12复数十年高考题(带详细解析)

第十二章复数●考点阐释复数的概念是复数理论的基础，在解题活动中它经常是思维的突破口；围绕复数的代数形式和三角形式给出的两类运算，体现了复数知识的广泛联系性和普遍渗透性，这两种形式及其运算也为我们处理复数问题提供了代数思考方法和三角思考方法；复数概念及其运算的几何意义，为我们从几何上处理复数问题或几何问题复数化提供了广阔的空间.正确地进行复数各种形式间的转换，选准复数的表示形式是灵活运用复数知识处理复数与三角、复数与几何、复数与方程综合题的关键.●试题类编※1.（2003京春文7，理3）设复数z1=－1+i，z2=2321i，则arg21zz等于（）A.－125πB.125πC.127πD.1213π2.（2003上海春，14）复数z=iim212（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限※3.（2002京皖春，4）如果θ∈（2，π），那么复数（1＋i）（cosθ＋isinθ）的辐角的主值是（）A.θ＋49B.θ＋4C.θ4D.θ＋474．（2002全国，2）复数（2321i）3的值是（）A.－iB.iC.－1D.15.（2002上海，13）如图12—1，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（）※6.（2001全国文，5）已知复数ｚ＝i62，则argz1是（）图12—1A.6B.611C.3D.35※7.（2000京皖春文，11）设复数z1＝－1－i在复平面上对应向量1OZ，将1OZ按顺时针方向旋转65π后得到向量2OZ，令2OZ对应的复数z2的辐角主值为θ，则tanθ等于（）A.2－3B.－2＋3C.2＋3D.－2－3※8.（2000全国，2）在复平面内，把复数3－3i对应的向量按顺时针方向旋转3，所得向量对应的复数是（）A.23B.－23iC.3－3iD.3+3i※9.（2000上海理，13）复数z＝)5sin5(cos3i（i是虚数单位）的三角形式是（）A.3［cos（5）＋isin（5）］B.3（cos5＋isin5）C.3（cos54＋isin54）D.3（cos56＋isin56）10.（2000京皖春，1）复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内的对应点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11.（2000京皖春理，11）设复数z1＝2sinθ＋icosθ（4＜θ＜2)在复平面上对应向量1OZ，将1OZ按顺时针方向旋转43π后得到向量2OZ，2OZ对应的复数为z2＝r（cos＋isin），则tan等于（）A.1tan2tan2B.1tan21tan2C.1tan21D.1tan21※12.（1998全国，8）复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（）A.i2123B.i2123C.±i2123D.±i212313.（1996全国，4）复数54)31()22(ii等于（）A.1+3iB.－1+3iC.1－3iD.－1－3i14.（1994上海，16）设复数z=－2321i（i为虚数单位），则满足等式zn=z且大于1的正整数n中最小的是（）A.3B.4C.6D.715.（1994全国，9）如果复数z满足|z+i|+|z－i|=2，那么|z+i+1|的最小值是（）A.1B.2C.2D.5二、填空题16.（2003上海春，6）已知z为复数，则z+z＞2的一个充要条件是z满足.17.（2002京皖春，16）对于任意两个复数z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i（x1、y1、x2、y2为实数），定义运算“⊙”为：z1⊙z2＝x1x2＋y1y2．设非零复数w1、w2在复平面内对应的点分别为P1、P2，点O为坐标原点．如果w1⊙w2＝0，那么在△P1OP2中，∠P1OP2的大小为．18.（2002上海，1）若z∈C，且（3＋z）i＝1（i为虚数单位），则z＝．19.（2001上海春，2）若复数z满足方程zi=i－1（i是虚数单位），则z=_____.20.（1997上海理，9）已知a=ii213（i是虚数单位），那么a4=_____.21.（1995上海，20）复数z满足（1+2i）z=4+3i，那么z=_____.三、解答题22.（2002上海春，17）已知z、w为复数，（1＋3i）z为纯虚数，w＝iz2，且|w|＝52，求w．23.（2002江苏，17）已知复数z＝1＋i，求实数a，b使az＋2bz＝（a＋2z）2．24.（2001京皖春，18）已知z7＝1（z∈C且z≠1）.（Ⅰ）证明1＋z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6＝0；（Ⅱ）设z的辐角为α，求cosα＋cos2α＋cos4α的值.※25.（2001全国理，18）已知复数z1＝i（1－i）3.（Ⅰ）求argz1及|z1|；（Ⅱ）当复数z满足|z|＝1，求|z－z1|的最大值.26.（2001上海理，20）对任意一个非零复数z，定义集合Mz＝｛w|w＝z2n－1，n∈N｝．（Ⅰ）设α是方程x＋21x的一个根，试用列举法表示集合Mα；（Ⅱ）设复数ω∈Mz，求证：MωMz．27.（2001上海文，20）对任意一个非零复数z，定义集合Mz＝｛w|w＝zn，n∈N｝．（Ⅰ）设z是方程x+x1=0的一个根，试用列举法表示集合Mz．若在Mz中任取两个数，求其和为零的概率P；（Ⅱ）若集合Mz中只有3个元素，试写出满足条件的一个z值，并说明理由．28.（2000上海春，18）设复数z满足|z|＝5，且（3＋4i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，|2z－m|＝52（m∈R），求z和m的值.29.