三重积分的概念与计算

作业115页3,4,6,12,13第三节一、三重积分的概念二、三重积分的计算三重积分的概念与计算第九章一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想,采用kkkkv),,(),,(kkkkv引例:设在空间有界闭区域内分布着某种不均匀的物质,,),,(Czyx求分布在内的物质的可得nk10limM“大化小,常代变,近似和,求极限”解决方法:质量M.密度函数为定义.设存在,称为体积元素,若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作下列“乘积和式”极限记作三重积分的性质1.线性性质、单调性、积分估值公式2.区域可加性4.微元法5.对称奇偶性*6.中值定理.在有界闭域上连续,则存在使得V为的体积,二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)三次积分法方法1.投影法(“先一后二”)记作投影法三次积分法设区域:利用投影法结果,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重积分化成二次积分即得:),(),(21d),,(ddyxzyxzDzzyxfyx),(),(21d),,(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd适用范围:由平面围成的情况得同理),()(,:21yxxyxdycDddzzyxfdvzyxfDyxZyxZ),(),(21),,(),,(.),,()()(),(),(2121dcyxyxyxzyxzdzzyxfdxdy开即可。面上区域作二重积分展或再对积分，或上三重积分可先对不多于两点如）轴的直线穿（或同理可得用平行于)()(xozyozyxyx其中为三个坐标例.计算三重积分所围成的闭区域.解:面及平面.计算,其中由锥面zyxyxIddd1122,222zyx及平面围成.1z解：11:2222yxzyxxyDdxdyI1222211yxdzyxxyDdxdyyxyx1122221022201drrrrd极坐标102)d111(2rrr)222(ln例2.122yx222zyx化为三次积分，由曲面dxdydzzyxfI),,(xyz及平面围成.,01yx0zzoxyxyD解：如图:所以xyDdxdyIxydzzyxf0),,(xyxdzzyxfdydx01010),,(xyxDxyzxy10,10:,01yxxyO.000zyx时，或注：曲面与xOy坐标面交于x轴和y轴.例1.方法2.截面法(“先二后一”)zDdvzyxf),,(zDccdxdyzyxfdz),,(21特别适用于积分区域中一坐标的范围易获得，截面范围易表示的情况。）。更有效（＝特别对21)()(ccDdzSzfdvzfz其中为三个坐标例3.计算三重积分,dddzyxz1zyx所围成的闭区域.面及平面为面上轴，解:如图，：,10zzDxoyxy轴和围成的等腰直角三角形.zyx1所以zdxdydzzDdxdyzdz10102)1(21dzzz241注：此题可用投影法求解．xyzo111z1yxxyOzDz1z111计算三重积分dxdydzz其中是上半椭球体.1222222czbyax解：:,0cz.1:222222czbyaxDzdxdydzz则zDcdxdyzdz0而)1()1(222222czbczaSdxdyzzDD),1(22czab原式czdzczab022)1(.412abc例4.xyzabczDzxyz例.计算三重积分解::zyxzddd2cczczbazd)1(222czc2222221:czbyaxDzzDyxddcczzd23154cbaabc用“先二后一”zDz补充：三重积分对称性：.),,(),,(0),,(0),,(1dvzxyfdvzyxfzxyzyx则，表示仍表示，若由设、变量位置对称性：dvzfdvyfdvxfazyx)()()(,2222则＋＋：例：补充：三重积分对称性：2、奇偶对称性：面）面）（面对称，（关于设xozxoyyoz.),(0),(),,(2),,(1为奇函数关于，为偶函数关于，yzxfyzxfdvzyxfdvzyxf例利用对称性简化计算dxdydzzyxzyxz1)1ln(222222其中积分区域}1|),,{(222zyxzyx.解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,球面关于xoy面对称z.01)1ln(222222dxdydzzyxzyxz解2)(zyx)(2222zxyzxyzyx例计算dxdydzzyx2)(其中是由抛物面22yxz和球面2222zyx所围成的空间闭区域.其中yzxy是关于y的奇函数,且关于zox面对称,0)(dvyzxy,同理zx是关于x的奇函数,且关于yoz面对称,,0xzdv由x,y位置对称性知dvydvx22,则dxdydzzyxI2)(,)2(22dxdydzzx在柱面坐标下：,20,10r,222rzr,122yx投影区域xyD：2222222010)cos2(rrdzzrrdrdI).89290(60,)2(22dxdydzzxI2,zxz1.将.)(),,(Czyxf用三次积分表示,,2,0xx,42,1yxyvzyxfId),,(其中由所提示:xy2121I2d),,(xzzyxfxy2121d20dx思考与练习六个平面围成,:3.设计算提示:利用对称性原式=122ddyxyx0奇函数tobecontinue作业115页3,4,6,12,13换元法三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:体积元素一一对应雅可比行列式*ddd),,(ddd),,(wvuJwvuFzyxzyxf2.利用柱坐标计算三重积分就称为点M的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:圆柱面)(常数c)(常数czz平面半平面oxyzocoxyzoczccrroxyzcrc常数r圆柱面常数半平面常数z平面oxyzoz),,(zyxMr)0,,(yx在柱面坐标下,1000cossin0sincosrrr若从小到大边界到边界rDrrzzrz),(,),(),(:21.)()(,21rrrDr：其中则有),(),(21),sin,cos(rzrzDdzrzrrfdrd),(),()()(2121),sin,cos(rzrzrrdzrzrrfdrd在投影区域上做极坐标变换ooxyz例.计算三重积分解:在柱面坐标系下hhrz42dhrdrhrr2022)4(12hrrr202d120dzyx422)0(hhz所围成.与平面其中由抛物面zrrvdddd原式=4.计算其中.4,1),(2122围成由zzyxz解:利用对称性zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241zrrz2032041ddd21214zxoy1zD3.利用球坐标计算三重积分,R),,(3zyxM设就称为点M的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系,ZOMMoxyzzr),,(r则0200rcossinrxsinsinry,rOM令sin||rOPcosrzcosrzPcossinrxsinsinrycosrz（常数）（常数）cccoxyzc常数r球面常数半平面常数锥面),,(rMMoxyzr在球面坐标系中从小到大，从边界到边界。体积元素为化为三次积分，求的体积，解：球面方程为2222)(aazyx在球坐标系下方程为cos2ardxdydzV所以0cos203)(sin32dra).cos1(3443a例6.drrsin2cos2a020dd.，如图的锥面围成顶点在原点，半顶角为0xa2zycos2ara的球面半径为它由球心在aa),,0,0(锥面方程为内容小结zyxdddzrrddddddsin2rr积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系体积元素适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:),,(),,(wvuzyxJ对应雅可比行列式为*ddd),,(ddd),,(wvuJwvuFzyxzyxf变量可分离.围成;xzOy图2-322xyD22yxz222yxzzdxdydzI222yxz22yxz422yx2计算，其中为双曲面，锥面及柱面围成．思考与练习zoxy23.设由锥面和球面所围成,计算提示:4利用对称性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐标rrd420dsin4020d221564,其中由锥面zyxyxIddd1122,222zyx平面围成.1z解法：用投影法.,1,10,20::22zyxrrDxyxyDdxdyI1222211yxdzyxxyDrdrd1211rdzr1102201rdzdrrrd102)d111(2rrr)222(ln计算例5.计算三重积分解:在球面坐标系下所围立体.其中与球面例6.求曲面)0()(32222azazyx所围立体体积.解:由曲面方程可知,立体位于xoy面上部,立体体积为vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar20dsin20dyoz面对称,并与xoy面相切,故在球坐标系下所围立体且关于xozdddsind2rrvyzxarTheEnd