17.第一部分 第四章 第2讲 第2课时 等腰三角形与直角三角形[配套课件]

孝感市数学第四章图形的认识第2讲三角形第2课时等腰三角形与直角三角形1．了解等腰三角形的有关概念，掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件．2．理解等边三角形的概念及其性质．3．了解直角三角形的概念，掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件．4．会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形．考点1等腰三角形的判定与性质1．判定．(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形，即“等边对等角”．(等腰三角形的定义)(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”．2．性质．相等重合(1)等腰三角形的两个底角________，即“等边对等角”．(2)三线合一：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相________．(3)对称性：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是_______________________________________所在的直线．底边上的高(底边上的中线或顶角的平分线)考点2等边三角形的判定与性质1．判定．(1)三条边都相等的三角形是等边三角形．(2)三个角都相等的三角形是等边三角形．等腰(3)有一个角是60°的__________三角形是等边三角形．2．性质．相等60°三(1)等边三角形的三条边__________.(2)等边三角形的三个角都是_________．(3)对称性：等边三角形是轴对称图形，有__________条对称轴．考点3直角三角形的判定与性质1．判定．(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形．(2)勾股定理的逆定理．(3)如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2．性质．互余一半一半(1)直角三角形的两个锐角________．(2)在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的_____．(3)在直角三角形中，斜边上的中线长等于斜边长的_____．考点4勾股定理及其逆定理1．勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和______斜边的平方．等于平方2．勾股定理的逆定理：若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的________，则这个三角形是直角三角形．1．有一个内角是60°的等腰三角形是()BA．钝角三角形C．直角三角形B．等边三角形D．以上都不是2．边长为4的正三角形的高为()DA．2B．4C.D．3．(2014年江苏盐城)若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为()DA．40°B．50°C．60°D．70°3234．(2014年云南昌宁二模)等腰三角形的一个外角等于100°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为()DA．40°，40°C．50°，50°B．80°，20°D．50°，50°或80°，20°5．(2014年浙江丽水)如图4-2-27，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是____．图4-2-2720等腰三角形的性质与判定例题：(2014年四川南充二模)如图4-2-28，已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.(1)求证：DE＝DF；(2)若∠A＝90°，图中与DE相等的有哪些线段？(不用说明理由)图4-2-28思路分析：(1)连接AD，由AB＝AC，根据三线合一的性质，可得∠EAD＝∠FAD，再根据角平分线的性质即可得证；(2)若∠BAC＝90°，则△ADE，△ADF，△BDE，△CDF都是等腰直角三角形．解：(1)如图4-2-29，连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，∴DE＝DF.图4-2-29(2)若∠BAC＝90°，图中与DE相等的有线段AE，AF，BE，CF，DF.【试题精选】1．(2013年甘肃白银)等腰三角形的周长为16，其一边长5,5或6,4为6，则另两边分别为______________．2．(2013年湖北仙桃)如图4230，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为()A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm图4-2-30形．∴AM＝AN＝MN.∴BM＝MN＝NC.∴MN＝BC＝2cm.故解析：连接MA，NA.∵ME为AB的垂直平分线，NF为AC的垂直平分线，∴BM＝AM，CN＝AN.∴∠MAB＝∠B，∠CAN＝∠C.∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°.∴∠BAM＋∠CAN＝60°，∠AMN＝∠ANM＝60°.∴△AMN是等边三角选C.答案：C133．(2014年吉林长春模拟)如图4-2-31，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD＝CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB，交AB于点F.求证：CE⊥CF.图4-2-31证明：∵CD＝CA，E是AD的中点，∴∠ACE＝∠DCE.∵CF平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF.∵∠ACE＋∠DCE＋∠ACF＋∠BCF＝180°，∴∠ACE＋∠ACF＝90°，即∠ECF＝90°.∴CE⊥CF.名师点评：解决与等腰三角形相关的计算问题时，一定要分清顶角和底角、底边和腰，适当情况下应该分类讨论，找出正确答案．证明两条线段、两个角相等的常用方法：若它们在同一个三角形中，可利用角证边或用边证角；若它们在不同的三角形中，则通过证两个三角形全等来实现．直角三角形的性质与判定例题：如图4-2-32(1)，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m．则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为()图4-2-32A．12mB．13mC．16mD．17m解析：如图4-2-32(2)，作BC⊥AE于点C，则BC＝DE＝8.设AE＝x，则AB＝x，AC＝x－2.在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，则x2＝(x－2)2＋64.解得x＝17.答案：D【试题精选】4．直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，这个三角形有一个锐角是()CA．15°B．30°C．45°D．60°解析：设直角三角形的两直角边是a，b，斜边是c.由题意，得2ab＝c2.根据勾股定理，得a2＋b2＝c2.因而a2＋b2＝2ab，即a2＋b2－2ab＝(a－b)2＝0.∴a＝b.则这个三角形是等腰直角三角形．因而这个三角形的锐角是45°.故选C.5．(2013年湖北黄冈)如图4-2-33，已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE＝CD＝1，连接DE，则DE＝__________.图4-2-333解析：∵△ABC为等边三角形，BD为中线，∴∠DBC＝30°，∠BCD＝60°，BC＝AC＝2CD＝2，BD⊥AC.∴在Rt△BCD中，BD＝BC2－CD2＝3.∵CE＝CD，∴∠E＝∠EDC.∵∠BCD＝∠E＋∠EDC，∴∠E＝12∠BCD＝30°＝∠DBC.∴DE＝BD＝3.名师点评：解决直角三角形问题的关键：一是能熟练运用勾股定理及其逆定理分析与解决实际问题；二是解题时能灵活运用直角三角形的一些性质，如两锐角之间的关系、斜边与斜边上中线的关系；三是当几何问题中给出了线段长度时，往往要构造直角三角形(如勾股数或添加辅助线将非直角三角形转化为直角三角形)．