd再设),,(zyxM为圆柱上任意点,那么有31170vvMMd即3117)2()2(1211121221122222yxxxzy化简整理得0991818844558222zyyzxzxyzyx.定理4.1.1在空间直角坐标系中，只含两个元（坐标）的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元(坐标)的同名坐标轴。(即证方程0),(yxF（11）表示的曲面是一个柱面，而且它的母线平行与z轴)证取曲面（11）与xOy坐标面的交线00),(zyxF（12）为准线，z轴的方向0：0：1为母线方向，来建立这样的柱面方程。设)0,,(111yxM为准线(12)上的任意一点，那么过1M的母线为解析几何教案第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲面410011zyyxx，即11yyxx（13）又因为)0,,(111yxM在准线（12）上，所以有0),(11yxF（14）（13）代入（14）消去参数11,yx，就得所求的柱面方程为0),(yxF，这就是方程（11），所以方程（11）就是一个母线平行于z轴的柱面。常见柱面方程(1)椭圆柱面)0(12222babyax(2)圆柱面222Ryx(3)双曲柱面)0,(12222babyax(4)抛物柱面pxy22空间曲线的射影柱面通过空间曲线L作柱面,使其母线平行于坐标轴OzOyOx或,,轴,设这样的柱面方程分别为0),(1zyF,0),(2zxF,0),(3yxF这三个柱面分别叫曲线L对xOyxOzyOz与,坐标面的射影柱面.作业4,3,2,1147P解析几何教案第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲面5§4.2锥面一.锥面定义空间中由通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫锥面.锥面的顶点:定点;母线:一族直线;准线:定曲线.二.锥面的方程空间直角坐标系下,顶点为),,(000zyxA,准线方程:0),,(0),,(21zyxFzyxF任取准线上一点),,(1111zyxM,则过此点的母线方程为010010010zzzzyyyyxxxx且0),,(1111zyxF,0),,(1112zyxF.从而消去参数111,,zyx最后得到一个三元方程0),,(zyxF这就是以0),,(0),,(21zyxFzyxF为准线,),,(000zyxA为顶点的锥面方程.例1、锥面的顶点在原点，且准线为czbyax12222，求锥面的方程。解设),,(1111zyxM为准线上的任意一点，那么过),,(1111zyxM的母线为111zzyyxx，（1）且有12222byax（2）cz1（3）由（1）（3）的zycyzxcx11,（7）（7）代入（5）得所求的锥面方程为122222222zbyczaxc，或把它改写为0222222czbyax，这个锥面叫做二次锥面。二.锥面与齐次方程解析几何教案第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲面6定理4.2.1一个关于x,y,z的齐次方程总表示顶点在原点的锥面.证设有关于关于x,y,z的齐次方程0),,(zyxF,那么根据齐次方程的定义有),,(),,(zyxFttztytxF所以.0)0,0,0(0Ft有时，当曲面过原点.再设非原点),,(0000zyxM满足方程,即有0),,(000zyxF那么直线0OM的方程为tzztyytxx000代入0),,(zyxF,即有0),,(),,(000000zyxFttztytxF.所以整条直线都在曲面上,因此曲面0),,(zyxF是由通过坐标原点的直线组成,即他是以原点为顶点的锥面.虚锥面0222zyx推论关于000,,zzyyxx的齐次方程表示顶点在),,(000zyx的锥面.作业5,4,2,1151P解析几何教案第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲面7§4.3旋转曲面一.旋转曲面的定义空间一条曲线绕着定直线l旋转一周所产生的曲面叫旋转曲面(回旋曲面)母线:曲线;旋转轴(轴):定直线l.纬线:旋转曲面母线上任一点在旋转时所形成的一个圆,称之为线圆(纬线).经线:以轴l为界的每个半平面与曲面交成一条曲线,称为经线.(平面曲线)二.旋转曲面的方程1.一般情形下的曲面方程空间直角坐标系下,旋转曲面母线方程:0),,(0),,(21zyxFzyxF轴l:ZzzYyyXxx000任取母线上一点),,(1111zyxM,则过此点的线圆方程为:0)()()()()()()()()(111201201201202020zzZyyYxxXzzyyxxzzyyxx且有0),,(1111zyxF,0),,(1112zyxF.消去参数111,,zyx最后得到一个三元方程0),,(zyxF,此即为以为准线,l为轴的旋转曲面的方程.例1求直线0112zyx绕直线zyx旋转所得的旋转曲面的方程.解设),,(1111zyxM是母线上的任意点,因为旋转轴通过原点,所以过1M的纬圆方程是2121212221110)()()(zyxzyxzzyyxx由于),,(1111zyxM是母线上的点,所以又有0112111zyx,即1,2111zyx.消去参数111,,zyx最后得到旋转曲面方程为07)()(5)(2222zyxyzxzxyzyx2.以坐标面上的曲线为准线、坐标轴为轴的旋转曲面的方程旋转曲面的经线可作为母线,通常把母线所在平面取作坐标面而旋转轴取作解析几何教案第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲面8坐标轴,此时旋转曲面的方程具有特殊的形式.设旋转曲面的母线为:00),(xzyF,旋转轴为y轴,010zyx若),,0(111zyM为母线上的任意点,那么过1M的纬圆为212122210zyzyxyy,且有0),(11zyF,消去参数11,zy得所求的旋转曲面的方程为0),(22zxyF.同样若将曲线绕z轴旋转所得的旋转曲面的方程是0),(22zyxF.因此,当坐标轴上的曲线绕此坐标平面里的一个坐标轴旋转时,为了求出这样的旋转曲面的方程,只要将曲线在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标,而以其它两个坐标平方和的分方根来代替方程中的另一根.例2将椭圆:0)(02222zbabyax分别绕长轴(x轴)与短轴(y轴)旋转,求所得旋转曲面的方程.解旋转轴是x轴,同名坐标是x,在方程)(02222babyax中保留坐标x不变,用22yx代y,便得到椭圆绕其长轴旋转的曲面方程为1222222bzbyax.同样将椭圆绕其短轴旋转的曲面方程为1222222azbyax.上述二曲面分别叫长形旋转椭球面,扁形旋转椭球面.例3将双曲线:012222xcybx绕虚轴(z轴)旋转的旋转曲面方程为1222222czbybx;绕实轴(y轴)旋转的旋转曲面方程为1222222czcybx.分别称为单叶旋转双曲面与双叶旋转双曲面.例4将抛物线:022xpxy绕它的对称轴旋转的旋转曲面方程为解析几何教案第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲面9pxyx222称之为旋转抛物面.例5将圆:0)0()(222xabazby绕z轴旋转,求所得旋转曲面的方程.解绕z轴旋转,所以在方程222)(azby中保留z不变,而y用22yx代替就得到旋转曲面方程22222)(azbyx,或)(4)(222222222yxbabzyx作业2,115