高等数学 曲线积分与曲面积分习题课(非常有用)

一、主要内容二、典型例题高等数学十高等数学高等数学十十★★2/282/28（一）曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间的联系（三）场论初步高等数学十高等数学高等数学十十★★3/283/28曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定义定义计算计算定义定义计算计算联系联系联系联系（一）曲线积分与曲面积分高等数学十高等数学高等数学十十★★4/284/28曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义∑∫=→λΔηξ=niiiiLsfdsyxf10),(lim),(∫+LdyyxQdxyxP),(),(]),(),([lim10iiiniiiiyQxPΔηξ+Δηξ=∑=→λ联系dsQPQdyPdxLL)coscos(βα∫∫+=+计算∫∫βαψ′+ϕ′ψϕ=dtfdsyxfL22],[),(三代一定)(βα∫∫βαψ′ψϕ+ϕ′ψϕ=+dtQPQdyPdxL]),(),([二代一定(与方向有关)高等数学十高等数学高等数学十十★★5/285/28与路径无关的四个等价命题条件在单连通开区域D上),(),,(yxQyxP具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.∫+LQdyPdxD与路径无关内在)1(∫⊂=+CDCQdyPdx闭曲线,0)2(QdyPdxduyxUD+=使内存在在),()3(xQyPD∂∂=∂∂,)4(内在等价命题高等数学十高等数学高等数学十十★★6/286/28曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分定义∑∫∫=→ΣΔ=niiiiisfdszyxf10),,(lim),,(ζηξλxyiniiiiSRdxdyzyxR)(),,(lim),,(10Δ=∑∫∫=→Σζηξλ联系∫∫Σ++RdxdyQdzdxPdydz计算一代,二换,三投(与侧无关)一代,二投,三定向(与侧有关)∫∫Σ++=dSRQP)coscoscos(γβα∫∫Σdszyxf),,(∫∫++=xyDyxdxdyzzyxzyxf221)],(,,[∫∫ΣdxdyzyxR),,(∫∫±=xyDdxdyyxzyxR)],(,,[高等数学十高等数学高等数学十十★★7/287/28定积分曲线积分重积分曲面积分计算计算计算Green公式Stokes公式Guass公式（二）各种积分之间的联系高等数学十高等数学高等数学十十★★8/288/28点函数)(,)(lim)(10MfMfdMfnii∑∫=→ΣΔ=σσλ.)()(,],[1∫∫Σ=→ΣbadxxfdMfbaRσ时上区间当.),()(,2∫∫∫Σ=→ΣDdyxfdMfDRσσ时上区域当积分概念的联系定积分二重积分高等数学十高等数学高等数学十十★★9/289/28∫∫∫∫ΣΩ=Ω→ΣdVzyxfdMfR),,()(,3σ时上区域当.),,()(,3∫∫ΣΓ=Γ→ΣdszyxfdMfRσ时上空间曲线当.),,()(,3∫∫∫Σ=→ΣSdSzyxfdMfSRσ时上曲面当曲面积分曲线积分三重积分.),()(,2∫∫Σ=→ΣLdsyxfdMfLRσ时上平面曲线当曲线积分高等数学十高等数学高等数学十十★★10/2810/28计算上的联系)(,]),([),()()(21面元素σ=σ∫∫∫∫ddxdyyxfdyxfbaxyxyD)(,),,(),,()()(),(),(2121体元素dVdzzyxfdydxdVzyxfbaxyxyyxzyxz∫∫∫∫∫∫=Ω∫∫′+=baLdsdxyxyxfdsyxf))((,1)](,[),(2曲线元素∫∫=baLdxdxxyxfdxyxf))((,)](,[),(投影线元素高等数学十高等数学高等数学十十★★11/2811/28∫∫∫∫Σ′+′+=xyDyxdxdyzzyxzyxfdszyxf221)],(,,[),,(∫∫∫∫Σ=xyDdxdyyxzyxfdxdyzyxR)],(,,[),,(其中dsRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos(γβα∫∫∫∫ΣΣ++=++dsQPQdyPdxL)coscos(β+α=+∫∫))((曲面元素ds))((投影面元素dxdy高等数学十高等数学高等数学十十★★12/2812/28理论上的联系1.