§7-2-简谐振动的叠加

1例2已知某简谐振动的振动曲线如图所示，试写出该振动的位移与时间的关系。P2.0-2.0x/cmt/s-4.04.01O解由图知A=4.0×102m当t=0时，0,2=00vAx由式x0=Acosv0=Asin{解得3)3(cos100.4π2tx所以m又由曲线知当t=1s时,x=0,代入上式得0401032.cos()m2所以11srad2πsrad3π因0即()2356radsrads-1-1简谐振动的表达式为m)3πrad6π5(cos100.412stx四、简谐振动的能量以弹簧振子为例x=Acos(t+)v=Asin(t+)EmvmAtk12122222sin()EkxkAtp1212222cos()由上两式可见，弹簧振子的动能和势能都随时间作周期性变化。当位移最大时，速度为零，动能也为零，而势能达到最大值；当在平衡位置时，势能为零，而速度为最大值，所以动能也达到最大值。3EEEmAtkAtkp121222222sin()cos()总能量因为2km/EmAkA1212222所以尽管在振动中弹簧振子的动能和势能都在随时间作周期性变化,但总能量是恒定不变的，并与振幅的平方成正比。由公式EmvkxkA121212222得vkmAxAx()2222此式表明，在平衡位置处，x=0,速度为最大；在最大位移处，x=A,速度为零。4例3长为l的无弹性细线，一端固定在A点，另一端悬挂质量为m的物体。静止时，细线沿竖直方向，物体处于点O，是系统的平衡位置。若将物体移离平衡位置，与竖直方向夹一小角度，由静止释放,物体就在平衡位置附近往返摆动,称为单摆。证明单摆的振动是简谐振动，并分析其能量。hOAθmgsinθmgcosθgmF解物体受和两个力作用gmF根据牛顿第二定律得mltmgdd22sin当偏角很小时，sin所以mltmgdd225即dd2220t其中2gl解微分方程得=0cos(t+)说明了在偏角θ很小时,单摆的振动是简谐振动。单摆系统的机械能包括两部分：)(sin21)(21212220222ktmllmmvE动能势能Ep=mgh=mgl(1—cos)将cos展开cos!!!1246246因为很小，上式只取前两项，6所以Emglmgltp12122022cos()因为2gl所以Emglml1212022202上式表示,尽管在简谐振动过程中，单摆系统的动能和势能都随时间作周期性变化，但总能量是恒定不变的，并与振幅的平方成正比。总能量pkEEE)(cos)(sintlgmtlmE220222022121φ2A1A2φ1xyOx2x1§7-2简谐振动的叠加一、同一直线上两个同频率简谐振动的合成设有两个同频率的谐振动)cos(111tAx)cos(222tAx合振动)cos()cos(221121tAtAxxx由矢量图得)cos(tAx（仍为同频率谐振动）xφA而)cos(212212221AAAAAarctanAAAA11221122sinsincoscos讨论：1.,2,1,0π212kk2.,2,1,0π)12(12kk合振幅减小，振动减弱21AAA合振幅最大，振动加强21AAAπ123.一般情况下为任意值2121AAAAA2AA1A2AA1A2AA1AA2A1A2AxyO二、同一直线上两个频率相近的简谐振动的合成两谐振动分别为)cos(1111tAx)cos(2222tAx合振动)cos()cos(22211121tAtAxxx合振动不再是谐振动，而是一种复杂振动矢量图解法（如图）A1A2A1ω2ω1AA2A2ω1ω由矢量图得合振动的振幅为AAAAAt12221221212cos[()()]由上式可见，由于两个分振动频率的微小差异而产生的合振动振幅时强时弱的现象称为拍现象。合振动在1s内加强或减弱的次数称为拍频。