若尔当标准型的研究3

西南科技大学本科生毕业论文1若尔当标准形的研究中文摘要：矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相识变换得到。矩阵的若尔当标准型理论在数学、力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其广泛的应用。每个n级得复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形。对于n阶矩阵来说，如果他的特征根方程有重根且重根的个数等于其相应的特征向量个数时，此n阶矩阵就可以通过相似变换化为对角形。本文主要通过研究矩阵的极小多项式、可逆矩阵P的求法，以及若尔当标准形的几种求解方法，对若尔当标准形进行探讨。关键字：若尔当标准形、相似矩阵、初等因子、循环向量西南科技大学本科生毕业论文2JordanstandardformofresearchAbstract：Matrix'sJordancanonicalformislinearalgebraisanimportantcomponentofdigitalmatrix,he,throughtheacquaintancetransformtoget.Matrix'swhenstandardtheoryifinmathematicsandmechanics,calculationmethod,physics,chemistryandotherfieldsofmathematicsareextremelyextensiveapplication.EverynleveltoocomplexmatrixAdarfurwithAsimilarwhenformifdarfur,thematrixwhenformmatrixremovedifdarfurofblockifwhenthesequencesisdecidedbymatrixAonly,it'scalledalliwhenAstandardformif.Fornordermatrixfor,ifhischaracteristicrootequationswithheavyrootandheavyrootnumberequaltoitscorrespondingeigenvectorsnumber,thisnordermatrixcanbetransformedtodiagonalshapebysimilar.Thispapermainlythroughtheresearchofminimalpolynomialmatrix,reversiblematrix,andthemethodofcalculatingPwhenastandardformifseveraldarfur'sforsolvingmethod,whenastandardformifdiscussed.Keywords:Similarmatrices,elementaryfactor,circulationvector西南科技大学本科生毕业论文3目录目录........................................................................................................................3第一章：绪论...................................................................................................................................................1第二章：若尔当标准形...................................................................................................................................22.1若尔当标准形的定义..........................................................................................22.2矩阵最小多项式..................................................................................................32.3定理的证明..........................................................................................................6本章小结：..............................................................................................................103.1利用初等因子求矩阵的若尔当标准型............................................................113.2利用矩阵的秩....................................................................................................133.3用循环向量法求若尔当形................................................................................17本章小结：..............................................................................................................19第四章若尔当标准形的应用.........................................................................................................................204.1可逆矩阵P的求法...........................................................................................204.2常系数齐次线性微分方程的解........................................................................24本章小结：..............................................................................................................27结论：......................................................................................................................28参考文献：.....................................................................................................................................................29致谢：.............................................................................................................................................................30西南科技大学本科生毕业论文1第一章：绪论矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相识变换得到。矩阵的若尔当标准型理论在数学、力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其广泛的应用，因此矩阵的若尔当标准形和过度矩阵的研究成为一个重要的研究课题。在线性代数中，若尔当标准型（或称若尔当正规型）是矩阵的一类。若尔当矩阵理论说明了任何一个系数域的方块矩阵如果特征值都在中，那么必然和某个若尔当标准型相似。或者说，如果一个线性空间上的自同态特征值都在系数域中，那么它可以在某个基底下表示成若尔当标准型。若尔当标准型几乎是对角矩阵：除了主对角线和主对角线上方的对角线外系数都是零。谱定理和正规矩阵都是若尔当标准型的特殊情况。在高等代数中我们知道形如,(,)01,10,abJaborbaother，其中是复数。由若干个若尔当块组成的准对角矩阵称为若尔当形矩阵。每个n级得复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形。对于n阶矩阵来说，如果他的特征根方程有重根且重根的个数等于其相应的特征向量个数时，此n阶矩阵就可以通过相似变换化为对角形。本文在了解若尔当标准形的基础上，进一步做出探究，首先对若尔当标准性的定义（像这样112233()0000()0000()00000()kkkkssJJJJ的矩阵，我们把它称为若尔当矩阵）进行分析。第二章主要是对矩阵的极小多项式进行分及其求解过程，以及对可逆矩阵P的求法做出了探讨。并对矩阵相似的定理做出了证明。第三章主要是对若尔当标准形的求解方法做出了探讨，通过利用初等因子求解矩阵的若尔当标准型、利用矩阵的秩求解若尔当标准型和利用循环向量来求解若尔当标准性。通过以上三种方法对矩阵的若尔当标准性的求解过程做出了深刻详细的求解过程，引用鲜明的例子对以上求解方法做出相应的解释。第四章主要是对若尔当标准形在微分方程中的一个应用。矩阵理论学习就是学习经典数学的基础，又是一门很有实用价值的理论。它不仅是高等代数的一个重要分支，而且已经成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的有力工具。矩阵的标准型具有结构简单、已与计算等优点，在解决矩阵问题中起着很重要的作用。因此，掌握矩阵的相似标准化的方法在解决实际问题时，往往可以起到事半功倍的效果。西南科技大学本科生毕业论文2第二章：若尔当标准形2.1若尔当标准形的定义定义：上三角矩阵000000()000000defkccJccc称为若尔当块（jordanblock）。由若尔当块构成的对角矩112233()0000()0000()00000()kkkkssJJJJ称为若尔当矩阵。西南科技大学本科生毕业论文32.2矩阵最小多项式定义2.21：设()nAMK是一个矩阵，如果多项式1011()mmmmfaaaa使得：1011()0mmmmnfAaAaAaAaE则称()f是A的零化多项式。A的次数最小的首一零化多项式称为A的极小多项式（minimalpolymial）,记为()Am。引理2.21：()Am整除A的任意零化多项式。特别的()|()AAmf。证明设()f是A的任一零花多项式，则()0fA。由带余除法定理可知()()()()Afmqr，()0r或00(())(())Arm。由()0rA及0(())Am的最小性知()0r()|()AAmf引理2.22：()Am的根必是()Af的根。证明若A有特征根0不是(