【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)多媒体教学优质课件：2.2.1

第2课时分析法利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.其特点是:“由因导果”.用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:1PQ12QQ23QQnQQ…综合法是由一个个推理组成的综合法是万事开头难，虽然万事开头难，但有时候进展更难.会需要高超的技巧，深刻的解题指导思想.但开头难怎么办？如何找到开头呢？1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法之一的分析法.（重点）2.了解分析法的思考过程、特点.（难点）探究点分析法的定义引例：证明不等式：).0,0(2baabba证法1:因为所以所以所以成立证法1:因为所以所以所以成立()b20a20a+bab2a+baba+bab2a+bab2()b20a2a+bab只需证20a+bab只需证()b20a只需证因为成立a+bab2所以成立综合法分析法证法2:要证思考：上述两种证法有什么异同？都是直接证明证法1从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止.综合法相同不同证法2从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到一个明显使结论成立的条件.分析法分析法结论已知条件综合法已知条件结论综合法和分析法的推证过程如下：一般地，从要证明的出发，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法.其特点是：执果索因，即要证结果Q，只需证条件P.分析法（逆推证法或执果索因法）结论充分条件1QP23PP12PP得到一个明显成立的条件…类似于综合法，我们也可以用框图来表示分析法.用Pi表示使所要证明结论成立的充分条件，Q表示所要证明的结论,则分析法的思路过程，特点用框图表示为:注意：证明最后面的明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等.例1.求证：3+725.分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件.3725因为和都是正数，所以证明：为了证明，5273只需证，）（）（225273只需证21，10220即证21，210即证21，5即证2125.因为21显然成立，所以原不等式成立25.在本例中，如果我们从“2125”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论.但由于我们很难想到从“2125”入手，所以用综合法比较困难.【提升总结】【变式练习】求证：6372证法一：为了证明6372成立.因为,6372都是正数和所以只需证明22)63()72(成立展开得18291429即18214218141814因为1814成立，6372成立.所以18291429证法二：因为1418所以141818214222)63()72(所以2736.例2如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证AF⊥SC.FESCBA分析：本例所给的已知条件中，垂直关系较多，我们不容易确定如何在证明中使用它们，因而综合法比较困难.这时，可以从结论出发，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件.证明:证法一：要证AF⊥SC只需证SC⊥平面AEF只需证AE⊥SC只需证AE⊥平面SBC只需证AE⊥BC只需证BC⊥平面SAB只需证BC⊥SA由SA⊥平面ABC可知，上式成立.所以AF⊥SC成立还有其他证明方法吗？证法二:因为SA⊥平面ABC所以AE⊥BC又因为AE⊥SB,且BC∩SB=B所以AE⊥平面SBC所以AE⊥SC又因为EF⊥SC,且AE∩EF=E所以SC⊥平面AEF所以AF⊥SC所以BC⊥SA所以BC⊥平面SAB又因为AB⊥BC,且AB∩SA=A)tan1(2tan1tan1tan1(2)sincossin(1),sin2cossin),(2,322222＝求证：且已知例zkk分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角,因此第一步工作可以从已知条件中消去.观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系（sin+cos)2-2sincos=1,于是，由(1)2-2×(2)得4sin2α-2sin2β=1.把4sin2α-2sin2β=1与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论；统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数.把结论转化为cos2α-sin2α=(cos2β-sin2β),再与4sin2α-2sin2β=1比较，发现只要把cos2α-sin2α=(cos2β-sin2β)中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的.2121,1cossin2)cos(sin2证明：因为代入，可得所以将)2)(1((3).1sin2sin422另一方面，要证,)tan1(2tan1tan1tan12222即证,)cossin1(2cossin1cossin1cossin122222222即证,)sin(cos21sincos2222即证,)sin21(21sin2122即证由于上式与（3）相同，于是问题得证.224sin2sin1【提升总结】分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法.在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件.综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题.对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由因导果，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛.1.用分析法证不等式：欲证①AB，只需证②CD，这里①是②的()A.既不充分也不必要条件B.充要条件C.充分条件D.必要条件D2．若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ac＝1，则下列不等式成立的是()A．a2＋b2＋c2≥2B．(a＋b＋c)2≥3C.1a＋1b＋1c≥23D．abc(a＋b＋c)≤13B3．设a＝2，b＝7－3，c＝6－2，则a，b，c的大小关系为________．acb4．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：b＋c－aa＋c＋a－bb＋a＋b－cc3.[证明]左边＝ba＋ab＋cb＋bc＋ac＋ca－3，因a，b，c为不全相等的正实数，所以ba＋ab≥2，cb＋bc≥2，ac＋ca≥2，且上述三式的等号不能同时成立．所以ba＋ab＋cb＋bc＋ac＋ca－36－3＝3.即b＋c－aa＋c＋a－bb＋a＋b－cc3.1.在数学证明中，综合法和分析法是两种最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法，否则用分析法.2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，分析法的每步推理都是寻找充分条件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性.3.综合法和分析法是两种互逆的思维模式，在证明某些较复杂的问题时，常采用分析综合法，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点.坚决的信心，能使平凡的人们，做出惊人的事业.——马尔顿