（2000上海理，22）已知复数z0＝1－mi（M＞0），z＝x＋yi和ω＝x′＋y′i，其中x，y，x′，y′均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有ω＝0z·z，|ω|＝2|z|．（Ⅰ）试求m的值，并分别写出x′和y′用x、y表示的关系式；（Ⅱ）将（x，y）作为点P的坐标，（x′，y′）作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q.当点P在直线y=x+1上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；（Ⅲ）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由.※30.（1999全国理，20）设复数z＝3cosθ＋i·2sinθ.求函数y＝θ－argz（0＜θ＜2）的最大值以及对应的θ值.※31.（1999上海理，19）已知方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）有实数根b，且z=a+bi，求复数z（1－ci）（c＞0）的辐角主值的取值范围.※32.（1999上海文，19）设复数z满足4z+2z=33+i，ω=sinθ－icosθ（θ∈R）.求z的值和|z－ω|的取值范围.※33.（1998上海文，18）已知复数z1满足（z1－2）i=1+i，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求复数z2的模.※34.（1998上海理，18）已知向量OZ所表示的复数z满足（z－2）i=1+i，将OZ绕原点O按顺时针方向旋转4得1OZ，设1OZ所表示的复数为z′，求复数z′+2i的辐角主值.※35.（1997全国文，20）已知复数z=2321i，w=2222i，求复数zw+zw3的模及辐角主值.36.（1997全国理，20）已知复数z=2321i，ω=2222i.复数z，z2ω3在复数平面上所对应的点分别是P、Q.证明：△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）.37.（1997上海理，20）设虚数z1，z2满足z12=z2.（1）若z1、z2是一个实系数一元二次方程的两个根，求z1、z2；※（2）若z1=1+mi（m＞0，i为虚数单位），ω=z2－2，ω的辐角主值为θ，求θ的取值范围.38.（1996上海理，22）设z是虚数，w=z+z1是实数，且－1＜ω＜2.（Ⅰ）求|z|的值及z的实部的取值范围；（Ⅱ）设u=zz11，求证：u为纯虚数；（Ⅲ）求w－u2的最小值.39.（1995上海，22）已知复数z1、z2满足|z1|=|z2|＝1，且z1+z2=2321i.求z1、z2的值.※40.（1995全国文，22）设复数z=cosθ+isinθ，θ∈（π，2π）.求复数z2+z的模和辐角.※41.（1995全国理，21）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O（其中O是原点），已知Z2对应复数z2=1+3i，求Z1和Z3对应的复数.※42.（1994全国理，21）已知z=1+i，（Ⅰ）设w=z2+3z－4，求w的三角形式.（Ⅱ）如果122zzbaxz=1－i，求实数a，b的值.43.（1994上海，22）设w为复数，它的辐角主值为43π，且4)(2为实数，求复数w.答案解析1.答案：B解析一：通过复数与复平面上对应点的关系，分别求出z1、z2的辐角主值.argz1=43π，argz2=3.所以arg12534321zz∈［0，2π），∴arg12521zzπ.解析二：因为iiiiizz)2123()2123()2321)(1(2321121.在复平面的对应点在第一象限.故选B评述：本题主要考查复数的运算法则及几何意义、辐角主值等概念，同时考查了灵活运用知识解题的能力，体现了数形结合的思想方法.2.答案：A解析：由已知z=51)21)(21()21)(2(212iiiimiim［（m－4）－2（m+1）i］在复平面对应点如果在第一象限，则0104mm而此不等式组无解.即在复平面上对应的点不可能位于第一象限.3.答案：B解析：（1＋i）（cosθ＋isinθ）＝2（cos4＋isin4）（cosθ＋isinθ）＝2［cos（θ＋4）＋isin（θ＋4）］∵θ∈（2，π）∴θ＋4∈（43，45）∴该复数的辐角主值是θ＋4．4.答案：C解法一：（2321i）3＝（cos60°＋isin60°）3＝cos180°＋isin180°＝－1解法二：ii2321,2321，∴1)()()2321(333i5.答案：D6.答案：D解法一：35arg21arg),3sin3(cos22)2321(22zziiz解法二：)31(2iz∴22311iz∴z1,0223,0221应在第四象限，tanθ＝3，θ＝argz1．∴argz1是35π．7.答案：C解析：∵argz1＝45π，argz2＝125π∴tanθ＝tan125＝tan75°＝tan（45°＋30°）＝323333．8.答案：B解析：根据复数乘法的几何意义，所求复数是iiiii32)2321)(33()]3sin()3)[cos(33(．9.答案：C解法一：采用观察排除法.复数)5sin5(cos3iz对应点在第二象限，而选项A、B中复数对应点在第一象限，所以可排除.而选项D不是复数的三角形式，也可排除，所以选C.解法二：把复数)5sin5(cos3iz直接化为复数的三角形式，即).54sin54(cos3)]5sin()5[cos(3)5sin5cos(3iiiz10.答案：D解析：1223arg47,47arg,6arg02121zzzz．11.答案：A解析：设z1＝2sinθ＋icosθ＝|z1|（cosα＋isinα），其中|z1|＝||sin2cos,cossin4122z，sinα＝||cos1z（24）．∴z2＝|z1|·［cos（α43）＋isin（α43）］＝r（cos＋isin）．∴tan＝1tan