高二数学选修2-3第一章测试题(含答案)[精品文档]

开封市第十中学高二数学选修2-3第一章测试题一．选择题（每题5分，满分60分）1．四个同学，争夺三项冠军，冠军获得者可能有的种类是()A．4B．24C．43D．34[答案]C[解析]依分步乘法计数原理，冠军获得者可能有的种数是4×4×4＝43.故选C.2．210所有正约数的个数共有()A．12个B．14个C．16个D．20个[答案]C[解析]由210＝2·3·5·7知正约数的个数为2·2·2·2＝16.∴选C.3．设m∈N*，且m＜15，则(15－m)(16－m)…(20－m)等于()A．A615－mB．A15－m20－mC．A620－mD．A520－m[答案]C[解析]解法1：(15－m)(16－m)…(20－m)＝(20－m)(19－m)……[(20－m)－6＋1]＝A620－m.解法2：特值法．令m＝14得1×2×3×4×5×6＝A66.∴选C.4．A、B、C、D、E五人站成一排，如果A必须站在B的左边(A、B可以不相邻)，则不同排法有()A．24种B．60种C．90种D．120种[答案]B[解析]5个人全排列有5！＝120种、A在B左边和A在B右边的情形一样多，∴不同排法有12×120＝60种．5．在(x－3)10的展开式中，x6的系数是()A．－27C610B．27C410C．－9C610D．9C410[答案]D[解析]∵Tr＋1＝Cr10x10－r(－3)r.令10－r＝6，解得r＝4.∴系数为(－3)4C410＝9C410.6．用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．36B．30C．40D．60[答案]A[解析]奇数的个位数字为1、3或5，偶数的个位数字为2、4.故奇数有35A35＝36个．7．6人站成一排，甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列的总数为()A．A66B．3A33C．A33·A33D．4！·3![答案]D[解析]甲、乙、丙三人站在一起有A33种站法，把3人作为一个元素与其他3人排列有A44种，∴共有A33·A44种．故选D.8．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为()A．720B．144C．576D．684[答案]C[解析]“不能都站在一起”与“都站在一起”是对立事件，由间接法可得A66－A33A44＝576.[点评]不能都站在一起，与都不相邻应区分．9．C9798＋2C9698＋C9598等于()A．C9799B．C97100C．C9899D．C98100[答案]B[解析]原式＝C9798＋C9698＋C9698＋C9598＝C9799＋C9699＝C97100，故选B.10．已知集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{1,2}，若集合M满足BMA，则不同集合M的个数为()A．12B．13C．14D．15[答案]C[解析]∵BM，∴M中必含有1、2且至少含有3、4、5、6中的一个元素，又MA，∴M≠A，∴M的个数为C14＋C24＋C34＝14个．11．某年级有6个班，分别派3名语文教师任教，每个教师教2个班，则不同的任课方法种数为()A．C26·C24·C22B．A26·A24·A22C．C26·C24·C22·C33D.A26·C24·C22A33[答案]A12．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为()A．2n－1B．2n－1C．2n＋1－1D．2n[答案]C[解析]解法一：令x＝1得，1＋2＋22＋…＋2n＝1×(2n＋1－1)2－1＝2n＋1－1.解法二：令n＝1，知各项系数和为3，排除A、B、D，选C.二．填空题（每小题5分，满分20分）13．三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为________．[答案]24[解析]“每人两边都有空位”是说三个人不相邻，且不能坐两头，可视作5个空位和3个人满足上述两要求的一个排列，只要将3个人插入5个空位形成的4个空档中即可．∴有A34＝24种不同坐法．14．方程Cx17－Cx16＝C2x＋216的解集是________．[答案]{5}[解析]因为Cx17＝Cx16＋Cx－116，所以Cx－116＝C2x＋216，由组合数公式的性质，得x－1＝2x＋2或x－1＋2x＋2＝16，得x1＝－3(舍去)，x2＝5.15．方程组x2＋y2＝3，y2＋z2＝4，z2＋x2＝5.有________组解．[答案]8[解析]由方程组x2＋y2＝3，y2＋z2＝4，z2＋x2＝5.可得x2＝2，y2＝1，z2＝3.因此在{2，－2}，{1，－1}，{3，－3}中各取一个即可构成方程组的一组解，由分步乘法计数原理共有2×2×2＝8组解．16．(2010·湖北文，11)在(1－x2)10的展开式中，x4的系数为________．[答案]45[解析]本题主要考查二项式定理．(1－x2)10的展开式中，只有两个括号含x2的项，则x4的系数为C210(－1)2＝45三、解答题17．（满分12分）求和：12！＋23！＋34！＋…＋n(n＋1)！.[解析]∵k(k＋1)！＝k＋1－1(k＋1)！＝k＋1(k＋1)！－1(k＋1)！＝1k！－1(k＋1)！，∴原式＝11－12！＋12！－13！＋13！－14！＋…＋1n！－1(n＋1)！＝1－1(n＋1)！.18．（满分10分）用1、2、3、4、5、6、7这7个数字组成没有重复数字的四位数．