中北大学概率统计习题册第七章完整答案(详解)

第七章参数估计班级学号姓名成绩2013-2014-1-32-第七章参数估计1.设总体X的密度函数为其它010)1()(xxxf，其中1是未知参数,nXXX,,,21为取自总体X的容量为n的随机样本。(1)求的矩估计量；解：由101(1)d2EXxxx得211EXEX所以，的矩估计量为XX112ˆ;(2)求的极大似然估计量。解：的似然函数为1()(1)niiLx取对数得对数似然函数1ln()ln1lnniiLnx令1dln()ln0d1niiLnx得的极大似然估计量为niiXn1ln1ˆ2.设总体X的概率密度为其中0未知,从总体中抽取简单随机样本nXXX,,,21.(1)求的矩估计量；解：由212ed2xEXxx得12EX所以的矩估计量为1ˆ2X；(2)求的极大似然估计量。解：的似然函数为2()1()2inxiLe1222,,1,2,,niixnnieexin是的增函数，而1miniinx，所以的极大似然估计为1ˆminiinX。3.设),,,(21nXXX为来自总体),0(~2NX的一个样本,求2的极大似然估计并检验其是否为无偏估计。解：2的似然函数为222211()e2πixniL对数似然函数为222211ln()ln2πln222niinnLx令222241dln()20d2niiLnx得2的极大似然估计量为2211ˆniiXn由于222iiEXDX，所以22211ˆniiEEXn22()0xexfxx第七章参数估计班级学号姓名成绩2013-2014-1-33-这表明2211ˆniiXn是2的无偏估计。4.设总体X具有分布律其中)10(为未知参数.已知取得了样本值12341,2,1,3xxxx====.(1)求的矩估计值；解：由21221EX23132得32EX所以，的矩估计量为3ˆ2X的矩估计值为35ˆ28x(2)求的极大似然估计值。解：似然函数为1(){}niiLPXx2222(1)(1)532(1)对数似然函数为ln()ln25ln3ln(1)L令()5301dLd，得极大似然估计值为5ˆ8。5.设nX,,X,X21是总体2(,)N的一个样本，试适当选择常数c,使1211()niiicXX为2的无偏估计。1211()niiiXX122111(2)niiiiiXXXX11222112122nnniiiiiXXXXX2222,1,2,,iEXEXin211iiiiEXXEXEX所以1211()niiiEXX1222122nniiEXEXEX1112niiiEXX221n所以，当121cn时，1211()niiicXX为2的无偏估计。6.设21X,X是取自总体)()1,(未知N的一个样本，试证如下三个估计量都是的无偏估计量,并确定最有效的一个：2113132XXˆ，2124341ˆXX，2132121ˆXX。证明：由iEX得11221ˆ33EEXEX21213ˆ44EEXEX第七章参数估计班级学号姓名成绩2013-2014-1-34-31211ˆ22EEXEX所以，1ˆ、2ˆ和3ˆ都是的无偏估计量。1,1,2,3iDXi并且1,2,3iXi相互独立，所以112415ˆ999DDXDX212195ˆ16168DDXDX312111ˆ442DDXDX所以，三个无偏估计量中，3ˆ最有效。7.某车间生产滚珠，其直径X是随机变量，从长期实践中知道X服从2(,)N。从某天产品中随机抽取6件，测得其直径(单位：mm)14.60，15.10，14.90，14.80，15.20，15.10⑴估计该产品的平均直径；14.95x⑵若已知09.02，求的置信水平为0.95的置信区间；[14.75,15.15]⑶若题目中2未知，则的置信水平为0.95的置信区间又是多少？[14.72,15.18](4)若未知，求总体标准差的置信水平为95%的置信区间。8.某厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱.现分别从两条流水线上抽取了容量分别为13与17的两个相互独立的样本1321,,,XXX,1721,,,YYY已知两样本的样本均值及样本方差分别为：10.6,9.5,xgyg==2222122.4,4.7sgsg==.假设两条流水线上罐装的番茄酱的重量都服从正态分布，其期望分别为1与2，方差分别为2221,。(1)若它们的方差相同22221（未知）,求21的置信水平为0.95的置信区间；[-0.3545,2.5545](2)若不知它们的方差是否相同,求它们的方差比2221的置信水平为0.95的置信区间。[0.1767,1.6136]