第三章-直线与方程-3.1--直线的倾斜角与斜率-教案

人教版新课标普通高中◎数学2必修（A版）1第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率教案A第1课时教学内容：3.1.1倾斜角与斜率教学目标一、知识与技能1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念；2.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.二、过程与方法经历将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题的过程，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，不断体会“数形结合”的思想方法.三、情感、态度与价值观1.通过把直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系，提高观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力；2.通过建立斜率概念和推导斜率公式，进一步理解数形结合的思想，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神.教学重点、难点教学重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式.教学难点：斜率的计算方法.教学关键：直线斜率的两种计算方法.教学突破方法：结合图形，使学生理解直线倾斜角的概念，抓住直线的倾斜角与斜率的联系，引导学生掌握直线斜率的计算方法.教法与学法导航教学方法：启发、引导、讨论.学习方法：探究、思考、讨论、练习.教学准备教师准备：多媒体课件（用于展示问题、引导讨论、出示答案）.学生准备：一次函数与直线的关系、特殊角的正切值.教学过程详见下页表格.教师备课系统──多媒体教案2教学环节教学内容师生互动设计意图创设情景导入新课我们知道，经过两点有且只有（确定）一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图，过一点P可作无数多条直线a，b，c，…易见，答案是否定的，这些直线有什么联系呢？学生回答（不能确定）（1）它们都经过点P.（2）它们的倾斜程度不同.接着教师提出：怎样描述这种倾斜程度的不同？由此引入课题.设疑激趣导入课题．概念形成1．直线倾斜角的概念当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定0.教师提问：倾斜角的取值范围是什么？0°≤α＜180°当直线l与x轴垂直时90（由学生结合图形回答）概念深化因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度，引入直线的倾斜角之后，我们就可以用倾斜角来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角.教师提问：如左图，直线a∥b∥c，那么它们的倾斜角相等吗？学生回答后作出结论.一个倾斜角不能确定一条直线，进而得出确定一条直线位置的几何要素.通过这种师生互动引导学生明确确定一条直线位置的两个几何要素．概念形成2．直线的斜率一条直线的倾斜角（≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即tank.由此可知，一条直线l的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.例如=45°时，k=tan45°=1；=135°时，k=tan135°=–1.教师提问：（由学生讨论后回答）（1）当直线l与x轴平行或重合时，k为多少？k=tan0°=0.（2）当直线l与x轴垂直时，k还存在吗？=90°，k不存在.设疑激发学生思考得出结论．yabcxO人教版新课标普通高中◎数学2必修（A版）3续上表概念形成3．直线的斜率公式2121.yykxx对于上面的斜率公式要注意下面四点：（1）当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角=90°，直线与x轴垂直；（2）k与P1、P2的顺序无关，即y1、y2和x1、x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；（3）斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；（4）当y1=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角=0°，直线与x轴平行或重合；（5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.教师提出问题：给定两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），x1≠x2，如何用两点的坐标来表示直线P1、P2的斜率？可用计算机作动画演示：直线P1P2的四种情况，并引导学生如何作辅助线，共同完成斜率公式的推导.借助多媒体演示让学生亲自体会斜率公式的推导过程.应用举例例1已知A（3，2），B（–4，1），C（0，–1），求直线AB，BC，CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.（用计算机作直线，图略）【分析】已知两点坐标，而且x1≠x-2，由斜率公式代入即可求得k的值；而当tan0k时，倾斜角是钝角；而当tan0k时，倾斜角是锐角；而当tan0k时，倾斜角是0°.学生分析求解，教师板书例1略解：直线AB的斜率k1=1/7＞0，所以它的倾斜角是锐角.直线BC的斜率k2=–0.5＜0，所以它的倾斜角是钝角.通过应用进一步理解倾斜角，斜率的有关定义教师备课系统──多媒体教案4续上表例2在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，–1，2及–3的直线a，b，c，1.【分析】要画出经过原点的直线a，只要再找出a上的另个一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定；或者k=tan=1是特殊值，所以也可以以原点为角的顶点，x轴的正半轴为角的一边，在x轴的上方作45°的角，再把所作的这一边反向延长成直线即可.例2略解：设直线a上的另一个点M的坐标为（x，y），根据斜率公式有1=（y–0）/（x–0），所以x=y.可令x=1，则y=1，于是点M的坐标为（1，1）.此时过原点和点M（1，1），可作直线a.同理，可作直线b，c，1.（用计算机作动画演示画直线过程）小结（1）直线的倾斜角和斜率的概念.（2）直线的斜率公式.师生共同总结交流完善.引导学生学会自己总结.课堂作业1.求下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.