反常积分法的收敛判别法

反常积分的Cauchy收敛原理下面以∫∞+adxxf)(为例来探讨反常积分敛散性的判别法。由于反常积分∫∞+adxxf)(收敛即为极限limA→+∞∫Aadxxf)(存在，因此对其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的Cauchy收敛原理，它可以表述为如下形式：§2反常积分的收敛判别法定理8.2.1（Cauchy收敛原理）反常积分fxdxa()+∞∫收敛的充分必要条件是：对任意给定的0ε，存在aA≥0，使得对任意AAA,′≥0，有ε∫′AAdxxf)(。反常积分的Cauchy收敛原理下面以∫∞+adxxf)(为例来探讨反常积分敛散性的判别法。由于反常积分∫∞+adxxf)(收敛即为极限limA→+∞∫Aadxxf)(存在，因此对其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的Cauchy收敛原理，它可以表述为如下形式：§2反常积分的收敛判别法定义8.2.1设fx()在任意有限区间[,]aA⊂+∞[,)a上可积，且|()|fxdxa+∞∫收敛，则称∫∞+adxxf)(绝对收敛（或称fx()在[,)a+∞上绝对可积）。若∫∞+adxxf)(收敛而非绝对收敛，则称∫∞+adxxf)(条件收敛（或称fx()在[,)a+∞上条件可积）。推论若反常积分∫∞+adxxf)(绝对收敛，则它一定收敛。证对任意给定的0ε，由于|()|fxdxa+∞∫收敛，所以存在aA≥0，使得对任意AAA,′≥0，成立ε∫′AAdxxf|)(|。利用定积分的性质，得到≤∫′AAdxxf)(ε∫′AAdxxf|)(|，由Cauchy收敛原理，可知∫∞+adxxf)(收敛。虽然Cauchy收敛原理是判别反常积分收敛性的充分必要条件，但是对于具体的反常积分，在使用上往往比较困难，因此需要导出一些便于使用的收敛判别法。我们先讨论非负函数反常积分的收敛判别法。非负函数反常积分的收敛判别法定理8.2.2（比较判别法）设在[,)a+∞上恒有)()(0xKxfϕ≤≤，其中K是正常数。则（1）当∫∞+adxx)(ϕ收敛时∫∞+adxxf)(也收敛；（2）当∫∞+adxxf)(发散时∫∞+adxx)(ϕ也发散。例8.2.1讨论∫∞++123sin2cosdxaxxx的敛散性（a是常数）。解因为当1x≥时有xxaxxx1sin2cos23≤+，在例8.1.2中，已知11xxdx+∞∫收敛，由比较判别法，∫∞++123sin2cosdxaxxx绝对收敛，所以∫∞++123sin2cosdxaxxx收敛。注意：在以上定理中，条件“在[,)a+∞上恒有)()(0xKxfϕ≤≤”，可以放宽为“存在aA≥，在),[∞+A上恒有)()(0xKxfϕ≤≤”。推论（比较判别法的极限形式）设在[,)a+∞上恒有()0fx≥和0)(≥xϕ，且lxxfx=+∞→)()(limϕ，则⑴若0≤+∞l，则∫∞+adxx)(ϕ收敛时∫∞+adxxf)(也收敛；⑵若0≤+∞l，则∫∞+adxx)(ϕ发散时∫∞+adxxf)(也发散。所以，当0l+∞时，∫∞+adxx)(ϕ和∫∞+adxxf)(同时收敛或同时发散。证⑴若+∞=+∞→lxxfx)()(limϕ，则存在常数Aa≥，当Ax≥时成立1)()(+lxxfϕ，即)()1()(xlxfϕ+。于是，由比较判别法，当∫∞+adxx)(ϕ收敛时∫∞+adxxf)(也收敛。⑵若0)()(lim=+∞→lxxfxϕ，存在常数Aa≥，使得当Ax≥时成立lxxf′)()(ϕ，其中ll′0（当+∞=l时，l′可取任意正数）即)()(xlxfϕ′。于是，由比较判别法，当∫∞+adxx)(ϕ发散时∫∞+adxxf)(也发散。证⑴若+∞=+∞→lxxfx)()(limϕ，则存在常数Aa≥，当Ax≥时成立1)()(+lxxfϕ，即)()1()(xlxfϕ+。于是，由比较判别法，当∫∞+adxx)(ϕ收敛时∫∞+adxxf)(也收敛。