中北大学概率统计习题册第三章完整答案(详解)

第三章随机变量的数字特征班级姓名学号成绩2013-2014-1-10-1.设随机变量X的分布列为X-1-2012p0.10.20.40.10.2试计算：2,,22XEXEXE。解：2EX10.100.220.430.140.22EX10.120.200.410.120.2122EX30.160.220.430.160.23.82.设随机变量X的分布列为：3,2,1,1kpqkXPk,其中p为常数，01p，1qp。求(),()EXDX。解：11()kkEXkpq111kkkqq111kkkkkqkq011kkkkkqkq01111kkqqp2211()kkEXkpq11211kkkkkkpqkpq122111kkkkkkqkkqp12111kkkkkkqkkqp112kkkqp1121kkqkpqpp221qpp所以，22()DXEXEX222211qqpppp3.设随机变量X的概率密度函数为1()exp{}2xfx，其中0为常数，求()EX。解：1ed2xEXxx11eded2211eded22xxttxxxttx注：关于绝对收敛性01ed211eded2211eded22xxxttxxxxxtxtx或1ed2xxx||1ed()2txttt当0时||ededtttttt第三章随机变量的数字特征班级姓名学号成绩2013-2014-1-11-00ededttttttee2e2当0时0||ededtttttt0ededttttttee2e2综上所述，我们有||1||ed||2xEXxxe4.设随机变量X表示圆的半径，X的概率密度函数为：其它01)(bxaabxf，求圆的周长L和面积S的数学期望。解：2πELEX2πdbaxxabba2πESEX222ππd3baxxababba5．设连续型随机变量X的概率密度为：1101010xxfxxx其它试求X数学期望和方差。解：dEXxfxx01101d1dxxxxxx110;6620122100d1d1d11112126DXxfxxxxxxxx6.设连续型随机变量X的概率密度函数为：其它0bxakxf，且1()0,()3EXDX，试求bak,,。解：由于fx是X的概率密度，所以有dd1bafxxkxkba即1kba又()d02baxabEXxba得0ab所以221()d233bbxbDXxb所以1b，从而11,2ak7.设随机变量X的概率密度函数为其它02131)(xxf，且随机变量010001XXXY，第三章随机变量的数字特征班级姓名学号成绩2013-2014-1-12-求)(YD。解：10PYPX00111dd33fxxx10PYPX20012dd33fxxx100PYPX所以Y的分布律为Y-101230132111001333EY2222211001133EY22218139DYEYEY8.一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)的概率密度为000414xxexfx工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元。试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。解：设Y表示出售一台设备的净赢利为Y元，则2001PYPX11441ed1e4xx1001PYPX1411ePX11442001e100eEY14300e20033.649.设二维随机变量(,)XY的联合分布律为试求)(),(),(),(33YXEXYEYXEXE。解:11116412EX111102124663311512ijijijEXYxyp3311512ijijijEXYxyp3333331113()12ijijijEXYxyp10.设随机变量X与Y的联合分布律为试证明：X与Y不相关，且不相互独立。并试着写出YX,之间的关系来说明YX,的不相关性。解：由X与Y的联合分布律得第三章随机变量的数字特征班级姓名学号成绩2013-2014-1-13-XY-2-112jp100.250.2500.540.25000.250.5ip0.250.250.250.25其中,iijjpPXxpPYy410,iiiEXxp10.540.52.5EY，42110ijijijEXYpxy，从而(,)0CovXYEXYEXEY；所以，X与Y不相关；111100ppp，所以X与Y不相互独立由于显然2X的分布律与Y完全相同，所以有2YX，这表明X与Y之间没有线性关系，即它们不相关。11.设随机变量(,)XY的联合概率密度函数为其它02010241y,xyxy,xf求：)(),(),(),(XYEYXEXDXE。解：,ddEXxfxyyx12002dd4xyxyx120d2xxx71222,ddEXxfxyyx122002dd4xyxyx2130d2xxx5122211144DXEXEX,ddEXYxyfxyyx12002dd4xyxyyx120237d324xxx,ddEXYxyfxyyx12002dd4xyxyyx12022d33xxx12.设随机变量(,)XY的联合概率密度为其它0108),(yxxyyxf试求(,),()CovXYDXY。解：,ddEXxfxyyx11208ddxxyyx124084d15xxx22,ddEXxfxyyx11308ddxxyyx135014d3xxx2211225DXEXEX,ddEYyfxyyx第三章随机变量的数字特征班级姓名学号成绩2013-2014-1-14-11208ddxxyyx14084d35xxx22,ddEYyfxyyx11308ddxxyyx15022d3xxx22275DYEYEY,ddEXYxyfxyyx112208ddxxyyx125084d39xxxcov,XYEXYEXEY48449155225()2cov,DXYDXDYXY11281225752252513.设某商品每周的需求量X服从分布30,10U，而经销商店进货量为区间1030,中的某一整数，商店每销售一件商品可获利500元。若供大于求则削价处理，每处理一件商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每件商品仅获利300元。为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量。解：设进货1030yy件，则商店获利为5001001050030030XyXXygXyXyyX6001001030020030XyXyXyyX由于~[10,30]XU，其概率密度函数为11030200xfx其它所以商店所获利润期望值为dEgXgxfxx101600100d20yxyx301300400d20yxyx21535052502yy9280解此不等式得2225y最少进货量为22件。解法2由于实际中商品件数是整数。本题也可处理成离散型均匀分布，即需求X的分布律为1,10,11,,3021PXkk，则10160010021ykEgXxy301130020021kyxy250235037500777yy9280解此不等式同样得到2225y最少进货量为22件。