（1）（1，1），（2，4）；（2）（–3，5），（0，2）；（3）（2，3），（2，5）；（4）（3，–2），（6，–2）【解析】（1）413021k，所以倾斜角是锐角；（2）25100(3)k，所以倾斜角是钝角；（3）由x1=x2=2得：k不存在，倾斜角是90°；（4）2(2)063k，所以倾斜角为0°.2.已知点P(3,1)，点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角为120°，则Q点的坐标为.【解析】因为点Q在y轴上，则可设其坐标为（0，b）直线PQ的斜率k=tan120°=3，∴130(3)bk，∴b=–2，即Q点坐标为(02)，.人教版新课标普通高中◎数学2必修（A版）5第2课时教学内容：3.1.2两条直线平行与垂直的判定教学目标一、知识与技能1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件；2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直.二、过程与方法通过探究两直线平行或垂直的条件，提高运用已有知识解决新问题的能力，以及数形结合能力．三、情感、态度与价值观通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，获得成功感觉；同学合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣．教学重点、难点教学重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．教学难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题．教学关键：理解并掌握判断两直线平行和垂直的方法.教学突破方法：结合图形探究两直线平行和垂直时二者斜率的关系，并从这种关系的内涵和外延两个方面强化学生对此结论的理解.对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况，在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题．教法与学法导航教学方法：以实验探究的教学方法为主，具体以实例展示法、多媒体演示法、分析讨论法、问题教学法和练习巩固法展开教学活动.学习方法：以探究理解学习方法为主，自主学习，自我反馈，渐进式提高.教学准备教师准备：多媒体课件（用于展示问题、引导讨论、出示答案），资料图片.学生准备：直线的倾斜角与斜率的概念及联系.教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图创设情景导入新课我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念，而且知道，可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度，并推导出了斜率的计算公式.现在，我们来研究通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．师：解析几何的本质是什么？生：用代数的方法研究几何图形的位置关系.设疑激趣导入课题教师备课系统──多媒体教案6续上表师生互动探究新知1.先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直讨论:两条直线中有一条直线没有斜率（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．师生互动探究新知2.两条直线的斜率都存在时，两直线的平行.设直线l1和l2的斜率分别为k1和k2.我们知道，两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的，而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的.问题:两条互相平行或垂直的直线，它们的斜率有什么关系?结论1:两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即l1∥l21=k2.注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2，那么一定有l1∥l2;反之则不一定.首先研究两条直线互相平行（不重合）的情形．如果l1∥l2（如下图），那么它们的倾斜角相等：α1=α2．（借助多媒体，让学生通过观察度量，感知α1，α2的关系）因为tanα1=tanα2即k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等：即k1=k2，那么tanα1=tanα2．由于0°≤α1＜180°，0°≤α2＜180°，所以α1=α2．又因为两条直线不重合，两条直线平行l1∥l2．通过这种师生互动引导学生明确两条直线平行的判定方法人教版新课标普通高中◎数学2必修（A版）7续上表师生互动探究新知3.下面我们研究两条直线的斜率都存在时，两直线的垂直的情形．如果l1⊥l2，这时α1≠α2，否则两直线平行．结论:两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即12112211llkkkk注意:结论成立的条件，即如果k1·k2=-1，那么一定有21ll；反之则不一定.设α2＜α1（如下图），甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方；乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方；丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有α1=90°+α2．因为l1、l2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0，1221tantan(90)tan，即211kk或121kk.反过来，如果211kk或121kk.不失一般性，设k10，k20，那么1221tantan(90)tan可以推出:α1=90°+α2．即21ll．借助多媒体演示让学生经历两条直线垂直的判定结论的推导.教师备课系统──多媒体教案8续上表应用举例例1（1）已知直线1l经过点M（-3，0）、N（-15，-6），2l经过点R（-2，32）、S（0，52），试判断1l与2l是否平行？（2）1l的倾斜角为45°，2l经过点P（-2，-1）、Q（3，-6），问1l与2l是否垂直？例2已知A（1，1），B（2，2），C（3，-3），求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．例1【解析】（1）∵MNk=0(6)13(15)2，531220(2)2RSk，∴1l//2l．（2）∵1tan451k，26(1)13(2)k，121kk，∴1l⊥2l．例2【解析】设D（x，y），则CDABkk，BCADkk．∴(3)2113212(3)1231yxyx，即,56,yxxy解得3,23,2xy.∴D（33,22）.通过实例熟练对两条直线平行和垂直的判定.小结1.知识小结（1）两条直线平行或垂直的判定方法.（2