“隐形圆”

与圆有关问题第一讲“形”现“圆”形问题如图所示，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝2，点P为等腰直角三角形ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的取值范围是__________．圆是高中数学中一种简单但又非常重要的曲线，近几年高考题和高考模拟题中，经常会出现一类有关圆的题目，这类题目在条件中没有直接给出有关圆方面的信息，而是以隐性的形式出现，但我们通过分析和转化，最终都可以利用圆的知识求解．这类题目构思巧妙，综合性强,，充分考查了学生的数形结合、转化和化归等数学思想方法，处理这类题目关键在于能否把隐形圆找出来．圆作为几何图形，找“隐形圆”的一个角度可以从“形”的角度来发现．策略一由圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆例1（1）如果圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是________．（2）（2016年南京二模）已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则a的取值范围为_________．ABCP（3）（2017年苏北四市一模）已知AB、是圆221:1Cxy上的动点，=3AB，P是圆222:(3(4)1Cxy）上的动点，则PAPB的取值范围是_________．（4）若对任意R，直线l：xcos＋ysin＝2sin(＋6)＋4与圆C：(x－m)2＋(y－3m)2＝1均无公共点，则实数m的取值范围是_________．（5）（2016年南通三模）在平面直角坐标系xOy中，圆221:12Cxy，圆2222:Cxmymm，若圆2C上存在点P满足：过点P向圆1C作两条切线PA、PB，切点为A、B，ABP的面积为1，则正数m的取值范围是_________．策略二由动点P对两定点A、B张角是090（1PAPBkk，或PAPBuuruur0）确定隐形圆例2（1）已知圆C：22(3)(4)1xy和两点(,0)Am，(,0)Bm(0)m，若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是_________．（2）（海安2016届高三上期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点P(−1，0)，Q(2，1)，直线l：0axbyc其中实数a，b，c成等差数列，若点P在直线l上的射影为H，则线段QH的取值范围是_________．（3）设mR，直线1l：0xmy与直线2l：240mxym交于点00(,)Pxy，则220002xyx的取值范围是_________．策略三由圆周角的性质确定隐形圆例3（1）已知,,abc分别为ABC的三个内角,,ABC的对边，2a，(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC则ABC面积的最大值为_________．（2）（2017年常州一模）在△ABC中，∠C＝45o，O是△ABC的外心，若OCmOAnOB(m，n∈R)，则m＋n的取值范围是_________．策略四由四点共圆的定理来确定隐形圆（如一个四边形的对角互补，则该四边形四点共圆）例4设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，若a－c与b－c的夹角为60°，则|c|的最大值等于．【同步练习】1.点A，B分别在x轴与y轴的正半轴上移动，且AB＝2，若点A从(3，0)移动到(2，0)，则AB中点D经过的路程为．2．已知O为坐标原点，向量20(,)OBuuur，22(,)OCuuur,22(cos,sin)CAuur，则OAuur与OBuuur夹角的范围为．3．已知直线20:lxym上存在点M满足与两点(2,0)A,(2,0)B连线的斜率之积为1，则实数m的取值范围是．4．已知圆C：x2＋y2＝1，点P(x0，y0)在直线x－y－2＝0上，O为坐标原点，若圆C上存在一点Q，使得∠OPQ＝30°，则x0的取值范围是________．5．如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x2＋y2＝1上的动点(与点A,B不重合)，连接BC并延长至D，使得|CD|＝|BC|，则线段PD的取值范围．第5题xOyBCAPD第二讲“数”现“圆”形解析几何中，找“隐形圆”的另一个角度可以从“数”的角度（求出其方程）来发现．策略五直接由圆（半圆）的方程确定隐形圆例1（1）(2016年泰州一模)已知实数a，b，c满足222abc，0c，则2bac的取值范围为__________．（2）若方程3－24xx＝x＋b有解，则b的取值范围是．（3）已知实数x、y满足13xxyy，则x+y的最大值是__________．策略六直接由圆（半圆）的参数方程确定隐形圆例2（1）已知,tR，则22(cos2)(sin2)tt的取值范围是__________．（2）函数f(x)=sin132cos2sinxxx(02x≤≤)的值域是________．策略七由两定点A、B，动点P满足PAPBuuruur（是常数）,求出动点P的轨迹方程确定隐形圆例3已知圆22341:()()Cxy和两点00(,),(,)AmBm0()m．若圆C上存在点P，使得1PAPBuuruur，则m的取值范围是__________．