(1)这些四位数中偶数有多少个？能被5整除的有多少个？(2)这些四位数中大于6500的有多少个？[解析](1)偶数的个位数只能是2、4、6有A13种排法，其它位上有A36种排法，由分步乘法计数原理知共有四位偶数A13·A36＝360个；能被5整除的数个位必须是5，故有A36＝120个．(2)最高位上是7时大于6500，有A36种，最高位上是6时，百位上只能是7或5，故有2×A25种．∴由分类加法计数原理知，这些四位数中大于6500的共有A36＋2A25＝160个．19．（满分12分）一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？(以上两个题只列出算式)[解析](1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A25种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A66种排法，故共有A25A66种排法．(2)先不考虑排列要求，有A88种排列，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A45A44种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(A88－A45A44)种．20．（满分12分）六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站右端，也不站左端；(2)甲、乙站在两端；(3)甲不站左端，乙不站右端．[解析](1)解法一：因甲不站左右两端，故第一步先从甲以外的5个人中任选二人站在左右两端，有A25种不同的站法；第二步再让剩下的4个人站在中间的四个位置上，有A44种不同的站法，由分步乘法计数原理共有A25·A44＝480种不同的站法．解法二：因甲不站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有A14种不同的站法；第二步再让余下的5个人站在其他5个位置上，有A55种不同的站法，故共有A14·A55＝480种不同的站法．解法三：我们对6个人，不考虑甲站位的要求，做全排列，有A66种不同的站法；但其中包含甲在左端或右端的情况，因此减去甲站左端或右端的排列数2A55，于是共有A66－2A55＝480种不同的站法．(2)解法一：首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有A22种不同的站法；再让其他4个人在中间4个位置做全排列，有A44种不同的站法，根据分步乘法计数原理，共有A22·A44＝48种不同的站法．解法二：“位置分析法”，首先考虑两端2个位置，由甲、乙去站，有A22种站法，再考虑中间4个位置，由剩下的4个人去站，有A44种站法，根据分步乘法计数原理，共有A22·A44＝48种不同的站法．(3)解法一：“间接法”，甲在左端的站法有A55种，乙在右端的站法有A55种，而甲在左端且乙在右端的站法有A44种，故共有A66－2A55＋A44＝504种不同的站法．解法二：“直接法”，以元素甲的位置进行考虑，可分两类：a.甲站右端有A55种不同的站法；b.甲在中间4个位置之一，而乙不在右端，可先排甲后排乙，再排其余4个，有A14·A14·A44种不同的站法，故共有A55＋A14·A14·A44＝504种不同的站法．21．（满分12分）有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本；(3)甲、乙、丙各得3本．[分析]由题目可获取以下主要信息：①9本不同的课外书分给甲、乙丙三名同学；②题目中的3个问题的条件不同．解答本题先判断是否与顺序有关，然后利用相关的知识去解答．[解析](1)分三步完成：第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C49种方法；第二步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有C35种方法；第三步：把剩下的书给丙有C22种方法，∴共有不同的分法有C49·C35·C22＝1260(种)．(2)分两步完成：第一步：将4本、3本、2本分成三组有C49·C35·C22种方法；第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A33种方法，∴共有C49·C35·C22·A33＝7560(种)．(3)用与(1)相同的方法求解，得C39·C36·C33＝1680(种)．22．（满分12分）已知在(3x－123x)n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．[解析](1)Tr＋1＝Crn·(3x)n－r·(－123x)r＝Crn·(x13)n－r·(－12·x－13)r＝(－12)r·Crn·xn－2r3.∵第6项为常数项，∴r＝5时有n－2r3＝0，∴n＝10.(2)令n－2r3＝2，得r＝12(n－6)＝2，∴所求的系数为C210(－12)2＝454.(3)根据通项公式，由题意得：10－2r3∈Z0≤r≤10r∈Z令10－2r3＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝10－3k2＝5－32k.∵r∈Z，∴k应为偶数，∴k可取2,0，－2，∴r＝2,5,8，∴第3项、第6项与第9项为有理项．它们分别为C210·(－12)2·x2，C510(－12)5，C810·(－12)8·x－2.