高中数学必修5(人教B版)第一章解三角形1.1知识点总结含同步练习题及答案

描述：例题：高中数学必修5(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理一、学习任务1.理解正弦定理，能用正弦定理解三角形．2.理解余弦定理，能用余弦定理解三角形．二、知识清单正弦定理三角形的面积余弦定理判断三角形形状三、知识讲解1.正弦定理正弦定理（lawofsines）在一个三角形中，各边的长和它所对角正弦的比相等，即（为三角形外接圆半径）．一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．===2RasinAbsinBcsinCR（1）在中，已知，，，求．（2）在中，已知，，，求．解：（1）因为，所以．因为，所以．又所以．（2）因为，所以．因为，所以，所以为锐角，所以．△ABCA=45∘B=30∘c=10b△ABCA=45∘a=2b=2√BA+B+C=180∘C=105∘=bsinBcsinCb==csinBsinC10sin30∘sin105∘sin105∘=sin(+)60∘45∘=sin⋅cos+cos⋅sin60∘45∘60∘45∘=.+6√2√4b=5(−)6√2√=asinAbsinBsinB===bsinAasin2√45∘212abABBB=30∘下列关于的说法正确的是（）A．若，，，则有两解B．若，，，则只有一解△ABCa=7b=14A=30∘Ba=30b=25A=150∘BA=∘C．若，，，则有两解D．若，，，则无解解：B．A项中，由正弦定理，得，所以，即只有一解，A项错误；B项中，由正弦定理，得，又为钝角，故只有一解，B项正确；C项中，由正弦定理，得，所以不存在，即无解，C项错误；D项中，由正弦定理，得，因为，，，所以有两解，D项错误．a=6b=9A=45∘Bb=9c=10B=60∘CsinB===1bsinAa14×127B=90∘sinB==1bsinAa25×1230ABsinB==1bsinAa9×2√26BsinC==1csinBb10×3√29bcB=60∘C0∘180∘C在中，，，求下列式子的最值．（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）又因为，所以，所以．当，即时，取得最大值，无最小值．（2）因为，所以，所以．△ABCb=2B=π3sinA+sinCsinA⋅sinCa+ca⋅csinA+sinC=sinA+sin(A+B)=sinA+sin(A+)π3=sinA+cosA323√2=sin(A+),3√π60Aπ23A+ππ6π656sin(A+)⩽112π6A+=π6π2A=π3sinA+sinC3√sinA⋅sinC=sinA⋅sin(A+B)=sinA⋅sin(A+)π3=A+sinAcosA12sin23√2=×+sin2A121−cos2A23√4=sin2A−cos2A+3√41414=sin(2A−)+,12π6140Aπ23−2A−ππ6π676−sin(2A−)⩽112π63描述：例题：2.三角形的面积(、、分别表示、、上的高)，其中(海伦公式)当，即时，取得最大值，无最小值．（3）因为，所以即当取最值时，取得最值，所以，无最小值．（4）因为，所以所以当取得最值时，取得最值，所以，无最小值．3666262A−=π6π2A=π3sinA⋅sinC34=2R=bsinB43√3a+c=2R⋅sinA+2R⋅sinC=2R⋅(sinA+sinC),sinA+sinCa+c(a+c=×=4)max43√33√=2R=bsinB43√3a⋅c=(2R⋅sinA)⋅(2R⋅sinC)=(2R⋅sinA⋅sinC)2sinA⋅sinCa⋅c(a⋅c=(×=4)max43√3)234=a=b=cS△ABC12ha12hb12hchahbhcabc=absinC=bcsinA=acsinBS△ABC121212∗=S△ABCp(p−a)(p−b)(p−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−√p=a+b+c2在中，角，，的对边分别为，，，且，，，求的面积．解：由正弦定理得又因为所以当时，，所以当时，，所以所以的面积为或．△ABCABCabc∠B=30∘c=23√b=2△ABCSsinC==,csinBb3√2cb,∠C=或∠C=.60∘120∘∠C=60∘∠A=90∘S=bcsinA=2;123√∠C=120∘∠A=30∘S=bcsinA=.123√△ABC23√3√描述：例题：3.余弦定理余弦定理（lawofcosines）三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦值的积的两倍，即从以上公式中解出，，，则可以得到余弦定理的另一种形式：在中，角，，的对边分别为，，，若，．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．解：（1）因为，所以，．因为，由诱导公式可得所以且，所以．