2008年10月自考高等数学(一)试题及答案

高等数学（一）试卷第1页（共9页）全国2008年10月高等教育自学考试高等数学（一）试题课程代码：00020一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设函数y=f(x)的定义域为(1，2]，则f(ax)(a0)的定义域是()A.(aa2,1]B.[aa1,2)C.(a，2a]D.(aa,2]知识点：函数的定义域答案：B解：2112axxaa2.设f(x)=x|x|，则f′(0)=()A.1B.-1C.0D.不存在知识点：函数的导数答案：C解：222_00200_,0(),00'(0)limlim000'(0)limlim00'(0)'(0)'(0)0xxxxxxfxxxxxxfxxxfxxfff3.下列极限中不能应用洛必达法则的是()A.xxxlnlimB.xxx2coslimC.xxx1lnlim1D.xexxlnlim知识点：洛必达法则答案：B解：A.ln1limlim0xxxxx高等数学（一）试卷第2页（共9页）B.xxx2coslim这个用有界量乘以无穷小量等于无穷小量C.11ln1limlim11xxxxxD.ln1limlnlimlim0xxxxxxxexexe4.设f(x)是连续函数，且xxxdttf0cos)(，则f(x)=()A.cosx-xsinxB.cosx+xsinxC.sinx-xcosxD.sinx+xcosx知识点：变上限积分的导数答案：A解：0()(())'cos'cossinxfxftdtxxxxx5.设某商品的需求量D对价格p的需求函数为D=50-5p，则需求价格弹性函数为()A.250ppB.pp250C.51pp250D.51250pp知识点：需求价格弹性答案：B解：'()52505505EDPPPPDPPEPDDP二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6．设f(x)=xx1，则f(f(x))=_______.知识点：复合函数答案：12xx解：1(())11211xxxxffxxxxxx7．nnnln)1ln(lim=_______.高等数学（一）试卷第3页（共9页）知识点：数列极限答案：1解：1ln(1)11limlimlimlim111ln11nnnnnnnnnnn8．xaaxax1sin)(lim_______.知识点：函数极限答案：0解：有界量乘以无穷小量等于无穷小量故1lim()sin0xaxaax9．设f′(0)=1，则0(3)()lim2tftftt_______.知识点：函数导数定义答案：2解：00(3)()(3)()lim2lim2'(0)224ttftftftftftt10．设函数y=x+klnx在[1，e]上满足罗尔定理的条件，则k=_______.知识点：罗尔定理答案：1e解：(1)()1ln1ln11ffekekeekke11．曲线y=ln3x的竖直渐近线为_______.知识点：渐近线答案：x=0解：30limlnxx12．曲线y=xlnx-x在x=e处的切线方程为_______.高等数学（一）试卷第4页（共9页）知识点：曲线切线方程答案：0yxe解：'()ln11101()0xefexyxeyxe即13．121221xdxx_______.知识点：定积分答案：0解：奇函数在对称区间上的积分值为01212201xdxx14．微分方程xy′-ylny=0的通解是_______.知识点：可分离变量的微分方程答案：Cxye解：lnlnlnlnlnlnlnlnlnlnCxdydxyyxdydxyyxdyxyyxCyCxye15．设z=(x+y)exy，则)0,0(yz=_______.高等数学（一）试卷第5页（共9页）知识点：偏导数答案：1解：(0,0)(0,0)(0,)(0,)()11xyxyyyzexxyeyzydzdy法一：法二：三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16．求极限.2cos124lim20xxx知识点：函数极限答案：18解：2220002222000224221limlimlim1cos282sin244sin2442111limlimlim1cos22sin84+22sin4+2xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx法一：法二：17．设y=xarcecot，求y′.知识点：函数导数答案：cot21arcxexx解：cotcotcotcot211'cot'-2211+arcxarcxarcxarcxeeearcxexxxx高等数学（一）试卷第6页（共9页）18．求不定积分.282xxdx知识点：不定积分答案：1arcsin3xC解：2211arcsin38291dxdxxCxxx19．设z=x+y+xy1，求)1,1(2xyz.知识点：偏导数答案：1解：22222(1,1)1111zyxyzyxxyzyx20．设F(u，v)可微，且vuFF，z（x，y）是由方程F（ax+bz，ay-bz）=0(b≠0)所确定的隐函数，求.yz高等数学（一）试卷第7页（共9页）知识点：隐函数的导数答案：'''vvuaFbFF解：'','''''''''''''yvzuvuvyvvzuvvuFaFFbFbFbFFFaFaFzyFbFFbFF四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）21．设y=ln(1+x+),0(11arcsin)22xxxx求y′.知识点：函数的导数答案：212xxxx解：2222222222222221ln(12)arcsin1111(12)''11211112211(1)112221111121122121121212yxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx22．计算定积分102.)2()1ln(dxxx知识点：定积分答案：ln23高等数学（一）试卷第8页（共9页）解：1111200001100ln(1)1ln(1)11ln(1)(2)2212111112ln2ln2ln2lnln2ln23123233xxdxxddxxxxxxxdxxxx23．计算二重积分I=Dydxdye2，其中D是由x=0，y=1及y=x所围成的区域.知识点：二重积分答案：1122e解：2222y11122000010112111222yyyyDyedxdyedxdyeydyedyee五、应用题（本大题9分）24.求由抛物线y=x2和y=2-x2所围成图形的面积，并求此图形绕x轴旋转一周所成立体的体积.知识点：平面图形的面积和旋转体的体积.高等数学（一）试卷第9页（共9页）答案：83；163解：22111322200011113222220000,282241433162281833xxyxxSxxdxxdxxxVxdxxdxxdxxy=解方程组得交点-1,11,1六、证明题（本大题5分）25.设f(x)在[0，1]上连续，且当x[0，1]时，恒有f(x)1.证明方程2x-xdttf01)(在（0，1）内至少存在一个根.知识点：零点定理解：000110011000()1()110()11()0()1()1()()1()=1xxftdtftdtftdtftdtfxftdtftdtfftdt令F(x)=2x-，则F(x)在[0,1]上连续，且F(0)=0-F(1)=2--或，[0,1]根据零点定理有F(x)在0,1内至少有一个零点.即方程2x-在0,1内至少有一个零点.