高等数学 习题册解答_7.微分方程(青岛理工大学)

班级姓名学号成绩：日期.1第七章微分方程§1微分方程的基本概念1、由方程x2-xy+y2=C所确定的函数是方程（）的解。A.(x-2y)y=2-xyB.(x-2y)y=2x-yC.(x-2)dx=(2-xy)dyD.(x-2y)dx=(2x-y)dy2、曲线族y=Cx+C2(C为任意常数)所满足的微分方程（）A.y=xy+y2B.y=Cx+y2C.xy+y2=CD.y=xy+y23如函数满足初始条件：y=(C1+C2x)e2x,y|x=0=0,y|x==1，则C1,C2的值为（）A.C1=0,C2=1B.C1=1,C2=0C.C1=,C2=0D.C1=0,C2=4.微分方程y=yx21写成以y为自变量，x为函数的形式为（）A.yx21dxdyB.yx21dydxC.x=2x-yD.y=2x-y5.已知某初值问题的解为y=C1sin(x-C2)y|x==1,y|x==0,确定C1,C2解：y=C1sin(x-C2),y=C1cos(x-C2)代入y|x==1,y|x==0得C1=1,C2=2k+26.设物体A从点(0,1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正向运动。物体B从点(-1,0)与A同时出发，其速度大小为2v,方向始终指向A，试建立物体B的运动轨迹满足的微分方程，并写出初始条件。解：设在时刻t，物体B位于(x,y)处，则x)vt1(ydxdy整理可得：dxdtvdxydx22○1而dtdxdxdy1dtdsv22有dxdy1v21dxdt○2其中s表示B的运动轨迹的曲线的弧长。将○2代入○1得：0dxdy121dxydx222初始条件：y(-1)=0,y(-1)=1§2可分离变量的微分方程1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（）班级姓名学号成绩：日期.2A.可分离变量的微分方程B.一阶微分方程的对称形式。C.不是微分方程D.不能变成)y,x(P)y,x(Qdydx2、方程xy-ylny=0的通解为（）Ay=exB.y=CexC.y=ecxD.y=ex+C3、方程满足初始条件：y=e2x-y,y|x=0=0的特解为（）A.ey=e2x+1B.21elnyx2C.y=lne2x+1-ln2D.ey=21e2x+C4、已知y=y(x)在任一点x处的增量xx1yy2，且当x0时，是x的高阶无穷小，y(0)=,则y(1)=()A.2B.C.4eD.4e5、求特解cosxsinydy=cosysinxdx，y|x=0=4解：分离变量为tanydy=tanxdx即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnCcosy=ccosx代入初始条件：y|x=0=4得：22C特解为：2cosy=cosx6、求微分方程2yxcosyx21cosdxdy满足y(0)=的特解。解：由02yxcos2yxcosdxdy得：2xsin2ysin2dy积分得：C2xcos2xycot2ycscln代入初始条件：y(0)=，得C=-27、求微分方程022/yxeyy满足y(0)=0的特解8、子弹以速度v0=400m/s打进厚度为h=20cm的墙壁，穿透墙壁后速度为100m/s飞出。假定墙壁对于子弹的阻力和子弹运动速度平方成正比，求子弹穿透墙壁所用的时间。解：设在时间t=0时，子弹打进墙壁v(t)表示子弹在t时刻速度。子弹在墙壁中的运动所受阻力kv2(k为常数)由牛顿第二定律得：2kvdtdvCkt1v又班级姓名学号成绩：日期.2v(0)=v0=400.解得C=40011kt400400v可设子弹穿透墙壁所用时间为T，且墙壁后h=20cm,知2.0dt)t(vT0即：2.0)1kT400ln(k1)1kt400ln(k11kt400dt400dt)t(vT0T0T0e0.2k=400kT+1(*)由题设知：子弹在时刻T时，飞出墙壁，且速度为100m/s，即1001kT400400)T(v，得400kT=3，代入(*)得：k=10ln2，即2ln4003T§3齐次方程1.(x2+y2)dx-xydy=0，其通解为（）A.y2=x2(2ln|x|+C)B.y=x(2ln|x|+C)C.y2=2x2ln|x|+CD.y=2xln|x|+C2.xyyxy,y|x=1=2，则特解为（）A.y2=2x2(lnx+C)B.y2=2x2(lnx+2)C.y=2xlnx+CD.y=2xlnx+23.0dyyx1e2dxe21yxyx的通解为（）A.x=2y+CB.2xyeyxC.Cye2xyxD.以上都不对4、求yx2+xy=y2满足y|x=1=1的特解。