1.3.2《函数的极值与导数》课件

1.3.2函数的极值与导数函数的极值与导数内容：函数极值的概念及其与导数的关系应用求函数的极值给函数的极值求函数的解析式给函数的极值求函数的单调区间本课主要学习函数的极值与导数。以视频摆锤极限转动最高点引入新课，接着探讨在跳水运动中,运动员相对于水面的高度与起跳后的时间的函数图象，从图象的增与减定义函数极大值的概念，类似地借助函数图象定义函数极小值的概念，探讨判断函数极值的方法和步骤。重点是理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值，掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法.难点是函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．为了巩固新知识，给出3个例题和变式，通过解决问题说明导数在求函数极值问题中的应用。在讲述函数的极值与导数时，采用例题与变式结合的方法，通过例1和变式1探讨求已知函数极值的方法。例2和变式2、例3和变式3都是利用已知的极值点求函数的解析式或函数的单调区间。采用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解导数在求函数极值中应用。通过观看视频，大家一起讨论一下摆锤极限转动最高点问题.摆锤极限转动最高点跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10其图象如右.thothoa0)(ah0)(th单调递增0)(th单调递减yoxdbfcaehg对于d点,函数y=f(x)在点x=d的函数值f(d)比在其附近其他点的函数值都小，=0.在点x=d附近的左侧0在点x=d附近的右侧0)(xf)(xf我们把点d叫做函数y=f(x)的极小值点，f(d)叫做函数y=f(x)的极小值.yoxdbfcaehg在点x=e附近的左侧0在点x=e附近的右侧0)(xf)(xf对于e点，函数y=f(x)在点x=e的函数值f(e)比在其附近其他点的函数值都大，=0。我们把点e叫做函数y=f(x)的极大值点，f(e)叫做函数y=f(x)的极大值。yoxdbfcaehg极小值点、极大值点统称为极值点极小值、极大值统称为极值极大值一定大于极小值吗？观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系?oax0bxyxx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)oax0bxyxx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)增f(x)0f(x)=0f(x)0极大值减f(x)0f(x)=0增减极小值f(x)0请问如何判断f(x0)是极大值或是极小值？左正右负为极大，右正左负为极小函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为()A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值D例1、求函数f(x)=x3-12x+12的极值.解：=3x2-12=3(x-2)(x+2))(xf令=0)(xf得x=2,或x=-2下面分两种情况讨论：(1)当0即x2,或x-2时;)(xf(2)当0即-2x2时;)(xfx(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)+0-0+f(x)单调递增↗28单调递减↘-4单调递增↗当x变化时，,f(x)的变化情况如下表；)(xf因此，当x=-2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(-2)=28当x=2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2)=-4xyo1212)(3xxxf-22图象如右练习1、求函数f(x)=6+12x-x3的极值.=12-3x2=3(4-x2)=3(2-x)(2+x))(xfxyo-223126)(xxxfx(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)-0+0-f(x)↘-10↗22↘)(xf一般地,求函数的极值的方法是:解方程=0.当=0时.①如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极大值;②如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极小值.)(xf)(xf0)(xf0)(xf0)(xf0)(xf即“峰顶”即“谷底”例2、已知函数f(x)=ax3+bx2-2x在x=-2,x=1处取得极值：(1)求函数的解析式；(2)求函数f(x)的单调区间。解：(1)=3ax2+2bx-2)(xf0)1(f,0)2(f因为f(x)在x=-2,x=1处取得极值，所以xxxxf22131)(23所以2131ba解得=3ax2+2bx-2)(xf022302412baba即f(x)=ax3+bx2-2x(2)=x2+x-2)(xf由0,得x-2或x1,所以f(x)的单调增区间为(-∞,-2)∪(1,+∞))(xf)(xf由0,得-2x1,所以f(x)的单调减区间为(-2,1)探索:x=0是否为函数f(x)=x3的极值点?xyOf(x)x3若寻找可导函数极值点,可否只由f(x)=0求得即可?f(x)=3x2当f(x)=0时，x=0，而x=0不是该函数的极值点.f(x0)=0x0是可导函数f(x)的极值点x0左右侧导数异号x0是函数f(x)的极值点f(x0)=0注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件导数值为0的点一定是函数的极值点吗？例3:已知f(x)=ax5-bx3+c在x=1处有极值,且极大值为4,极小值为0.试确定a,b,c的值.解:).35(35)(2224baxxbxaxxf由题意,应有根,故5a=3b,于是:10)(xxf).1(5)(22xaxxf(1)设a0,列表如下:x-1(-1,1)1+0—0+f(x)↗极大值↘极小值↗)(xf)1,(),1(由表可得,即.04)1(0)1(4cbacbaff又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.(2)设a0,列表如下:x-1(-1,1)1-0≥00-f(x)↘极小值↗极大值↘)1,(),1()(xf由表可得,即.04)1(0)1(4cbacbaff又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,求a、b的值.解:=3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.①)(xf又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.②由①、②解得或.33114baba当a=-3,b=3时,,此时f(x)在x=1处无极值,不合题意.0)1(3)(2xxf当a=4,b=-11时,).1)(113(1183)(2xxxxxf当-11/3x1时,;x1时,,此时x=1是极值点.0)(0)(xfxf从而所求的解为a=4,b=-11.)(xf)(xf一般地,求函数的极值的方法是:解方程=0.当=0时.①如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极大值;②如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极小值.0)(xf0)(xf0)(xf0)(xf即“峰顶”即“谷底”abxy)(xfy?Oabxy)(xfy?O1.（2014年天津)函数的定义域为开区间)(xf导函数在内的图像如图所示,则函数在开区间内有（）个极小值点。A.1B.2C.3D.4)(xf),(ba),(ba),(ba)(xfAf(x)0f(x)0f(x)=0注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别必做题:2.函数在时有极值10，则a，b的值为（）A.或B.或C.D.以上都不对223)(abxaxxxf1x3,3ba11,4ba1,4ba11,4ba11,4baC解:由题设条件得：解之得注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件注意代入检验3.求下列函数的极值:xxy11）（16128223xxxy－）（1.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值，又有极小值，则a的取值范围为.注意：导数与方程、不等式的结合应用选做题:32()fxaxbxcx2.(2012年北京卷)已知函数在点处取得极大值5,其导函数的图像(如图)过点（1,0）,（2,0）,求：（1)的值；（2）a,b,c的值；0x'()yfx0x略解：(1)由图像可知：(2)注意：数形结合以及函数与方程思想的应用