例8.2.2讨论1352143231xxxxdx+++−+∞∫的敛散性。解因为limx→+∞xxxxx43432335211+++−=由于1431xdx+∞∫收敛，所以1352143231xxxxdx+++−+∞∫收敛。例8.2.2讨论1352143231xxxxdx+++−+∞∫的敛散性。解因为limx→+∞xxxxx43432335211+++−=由于1431xdx+∞∫收敛，所以1352143231xxxxdx+++−+∞∫收敛。将定理8.2.2中的ϕ()x取为1xp，就得到如下的Cauchy判别法：定理8.2.3（Cauchy判别法）设在[,)a+∞⊂+∞(,)0上恒有fx()≥0，K是正常数。⑴若fxKxp()≤，且p1，则∫∞+adxxf)(收敛；⑵若fxKxp()≥，且p≤1，则∫∞+adxxf)(发散。推论（Cauchy判别法的极限形式）设在[,)a+∞⊂+∞(,)0上恒有fx()≥0，且lim()xpxfxl→+∞=，则⑴若0≤+∞l，且p1，则∫∞+adxxf)(收敛；⑵若0≤+∞l，且p≤1，则∫∞+adxxf)(发散。例8.2.3讨论xdxaxe−+∞∫0的敛散性（R∈a）。解因为对任意常数R∈a，有limx→+∞0)e(2=−xaxx，由Cauchy判别法的极限形式（1），可知xdxaxe−+∞∫0收敛。推论（Cauchy判别法的极限形式）设在[,)a+∞⊂+∞(,)0上恒有fx()≥0，且lim()xpxfxl→+∞=，则⑴若0≤+∞l，且p1，则∫∞+adxxf)(收敛；⑵若0≤+∞l，且p≤1，则∫∞+adxxf)(发散。一般函数反常积分的收敛判别法我们先证明一个重要结果。定理8.2.4（积分第二中值定理）设fx()在[,]ab上可积，gx()在[,]ab上单调，则存在ξ∈[,]ab，使得∫badxxgxf)()(∫∫+=badxxfbgdxxfagξξ)()()()(。证我们只对fx()在[,]ab上连续，gx()在[,]ab上单调且)('xg在[,]ab上可积的情况加以证明。记Fx()=∫xadttf)(，则)(xF在],[ba连续，且Fa()=0。由于fx()在[,]ab上连续，于是)(xF是fx()在[,]ab上的一个原函数，利用分部积分法，有∫badxxgxf)()(baxgxF)()(=−′∫Fxgxdxab()()。∫badxxgxf)()(baxgxF)()(=−′∫Fxgxdxab()()上式右端的第一项)()()()(bgbFxgxFba==∫gbfxdxab()()，而在第二项中，由于gx()单调，因此′gx()保持定号，由积分第一中值定理，存在ξ∈[,]ab，使得=′=′∫∫babadxxgFdxxgxF)()()()(ξ∫−ξadxxfagbg)()]()([，于是fxgxdxab()()∫=∫gbfxdxab()()∫−−ξadxxfagbg)()]()([∫∫+=badxxfbgdxxfagξξ)()()()(。注在定理8.2.4的假设下，还有如下结论：（1）若)(xg在[,]ab上单调增加，且0)(≥ag，则存在ξ∈[,]ab，使得∫badxxgxf)()(∫=bdxxfbgξ)()(；（2）若)(xg在[,]ab上单调减少，且0)(≥bg，则存在ξ∈[,]ab，使得=∫badxxgxf)()(∫ξadxxfag)()(。定理8.2.5若下列两个条件之一满足，则fxgxdxa()()+∞∫收敛：⑴（Abel判别法）∫∞+adxxf)(收敛，gx()在[,)a+∞上单调有界；⑵（Dirichlet判别法）FAfxdxaA()()=∫在[,)a+∞上有界，gx()在[,)a+∞上单调且lim()xgx→+∞=0。证设ε是任意给定的正数。⑴若Abel判别法条件满足，记G是|()|gx在[,)a+∞的一个上界，因为fxdxa()+∞∫收敛，由Cauchy收敛原理，存在aA≥0，使得对任意AAA,′≥0，有GdxxfAA2)(ε∫′。