定积分与不定积分的联系))()(()()()(xfxFaFbFdxxfba=′−=∫牛顿--莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系)()(的正向沿LQdyPdxdxdyyPxQLD∫∫∫+=∂∂−∂∂格林公式高等数学十高等数学高等数学十十★★13/2813/283.三重积分与曲面积分的联系∫∫∫∫∫ΣΩ++=∂∂+∂∂+∂∂RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂∫∫Σ∫Γ++=RdzQdyPdx斯托克斯公式高等数学十高等数学高等数学十十★★14/2814/28∫∫∫⋅=⋅DLdxdykArotsdA)(rrrr∫∫∫=⋅DLdxdyAdivdsnArrr)(Green公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系∫∫∫ΣΓ⋅=⋅dSnArotdSA)(rr∫∫∫ΣΓ∂∂∂∂∂∂=++RQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdx∫∫∫∫∫ΩΣ=⋅dvAdivdsnArrr)(dvzRyQxPRdxdyQdzdxPdydz)(∂∂+∂∂+∂∂=++∫∫∫∫∫ΩΣ∫∫∫∂∂−∂∂=+DLdxdyyPxQQdyPdx)(∫∫∫∂∂+∂∂=+−DLdxdyyQxPPdyQdx)(或推广推广为平面向量场)(MAr为空间向量场)(MAr高等数学十高等数学高等数学十十★★15/2815/28梯度kzujyuixugradurrr∂∂+∂∂+∂∂=通量旋度环流量zRyQxPAdiv∂∂+∂∂+∂∂=r∫∫Σ++=ΦRdxdyQdzdxPdydzkyPxQjxRzPizQyRArotrrrr)()()(∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=∫Γ++=ΓRdzQdyPdx散度（三）场论初步高等数学十高等数学高等数学十十★★16/2816/28例1计算∫+++=LdyyxdxxyxI)()2(422,其中L为由点)0,0(O到点)1,1(A的曲线xy2sinπ=.思路:∫+=LQdyPdxIxQyP∂∂≠∂∂xQyP∂∂=∂∂0∫=+=LQdyPdxI∫+=),(),(00yxyxQdyPdxI闭合非闭闭合∫∫∂∂−∂∂=DdxdyyPxQI)(非闭补充曲线或用公式高等数学十高等数学高等数学十十★★17/2817/28解xxyxyyP2)2(2=+∂∂=∂∂知xyxxxQ2)(42=+∂∂=∂∂,xQyP∂∂=∂∂即∫∫++=104102)1(dyydxx故原式.1523=xyo11A∫+++=dyyxdxxyxI)()2(422由高等数学十高等数学高等数学十十★★18/2818/28例2计算∫−+−=LxxdymyedxmyyeI)cos()sin(,其中L为由点)0,(a到点)0,0(的上半圆周0,22≥=+yaxyx.解myemyyeyyPxx−=−∂∂=∂∂cos)sin(QyemyexxQxxcos)cos(=−∂∂=∂∂xQyP∂∂≠∂∂即(如下图)高等数学十高等数学高等数学十十★★19/2819/28xyo)0,(aAMdxdyyPxQDAMOA∫∫∫∂∂−∂∂=)(∫∫=Ddxdym,82amπ=0)(00⋅−+⋅=∫∫medxxaAO,0=082−π=am.82amπ=∫∫∫∫−=−=+AMOAAOAOAOLI∫∫−=∴AMOAAOI高等数学十高等数学高等数学十十★★20/2820/28曲面面积的计算法SDxy),(yxfz=xyoz∫∫Σ=dSS∫∫++=xyDyxdxdyzz221dsyxfSBAL∫=),(),(dxyyxfba∫′+=21),(zxoy),(yxfz=sLABab高等数学十高等数学高等数学十十★★21/2821/28曲顶柱体的表面积∫∫∫++++=LDyxdsyxfdffS),()11(22σxzyo),(yxfz=LD如图曲顶柱体，高等数学十高等数学高等数学十十★★22/2822/28例3求柱面13232=+yx在球面1222=++zyx内的侧面积.