解：uxy,xyxyy2令，则xdx)2u(udu解得：2x1x2y5、求微分方程(x2+2xy-y2)dx-(y2+2xy-x2)dy=0满足初始条件y|x=1=1的特解解：xyu,xxy2yyxy2xdxdy2222令可得1u2u1uuudxdux223班级姓名学号成绩：日期.3解得：lnx+lnC=ln(u+1)-ln(1+u2)即x(1+u2）=C(1+u),代入初始条件y|x=1=1得特解x2+y2=x+y6、求初值问题0|y)0x(0xdydxyxy0x22的解解：原方程化为2xy1xydxdy令y=xu这里可得：xdxu1du2222222CxyxyCxxy1xyCxu1uClnxlnu1uln将y|x=1=0代入的特解为222xyxy或21x21y27、求曲线，使其上任一点到原点的距离等于该点的切线在x轴上的截距解：设曲线上任一点P(x,y)，曲线：y=y(x)，则由题意知：Y-y=y(X-x)又yyxyx22得yxu,dydxyx1yx2令整理得：2u1dyduy解得：Cylnu1uln2得通解Cyxx22六、求1y4x21y2xy的解。解：令u=x+2y，则u=1+2y'1u21u)1u(21班级姓名学号成绩：日期.4dx4duu1u22u-lnu=4x+C2(x+2y)-ln(2+2y)=4x+C§4一阶线性微分方程1、微分方程(y2+1)dx=y(y-2x)dy的通解是（）A.Cy311y1y32B.Cy311y1x32C.Cy311x1y32D.32y311y1x2、微分方程xy+2y=xlnx满足y(1)=91的解为（）A.x91xlnx31yB.x91xlnx31yC.xlnx31Cyx32D.x91xln31y3、y+y=y2(cosx-sinx)的通解为（）A.y=Cex-sinxB.y1=Cex-sinxC.Cyex-ysinx=CD.y=ex-sinx+C4、求通解32.23yxydxdyx解：23231xy23dxdyxy，令32yz得2xz23dxdz23x2x32zx1dxdzdxx12dxx1ex32CezCx4132x1y332即xCx61y2322.xdy-ydx=y2eydy解：整理得yyexy1dydx班级姓名学号成绩：日期.5CyedyeyeCexydyy1ydyy15、求通解xdy-ydx=y2eydy解：整理得yyexy1dydxCyedyeyeCexydyy1ydyy16、求初值问题0|)(0xyxfayy的解y(x)，其中a是常数，f(x)是连续函数解：x0ataxdte)t(fe)x(y7、求微分方程ycosy-cosxsin2y=siny的解。（提示令z=siny）解：设z=siny，则方程化为z-z=z2cosx，是伯努利方程令u=z-1得u+u=-cosxxdxdxCexsinxcos21dxe)xcos(Ceu从而得x1eCxsinxcosysin28、设环境保持恒定温度20C，有一个物体在10秒内从温度100C降到60C，问此物体从100C降到25C需要多少时间？（提示：物体冷却速度与该物体和环境温度之差成正比）解：设物体在时刻t的温度为u(t)，则)20u(k)Tukdtduu+ku=20k解得2ln101u,需40秒。9、已知连续函数f(x)满足方程x2x30edt3tf)x(f，求f(x)解：原方程两边对x求导数f(x)=3f(x)+2e2xf(x)-3f(x)=2e2x解得：f(x)=Ce3x-2e2x又f(0)=1，所以C=3f(x)=3e3x-2e2x§5全微分方程1.下面方程中不是全微分方程的是（）A.(3x2+6xy2）+(6x2y+4y2)dy=0B.eydx+(xey-2y)dy=0班级姓名学号成绩：日期.6C.(xcosy+cosx)y-ysinx+siny=0D.y(x-2y)dx-x2dy=02、设曲线积分Lxydycos)x(fydxsine)x(f与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于()A.2eexxB.2eexxC.12eexxD.12eexx3、设函数(x)具有二阶连续导数，且(0)=(0)=0，并已知y(x)dx+(sinx-(x))dy=0是一个全微分方程，则(x)=()A.xsin2xB.2xx23C.x2exD.xsinCxcosCxsin2x214、若(x)是连续函数，且(0)=1，并设曲线积分4,4)0,0(dy)x(xdxtan)x(yA与路径无关，则A=()A.22B.22C.82D.825、判别下列方程的类型并求其通解（1）(a2-2xy-y2)dx-(x+y)2dy=0解：是全微分方程3222y0x0y31xyyxxady)y,x(Qdx)0,x(P)y,x(u通解为Cy31xyyxxa3222（2）(1+e2)d+2e2d=0解：是全微分方程d(+e2)=0通解为+e2=C6、若f(x)可导，f(0)=1，对任意简单闭曲线L,0))(()(2Ldyxxfdxxyf，求10dx)x(xf解：对任意闭曲线L有0dx)x)x(f(dx)x(yfL2，知yPxQ由此得f(x)-2x=f(x)解得：f(x)=Cex-2x-2,再代入初始条件可得C=3。于是f(x)=3ex-2x-234dx)x(xf107、若(x)是连续函数，且(0)=1，并设曲线积分班级姓名学号成绩：日期.74,4)0,0(dy)x(xdxtan)x(yA与路径无关，求A解：曲线积分与路径无关yPxQ，得(x)=-(x)tanx解得(x)=Ccosx,又因为(0)=1得C=1所以(x)=cosx82dy4cosdx0dy)x(xdxtan)x(yA40404,4)0,0(§6可降阶的高阶微分方程1、yy+y2=0满足初始条件y|x=0=1，y|x=0=21的特解为（）A.y2=x+CB.1xyC.C1xyD.y2=C1x+C22、方程xy=ylny的