正弦定理教学设计

1必修5《1.1.1正弦定理》教学设计四川省简阳中学张秀宜一．教学内容分析本课是《普通高中新课程标准实验教科书﹒数学（5）》（人教A版）第一章第一节《正弦定理》。根据我所任教的学生情况，我将《正弦定理》划分为两个课时，这是第一课时。正弦定理的主要内容是用正弦定理解三角形，是典型的用代数方法解决几何问题的类型，在生活、测绘中有广泛的应用。提出一个实际问题，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学习的兴趣，使学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系。。在教学过程中，引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题：（1）已知两角和一边，解三角形；（2）已知两边和其中一边的对角，解三角形。二．学生学习情况分析正弦定理是学生在必修（4）已经系统学习了三角函数，明确了三角函数基本概念，而且已经知道直角三角形的边角关系基础上进行的。高一学生对生产生活问题比较感兴趣，本节课由实际问题出发探究三角形边角之间的关系，激起学生学习新知的兴趣和欲望，得出正弦定理。三．设计思想培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。在本节课的教学中，我努力做到以下两点：（1）在课堂中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。（2）在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。四．教学目标（1）掌握正弦定理，能用其解三角形；同时能用其解决一些和测量有关的实际问题（2）经历猜想、证明、发现正弦定理的过程，培养学生的创新意识和探究意识（3）通过学生之间、师生之间的探究、合作、交流，实现教学相长的教学情境五．教学重点与难点教学重点：正弦定理的证明及应用教学难点：（1）正弦定理的证明（2）运用正弦定理解已知“两边及一对角”的三角形2【教学诊断：由于学生年龄、思维结构的限制，知识从理论到应用对学生来说是比较困难的；另外，已知“两边及一对角”，三角形形状不确定；所以，确定以上教学难点。同时，在教学过程中，带领学生共同分析思路，结合图形一起探究，尽量做到把知识直观地展现在学生面前，帮助学生化解本节难点。】六．教学过程1.创设情境，引入新知师：“锄禾日当午，汗滴禾下土”，我想说明了……中午的太阳很大,太阳离我们多远，你能不能测出来。你测不了，因为路太远，去不到，那选一个近的。师：甲同学在A岸，对岸有一B点，你能不能把A、B间的距离测出来？【学情预设：师生共同探讨发现直接测测不了，只能寻求构造图形侧另一些量来求出AB了】师：目前我们能够测出哪些量?【学情预设：学生可能说出很多可以测出的量，包括A岸的距离和角】师：能测A岸的距离，以及角，你能想到构造一个什么图形来求出AB吗？【学情预设：构造直角三角形，由直角三角形边角关系可求AB】师：地理环境千变万化，C处恰好就是一水塘，还能以AO为边构造直角三角形吗，还能求出AB吗?【学情预设：学生发现此时不行了】师：在AO上另选一点，也可以测出相应的距离和角，这是还能在1ABC中求出AB吗?进一步说，任意三角形边角之间有关系吗？什么关系？引入课题：正弦定理。【设计意图：从生活中的问题出发，有助于激起学生的兴趣，激发学生学习新知的兴趣和欲望；同时，让学生感受数学存在于生活中，渗透简单的数学建模思想】2.师生互动，探索新知（1）任意给出△ABC，请学生观察出最大的边和角。【学情预设：学生发现大角对大边】师：大角对大边说明边与对角有关系，什么关系，能否量化？（2）给△ABC三边附一组值3,4,5；发现△ABC是直角三角形，得：C0ABb﹚1CC0ABb﹚1C0ABb﹚1C0ABb﹚1C0ABb﹚1CABABB3请学生观察边和对角之间有什么关系。【学情预设：学生能发现】师：在任意三角形中，这一组等式还成立吗？给学生3分钟时间，结合教材，自主思考，分组讨论。【设计意图：从三角形大角对大边入手，到一个特殊三角形满足,进而引申到任意三角形中的情况，知识的展现由易到难，学生接受更有梯度；同时，将课堂主动权交还给学生，自主探索发现正弦定理】【学情预设：学生结合教材、相互探讨之后能够发现这一等式直角三角形里成立】当△ABC是直角三角形时，请学生说出证明过程，教师演示。证：师：证明了直角三角形的情况，还需要证明锐角三角形和钝角三角形的情况。当△ABC是锐角三角形时，证明相对复杂，所以教师把证明拆分成多个小问题，依次逐步向学生提问，在问题中解决证明。①需要证明几个等式，可以怎么组合？（不妨先证明ab=sinsinAB）②前边学习了直角三角形中边角关系，这里有没有直角三角形？怎么产生直角三角形？③需要找那些量的关系？这些量在哪些三角形里出现了？④△BCD、△ACD有什么关系？能不能建立这些量的关系？怎么建立？【学情预设：在教师引导下，发现以CD为中间量，找到等式a﹒sinB=b﹒sinA，进而变形即得ab=sinsinAB】【学情预设：学生发现只需再证明b=sinsincBC或=sinsinacAC即可，同时经历了以上证明，学生能够观察出只需要再做一高AE，同理可证b=sinsincBC】当△ABC为锐角三角形时，证完。