（2）由正弦定理得得由得，，所以的面积△ABCABCabctanA=3cosC=5√5Bc=4△ABCcosC=5√5sinC=25√5tanC=2A+B+C=πtanB=−tan(A+C),tanB=−tan(A+C)=−=−=1,tanA+tanC1−tanAtanC3+21−3×2BπB=π4=,bsinBcsinCb==.csinBsinC10−−√tanA=3sinA=310−−√10△ABC=bcsinA=6.S△ABC12=+−2abcosCc2a2b2=+−2accosBb2a2c2=+−2bccosAa2b2c2cosAcosBcosCcosA=+−b2c2a22bccosB=+−c2a2b22cacosC=+−a2b2c22ab（1）在中，已知，，，求．（2）在中，已知，，，求的大小．△ABCa=2c=23√∠B=π6b△ABCAB=5AC=3BC=7∠BAC描述：例题：4.判断三角形形状利用三角恒等变换、正弦定理和余弦定理进行边角互化，从而找到三角形元素之间的关系，进而判断三角形形状．解：（1）由余弦定理得所以．（2）由余弦定理得因为，所以．=+−2accosB=+(2−2×2×2cos=4,b2a2c2223√)23√π6b=2∠BAC===−,A+A−BC2B2C22⋅AC⋅AB+−3252722×3×5120∠BACπ∠BAC=2π3在中，设角，，的对边分别为，，，且，若，且，求，的值．解：由余弦定理，得即所以，所以，由得△ABCABCABCcosA=14a=4b+c=6bcbc=+−2bccosA,a2b2c2=(b+c−2bc−2bccosA,a2)216=36−bc52bc=8⎧⎩⎨b+c=6,bc=8,bc,{b=2,c=4.设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定解：A由正弦定理可得，所以，即．又，所以，所以．△ABCABCabcbcosC+ccosB=asinA△ABCsinBcosC+sinCcosB=sinAsinAsin(B+C)=Asin2sinA=Asin2sinA≠0sinA=1A=90∘在中，，判断三角形的形状．解：由正弦定理得由题意可得△ABC⋅tanB=⋅tanAa2b2ABCa=2RsinA,b=2RsinB,即所以，所以所以所以是等腰三角形或直角三角形．(2RsinA=(2RsinB⋅,)2sinBcosB)2sinAcosAsinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B2A=2B或2A+2B=π．A=B或A+B=.π2△ABC在中，且，试判断此三角形的形状．解：（方法一）（利用边的关系判断）由正弦定理，得因为，所以由余弦定理得所以所以因为，所以又因为，所以，所以，所以所以为等边三角形．（方法二）（利用角的关系判断）因为，所以△ABC(a+b+c)(a+b−c)=3ab2cosAsinB=sinC=,sinCsinBcb2cosAsinB=sinCcosA==.sinC2sinBc2bcosA=,+−b2c2a22bc=,+−b2c2a22bcc2ba=b.(a+b+c)(a+b−c)=3ab(a+b−=3ab,)2c2a=b4−=3b2c2b2=b2c2b=c,△ABCA+B+C=πsinC=sin(A+B).四、课后作业（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学kuailexue.com）因为，所以所以即，又因为，，所以，所以所以，又因为，所以所以．因为，所以因为，所以，又，所以为等边三角形．2cosAsinB=sinC2cosAsinB=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,sinAcosB−cosAsinB=0,sin(A−B)=0A0∘180∘B0∘180∘−A−B180∘180∘A−B=,0∘A=B(a+b+c)(a+b−c)=3ab(a+b−=3ab)2c2+−=aba2b2c2=+−2abcosCc2a2b2cosC==,+−a2b2c22ab12C0∘180∘C=60∘A=B△ABC答案：解析：1.在三角形中，，，，则的大小为A．B．C．D．A由余弦定理，因为，所以．ABCAB=5AC=3BC=7∠BAC()2π35π63π4π3cos∠BAC==−+−3252722×3×5120∠BACπ∠BAC=π23答案：2.已知锐角的面积为，，，则角的大小为A．B．C．D．B△ABC33√BC=4CA=3C()75∘60∘45∘30∘答案：解析：3.在中，若，则这个三角形是A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰或直角三角形D利用正弦定理化简有，则或者所以三角形为等腰或直角三角形．△ABC(a−ccosB)sinB=(b−ccosA)sinA()sin2B=sin2AA=B2A+2B=180∘4.如果满足，，的三角形恰有一个，那么的取值范围是∠ABC=60∘AC=12BC=kk()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学kuailexue.com了解详情。答案：解析：A．B．C．D．或D我们可求得的范围是，从图中可以看出，当或时，三角形恰有一个．83√0k⩽12k⩾120k⩽12k=83√∠A(0,π)230∠Aπ3x=π2