由积分第二中值定理，∫′AAdxxgxf)()(∫∫′⋅′+⋅≤AAdxxfAgdxxfAgξξ)()()()(∫∫′+≤AAdxxfGdxxfGξξ)()(εεε=+22。定理8.2.5若下列两个条件之一满足，则fxgxdxa()()+∞∫收敛：⑴（Abel判别法）∫∞+adxxf)(收敛，gx()在[,)a+∞上单调有界；⑵（Dirichlet判别法）FAfxdxaA()()=∫在[,)a+∞上有界，gx()在[,)a+∞上单调且lim()xgx→+∞=0。⑵若Dirichlet判别法条件满足，记M是FA()在[,)a+∞的一个上界。此时对任意AAa,′≥，显然有MdxxfAA2)(∫′；因为lim()xgx→+∞=0，所以存在aA≥0，当xA0时，有|()|gxMε4。于是，对任意AAA,′≥0，∫′AAdxxgxf)()(∫∫′⋅′+⋅≤AAdxxfAgdxxfAgξξ)()()()(|)(|2|)(|2AgMAgM′+≤εεε=+22。所以无论哪个判别法条件满足，由Cauchy收敛原理，都有∫∞+adxxgxf)()(收敛的结论。这两个判别法有时也统称为A-D判别法。例8.2.4讨论sinxxdx1+∞∫的敛散性。解sinxdxA1∫显然有界，1x在[,)1+∞上单调且limxx→+∞=10，由Dirichlet判别法，sinxxdx1+∞∫收敛。但在[,)1+∞，有xxxxxxx22cos21sinsin2−=≥，因cos221xxdx+∞∫收敛（仿照上面对sinxxdx1+∞∫的讨论），而121xdx+∞∫发散，所以sin21xxdx+∞∫发散。再由比较判别法，可知∫∞+1sindxxx发散。因此，sinxxdx1+∞∫条件收敛。例8.2.5讨论∫∞+1tanarcsindxxxx的敛散性。解由例8.2.4，sinxxdx1+∞∫收敛，而xtanarc在[,)1+∞上单调有界，由Abel判别法，∫∞+1tanarcsindxxxx收敛。当x∈+∞[,)3时，有xxxxxsintanarcsin≥，由比较判别法和∫∞+1sindxxx发散，可知∫∞+1tanarcsindxxxx非绝对收敛。因此，∫∞+1tanarcsindxxxx条件收敛。无界函数反常积分的收敛判别法对于fx()在[,]ab上只有一个奇点xb=的情况，我们列出相应结果，证明请读者自己完成。定理8.2.1’（Cauchy收敛原理）反常积分fxdxab()∫收敛的充分必要条件是：对任意给定的0ε，存在0δ，使得对任意),0(,δηη∈′，有εηη∫′−−bbdxxf)(。定理8.2.3’（Cauchy判别法）设在[,)ab上恒有fx()≥0，若当x属于b的某个左邻域[,)bb−η0时，存在正常数K，使得⑴fxKbxp()()≤−，且p1，则fxdxab()∫收敛；⑵fxKbxp()()≥−，且p≥1，则fxdxab()∫发散。推论（Cauchy判别法的极限形式）设在[,)ab上恒有fx()≥0，且lim()()xbpbxfxl→−−=，则⑴若0≤+∞l，且p1，则fxdxab()∫收敛；⑵若0≤+∞l，且p≥1，则fxdxab()∫发散。定理8.2.5’若下列两个条件之一满足，则fxgxdxab()()∫收敛：⑴（Abel判别法）fxdxab()∫收敛，gx()在[,)ab上单调有界；⑵（Dirichlet判别法）∫−=ηηbadxxfF)()(在],0(ab−上有界，gx()在[,)ab上单调且0)(lim=−→xgbx。例8.2.6讨论dxxxpln/e01∫的敛散性（+∈Rp）。解这是个定号的反常积分，x=0是它的唯一奇点。当01p时，取qpp=+∈121(,)，则limx→+0xxxqp|ln|=0，由Cauchy判别法的极限形式，dxxxpln/e01∫收敛。类似地，当p1时，取qpp=+∈121(,)，则limx→+0+∞=xxxpqln，由Cauchy判别法的极限形式，dxxxpln/e01∫发散。当