策略八由两定点A、B，动点P满足22PAPB是定值确定隐形圆例4（1）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足MA2＋MO2＝10，则实数a的取值范围是__________．（2）（2017届盐城三模）已知ABCD，，，四点共面，2BC，2220ABAC，3CDCA，则||BD的最大值为．策略九由两定点A、B，动点P满足01PAPB(,)确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）例5（1）（2016年南通一模）在平面直角坐标xOy中，已知点(1,0),(4,0)AB，若直线0xym上存在点P使得12PAPB,则实数m的取值范围是________．（2）（2016届常州一模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝1，O1：(x－4)2＋y2＝4，动点P在直线30xyb上，过点P作圆O，O1的两条切线，切点分别为A，B，若满足2PBPA的点P有且仅有两个，则b的取值范围_________．（3）已知曲线C的方程221xy，2,0A，存在一定点,02Bbb和常数，对曲线C上的任意一点,Mxy，都有MAMB成立，则点,Pb到直线220mnxnynm的最大距离为_________．例6（2017年南通二模）一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°36，335.7446）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．领海AB北(例6)30°公海l【同步练习】1．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)．P是圆C上的动点，当|PA|2＋|PB|2取最大值时，点P的坐标是．2．（2016年盐城三模）已知线段AB的长为2，动点C满足CACB（为常数），且点C总不在以点B为圆心，12为半径的圆内，则负数的最大值是__________．3．（2016年苏北四市一模）已知)1,0(A，)0,1(B，)0,(tC，点D是直线AC上的动点，若2ADBD≤恒成立，则最小正整数t的值为．4．在平面直角坐标系xOy中，M为直线x＝3上一动点，以M为圆心的圆记为圆M，若圆M截x轴所得的弦长恒为4．过点O作圆M的一条切线，切点为P，则点P到直线2x＋y－10＝0距离的最大值为．5．已知xyR、且满足22246xxyy，则224zxy的取值范围是．第三讲“隐圆”综合隐藏圆问题可以和很多知识点结合，在三角形、向量、圆锥曲线等背景的一些问题中看上去和圆无关，但却隐藏着圆．一、三角形中的隐形圆例1（1）（2017年南京、盐城一模）在ABC中，A，B，C所对的边分别为,,abc，若22228abc，则ABC面积的最大值为__________．（2）（2008年高考江苏卷）若=2=2ABACBC，，则ABCS的最大值是__________．例2（1）在ABC中，BC＝2，AC＝1，以AB为边作等腰直角三角形ABD(B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧)．当∠C变化时，线段CD长的最大值为．（2）在ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围为．二、向量中的隐形圆例3（1）已知向量a、b、c满足2a，3=bab，若()()0cacb，则bc的最大值是__________．（2）在平面内，定点A，B，C，D满足DA=DB=DC，DADB=DBDC=DCDA=-2，动点P，M满足AP=1，PM=MC，则2BM的最大值是__________．例4已知OA，OB为非零的不共线的向量，设111rOCOAOBrr．定义点集{|}||||KAKCKBKCMKKAKB．当1K、2KM时，若对任意的2r≥，不等式12||||KKcAB≤恒成立，则实数c的最小值为__________．例5（2014年常州高三期末卷）在平面直角坐标系xOy中，已知圆2216:Oxy，点P12(,)，M、N为圆O上两个不同的点，且0PMPNuuuruuur，若PQPMPNuuuruuuruuur，则PQuuur的最小值为__________．三、圆锥曲线中的隐形圆例6在平面直角坐标系xOy中，已知圆1O，圆2O均与x轴相切且圆心1O，2O与原点O共线，1O，2O两点的横坐标之积为6，设圆1O与圆2O相交于P，Q两点，直线l：280xy，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为__________．例7设椭圆E：x28＋y24＝1，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB？【同步练习】1．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为_________．2．已知曲线C：x＝－4－y2，直线l：x＝6，若对于点A(m，0)，存在C上的点P和l上的点Q使得AP＋AQ＝0，则m的取值范围为．3．已知圆22:11Cxy，点(3,0)D，过动点P作圆C的切线PQ，切点为Q，若2PDPQ，则△PCD面积的最大值为__________．4．设点,AB是圆224xy上的两点，点(1,0)C，如果90ACB，则线段AB长度的取值范围为__________．5．已知ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点Q满足2133AQAPAC，则BQ的最小值是__________．