解由对称性∫∫−−==LLdsyxzdsS2218,1:3232=+yxLQ)20(,sin,cos33π≤≤⎩⎨⎧==ttytx参数方程为高等数学十高等数学高等数学十十★★23/2823/28,cossin3)()(22tdttdtyxdstt=′+′=tdttttScossin3sincos182066∫π−−=tdttttcossincossin3242022∫π=∫π=2022cossin324tdtt.233π=高等数学十高等数学高等数学十十★★24/2824/28．在第一卦限部分的上侧为平面为连续函数其中计算1,),,(,]),,([]),,(2[]),,([=+−∑+++++=∫∫∑zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI例４xyoz111−∑解利用两类曲面积分之间的关系},1,1,1{−=∑nrQ的法向量为.31cos,31cos,31cos===∴γβα高等数学十高等数学高等数学十十★★25/2825/28dszzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI]}),,([31]),,(2[31]),,([31{+++−+=∫∫∑∫∫∑+−=dszyx)(31∫∫⋅=xyDdxdy3131.21=高等数学十高等数学高等数学十十★★26/2826/28向量点积法{},1,,),,(:yxffyxfz′−′−=Σ法向量为设∫∫Σ++=RdxdyQdzdxPdydzIdxdyffRQPyx}1,,{},,{′−′−⋅=∫∫Σ∫∫Σ⋅=dsnA0rr},,{},,{∫∫Σ⋅=dxdydzdxdydzRQP.}1,,{},,{dxdyffRQPxoyyx′−′−⋅Σ∫∫Σ面投影在将高等数学十高等数学高等数学十十★★27/2827/28所截部分的外侧．被平面锥面为其中计算2,1,222==+=∑+−=∫∫∑zzyxzdxdyzxdzdxydydzI例５解,,2222yxyfyxxfyx+=′+=′QD∑利用向量点积法高等数学十高等数学高等数学十十★★28/2828/28∫∫⋅θ−=π21220rdrrd.215π−=∫∫∑=dxdyz2∫∫+−=xyDdxdyyx)(22{}dxdyyxyyxxzxyI∫∫⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−+−⋅−=1,,,,22222]41:[22≤+≤yxDxy高等数学十高等数学高等数学十十★★29/2829/28例6计算曲面积分yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2−−++=∫∫Σ,其中Σ是由曲线)31(01≤≤⎩⎨⎧=−=yxyz绕y轴旋转一周所成的曲面,它的法向量与y轴正向的夹角恒大于2π.解22101xzyyxyz+=−⎩⎨⎧=−=轴旋转面方程为绕(如下图)高等数学十高等数学高等数学十十★★30/2830/28xyzo132∑∑*∫∫∫∫Σ+ΣΣ−=**I且有dxdydzzRyQxP)(*∂∂+∂∂+∂∂=∫∫∫∫∫Σ+ΣΩyzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2−−++=∫∫Σ欲求∫∫∫Ω−−+=dxdydzyyy)4418(∫∫∫Ω=dv∫∫∫++=xzDxzdydxdz3122∫∫∫ρ+πρρθ=3120202dydd高等数学十高等数学高等数学十十★★31/2831/28∫ρρ−ρπ=203)2(2d,2π=∫∫∫∫ΣΣ−=**2)31(2dzdx,32π−=)32(2π−−π=I故.34π=高等数学十高等数学高等数学十十★★32/2832/28一、选择题:1、设L为230,0≤≤=yxx,则∫Lds4的值为().(A)04x，(B),6(C)06x.2、设L为直线0yy=上从点),0(0yA到点)