sinsinsinabcABCsinsinsinabcABCsinaAcsinacAsinsinabcABsin1CsinsinsinabcABCDEEBACabBACabc=5b=4a=3c=5b=4a=33sin5A4sin5Bsin1C3sin5A4sin5Bsin1C3sin5A4sin5Bc=5b=4a=3c=5b=4a=33sin5AsinbcBABCcbaABCcbasinbBc4师：把C角变成钝角，等式还成立吗？师：能不能类似锐角三角形的情况证明？教师组织学生分组讨论，根据情况选择一组推荐一人上台演示。【学情预设：类似锐角三角形的情况，学生由三角函数基本知识，能够逐步找出问题的答案，发现即b·sin∠ACB=c·sinB，变形即得b=sinsincBC】【设计意图：体现学生的主体地位，让学生在快乐学习中学习，使学生成为知识的发现者和创造者】综上所诉，在任意三角形中，成立，指出这即是三角形正弦定理。正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等；即【设计意图：感受正弦定理的形成过程，通过问答方式把复杂的证明过程简单化，有利于学生理清思路，同时，能在轻松愉悦的环境中学习】教师带领学生分析定理，总结：（1）正弦定理反映的是边和对角的关系（2）边和对角的比值相等，分子是边，分母就是对角，结构对称。（3）任取一等式有四个量，两组边和对角，知道三个任意可求。感受数学的美。3.实际应用，了解新知例1.在△ABC中，5,30,45aAB，求角C，边b，c【学习难点：不会算sin105°】师：sin105°=sin（60°+45°）cos15°=cos（30°-15°）其他三角函数名称类似。【设计意图：熟悉正弦定理的应用，同时为“定义解三角形”的概念做好准备】师：在△ABC中，知道两个角和一边共三个量，通过正弦定理，把剩余的三个量都求出来了，这个过程叫解三角形。解三角形：已知三角形几个元素，求其他元素的过程。师：任意给三个量可以是哪些组合？是否任意给出三角形中三个量，就一定能用正弦定理解三角形？【学习难点：学生不能完全辨别出正弦定理能直接解决哪些问题，教师带领学生逐个分析】EABCDcba﹚1EABCDcba﹚1ABCDcba﹚1sinsinsinabcABCsinsinsinabcABC解：又a=5sinsinabAB5sin30sin45b52bA=30°B=45°105C5csin30sin105同理：56+52c=2ACcab︶105°（45°）30°5师：不妨一个一个来看。（1）已知三个角（×）(2)已知三条边（×）（3）已知两角一边（√）（4）已知两边一角（？）师：已知“两边一角”的情况不确定了，看一个实例（已知“两边一对角”和“两边一夹角”的情况）例2：已知a=16，b=316，A=30°，求B,C和边c.解：由正弦定理：BbAasinsin1630sin316sinB23sinBB=60°或120°当B=60°时，C=90°，c=32当B=120°时，C=30°，c=16变式：把A=30°改为B=30°，求B,C和边c.师：从公式分析:正弦定理只能解已知“两角一边”和“两边一对角”的三角形。【设计意图：进一步熟悉正弦定理，明确用它解三角形需要什么条件】4.合作交流，巩固新知师:请同学们设计方案测出太阳到到地球的距离。分组讨论，教师根据情况选择一组的代表展示他们的设计方案。【设计意图：新课程标准要求，把课堂的主动权交还给学生，充分调动学生，在探究活动中感受数学的乐趣；同时，训练学生对正弦定理的应用】【学情预设：由于在创设情境时，学生已经具备了构造三角形来求距离的建模思想，这里容易想到测出AB、∠CAB、∠ABD，构造出△ABC,发现是已知两角一边的情况，解三角形】300ABC16316300ABC16316316300ABC16316161B300ABC16316300ABC1631631616161BC(太阳)﹚﹚A5045510000m13045CAB10000ABmD50CBD130B10000AB5CsinsinACABABCC10000sin130sin5AC10000sin130sin5AC测得：D解：你能设计方案测出太阳到地球的距离吗B65.反思小结，回味新知师：本节课你学到了什么，最难忘的是什么。【学情分析：学生可能会说到正弦定理，解三角形；教师适时引导同学们想想关于正弦定理的证明，用正弦定理可以测出达不到的两点间的距离】【设计意图：（1）再次回顾正弦定理及其应用（2）感受这堂课所涉及的数学思想方法】6.习题演练，强化新知（1）已知三角形的两角分别为45°和60°，它们所夹边的长度是1，求最小的边长。,a=52=10（2）在ABC中，A=30，c，解ABC。【设计意图：强化应用正弦定理解三角形】最后是课后作业及思考：（1）还能用其他方法证明正弦定理吗？（2）已知“两边一对角”，最终三角形可能有多少种解，怎么判断的？作业：课本p10A组：1、2题【设计意图：激发学生的探究意识，同时为正弦定理第二课时做准备】七．教学反思本课采用探究发现式教学方法，以问题为教学出发点，设计问题情境激发学生的学习动机，激励学生去取得成功，重视思维训练，发挥学生的主体作用，注重数学方法的融入和渗透。整个教学设计中，特别注重以下几个方面：（1）重视学生的学习体验，突出他们的主体地位，训练他们从特殊到一般，归纳总结的学习方法。（2）注重将正弦定理的学习和生活实例结合起来，让学生感受带数学源于生活。（3）开放课堂，注重学生参与知识的形成过程，动手、动口、动脑相结合，使他们“听”有所思，“学”有所获，增强学习数学的信心，体验学习数学的乐趣。