拍频为12三角函数法设两个简谐振动的振幅和初相位相同合振动为)2cos()2cos(2)cos()cos(12122121ttAtAtAxxx)cos(11tAx)cos(22tAx拍频的振幅为)cos(tA2212振幅的周期为1212π2)2(πT拍频为122121T拍的振动曲线如右图三、两个互相垂直的简谐振动的合成两简谐振动为)cos(tAx（1）)cos(tBy（2）以cos乘以(3)式，cos乘以(4)式，再两式相减得改写为sinsincoscosttAxsinsincoscosttBy（3）（4）)sin(sincoscostByAx（5）)(sin)cos(222222ABxyByAx以sin乘以(3)式，sin乘以(4)式后两式相减得(5)式、(6)式分别平方后相加得合振动的轨迹方程)sin(cossinsintByAx（6）此式表明，两个互相垂直的、频率相同的简谐振动合成，其合振动的轨迹为一椭圆，而椭圆的形状决定于分振动的相位差（β－α）。xAo-A-BBaby讨论：1.0或时02)(ByAx即xABy合振动的轨迹是通过坐标原点的直线，如图所示。0时，相位相同，取正号，斜率为B/A；时，相位相反，取负号，斜率为-B/A。合振动的振幅22BAC2.当2时xAyB22221合振动的轨迹是以坐标轴为主轴的正椭圆，如右图所示。β=/2时，合振动沿顺时针方向进行；β=/2时，合振动沿逆时针方向进行。若A=B，椭圆变为正圆，如右图所示。xABOy-A-BxAA-A-AyO3.如果()不为上述数值，那么合振动的轨迹为处于边长分别为2A(x方向)和2B(y方向)的矩形范围内的任意确定的椭圆。两个分振动的频率相差较大，但有简单的整数比关系，这样的合振动曲线称为利萨如图形。不同频率的垂直振动运动的合成。16§7-3阻尼振动、受迫振动和共振一、阻尼振动(dampedvibration)振幅随时间减小的振动称为阻尼振动。以物体受流体阻力作用下的振动为例：阻力为物体的振动方程txvFdd0dddd22xktxtxm令则有,,mmk220dddd220220xtxtx式中ω0称为振动系统的固有角频率，β称为阻尼常量。17讨论：1.当202时，阻尼较小，上式的解为)(costAxte0其中220振动曲线如图，是一种准周期性运动。2.当202时，阻尼较大，即过阻尼，不再是周期性运动，如图。3.当202时，处于临界阻尼状态，如图。周期为220π2π2Tt欠阻尼)(txOt过阻尼)(txOt临界阻尼)(txO18二、受迫振动(forcedvibration)在周期性外力作用下发生的振动，称为受迫振动。引起受迫振动的周期性外力称为驱动力。设驱动力为Fcost，则振动方程tFxktxtxmcosdddd22此式表示,受迫振动是由阻尼振动和简谐振动两项叠加而成的。)(costAte0)cos(tA或thxtxtxcos2022dd2dd(1)其解)(cos)(costAtAxte0(2)19可见，稳定状态的受迫振动是一个与简谐驱动力同频率的简谐振动。将(3)式代入(1)得thtAtAcos)sin()cos()(2220由此得将cos(t)和sin(t)展开，则thtAAtAAcossin]cos2sin)([+cos]sin2cos)([220220hAAsin2cos)(220(4)受迫振动达到稳定状态时)cos(tAx(3)0cos2sin)(220AA(5)20由(6)式求得22222042)(sin2222202204)(cos由式(6)和式(7)看出，受迫振动的初相位和振幅A不仅与振动系统自身的性质有关，而且与驱动力的频率和幅度有关。将上两式代入(4)式得2222204)(hA(7)由(4)式求得2202tanarc(6)21三、共振(resonance)当驱动力角频率接近系统的固有角频率时，受迫振动振幅急剧增大的现象，称为共振。振幅达到最大值时的角频率称为共振角频率。对(7)式求极大值得共振角频率为可见，系统的共振角频率既与系统自身的性质有关，也与阻尼常量有关。将(8)式代入(7)式得共振时振幅峰值为220r2hA220r2(8)