简单的线性规划问题高考复习课件

二元一次不等式与线性规划问题衡东五中罗江英已知满足不等式yx,,3006xyxyx画出上述不等式组表示的平面区域解：先画出直线06yx取原点O(0,0)，带入，6yx,0600∵∴原点在不等式表示的平面区域内,不等式表示的平面区域如图所示.06yx06yx同理，可以画出其它两个不等式所表示的平面区域.所以不等式组表示的平面区域如图所示.一、画出不等式组表示的平面区域例16y4xO62242420yx06yx3x要判断一个一元二次不等式所表示的平面区域,只需在它所对应直线的某一侧取一个特殊不等式组表示的平面区域是各个不等式所),(00yx从CByAx00的正负判断即可.点表示的平面区域的公共部分.点评：BCA求:(1).yxz2的最大值和最小值;(2).yxz2的最大值和最小值;解:(1).做出可行域如图所示，并求出交当直线1l平移到过C点时,yxz2有最大值15932maxz当直线1l平移到过A点时,yxz2有最小值33)3(2minz做直线02:1yxl二、线型规划问题例2已知满足不等式yx,,3006xyxyx6y4xO62242420yx06yx3x1l,)9,3()3,3()3,3(CBA、、点坐标2l(2).作直线02:2yxl当直线2l平移到过B点时,yxz2有最大值.9)3(32maxz当直线2l平移到过A点时,yxz2有最小值33)3(2minz点评：此类问题的目标函数表示直线的截距,注意截距与目标函数中z的关系.BCA6y4xO62242420yx06yx3xN求：(1).最大值和最小值;(2).222yxxz最大值和最小值;22yxz22yxz解:(1)表示可行域内任一点),(yx到原点)0,0(O的距离的平方.过O向直线ACBC、作垂线,垂足非别为.A、N易知,)9,3(C到O距离最大,此时,909322maxz.00022minz例3已知满足不等式yx,,3006xyxyxBCA6y4xO62242420yx06yx3xP3.(2).解:1)1(22222yxyxxz表示可行域内任一点到定点)0,1(M距离的平方再减去1.过M作直线AB的垂线,垂足是P由直角三角形直角边与斜边关系,容易判断出z的最小值是,21||MPz的最大值为.96||MC点评：此类问题转化为可行域内的点到定点的距离.MBCA6y4xO62242420yx06yx3xQ已知满足不等式yx,,3006xyxyx求：(1).xyz3的范围;(2).12xyz的范围.解:(1)表示可行域内任一点与定点Q（0,-3）连线的斜率,xyz3因为,0,2QBQAkk所以z的范围为.),0[]2,(例4BCA6y4xO62242420yx06yx3x(2).表示可行域内任一点与定点12xyz因为,21,25RBRAkkR（-1,-2）连线的斜率,R所以z的范围为.),21[]25,(点评：此类问题转化为可行域内的点到定点的斜率.BCA6y4xO62242420yx06yx3x已知满足不等式yx,,3006xyxyx,)0(ayaxz设若当z取最小值时对应的点有无数多个,求a的值.解:如图所示,刚好移动到直线AB时,将会有无数多个点使函数取得最小值.又由于,1ABk所以.1a)0(azaxy即直线点评：此类问题要结合图形理解刚好移动到直线AB时满足条件.例5BCA6y4xO62242420yx06yx3xBAyxO三、线性规划的实际应用例6预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子,希望使桌子的总数尽可能的多,但椅子不少于桌子数,且不多于桌子数的1.5倍,问桌、椅各买多少才行？解：设桌、椅分别买yx、张,目标函数.yxz则yx、应满足条件,0,05.120002050yxxyxyyx由,20002050xyyx得,)7200,7200(A由,5.120002050xyyx得.)275,25(B则有图可知yxz在可行域内的最优解为.)275,25(又,,**NyNx故取.37y所以,桌、椅分别买25张、37张最好.点评：注意解应为正整数,不满足条件应做调整.xy5.1xy20002050yx•【例3】某厂使用两种零件A、B装配两种产品a、b，该厂的生产能力是月产a最多2500件，月产b最多1200件，而组装一件a需4个A、2个B，组装一件b需6个A、8个B.某个月，该厂能用A最多14000个，B最多12000个，已知产品a每件利润1000元，产品b每件利润2000元，欲使该月利润最高，需组装产品a、b各多少件？最高利润是多少万元？解：设月生产产品a、b分别为x件、y件，该月利润为z，则0≤x≤2500，0≤y≤1200，4x＋6y≤14000，2x＋8y≤12000，即0≤x≤2500，①0≤y≤1200，②2x＋3y≤7000，③x＋4y≤6000，④目标函数z＝1000x＋2000y，即z＝1000(x＋2y)．设x＋2y＝λ(2x＋3y)＋k(x＋4y)，易得λ＝25，k＝15.∴x＋2y＝25(2x＋3y)＋15(x＋4y)≤25×7000＋15×6000＝4000.∴zmax＝1000×4000＝4000000(元)．等号成立的条件是2x＋3y＝7000，x＋4y＝6000，即x＝2000，y＝1000，•符合条件①、②.•∴最优解为(2000,1000)，即组装产品a为2000件、产品b为1000件时，月利润最高，最高利润为400万元．•变式迁移3(2009·湖北高考)在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为()•A．2000元B．2200元•C．2400元D．2800元解析：设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件20x＋10y≥100，0≤x≤4，0≤y≤8，求线性目标函数z＝400x＋300y的最小值．解得当x＝4，y＝2时，zmin＝2200，故选B.答案：B