您好,欢迎访问三七文档
1/3《初等数论初步》习题1贾祥雪1.1整除1.证明:(1)若|ab,0m,则|mamb;(2)设,ab为正整数,|ab且|ba,则ab;*(3)设,ab为正整数,|ab且|cd,则|acbd。2.证明:三个连续正整数之和是3的倍数。3.证明:若6|()ab,则336|()ab。4.设n为正整数,证明6|[(1)(21)]nnn。5.15位校友聚会,能否每个人都握手5次?6.设1n,(1)|(11)nn,求n。1.2素数与合数1.判断359是不是素数。2.利用厄拉多塞筛法找出100以内的全体素数。3.找出5个连续自然数,每个数都是合数。4.证明:大于11的自然数可以表示成两个合数之和。1.3带余除法1.写出2011被17除的带余除法表示式。2.请在503后面添加3个数字,使所得的6位数能被7,9,11整除。3.将101表成3进制数。4.5642是什么进制的乘法?1.4辗转相除法与最大公约数1.求(198,252),(1008,1260)。2.求(1008,1260,882,1134)。3.证明:对任意的整数,xy,12121122(,)(,)(,)aaaaaxaaya。4.证明:当(,)1ca时,有(,)(,)cabcb。2/35.证明:当(,)1ab时,有(,)(,)(,)cabcacb。6.证明:,1(,)(,)ababab。7.证明:214n与143n互素。*8.证明:当(,)1ca且|cab时,有|cb。*9.两组整数12,,,naaa与12,,,nbbb,第一组中任意一个与第二组中任意一个互质,则求证12naaa与12nbbb互质。*10.设,mn为正整数,且1m,若mn不是整数,则mn不是有理数。*11.若(,)abaxby,求证:(,)1xy。*12.若(,)1ab,求证:(,)1abab或2。*13.若(,)1ab,求22(,)abab。1.5最小公倍数1.求[24871,3468]。2.设,ab是正整数,且[,]105ab,(,)7ab,求,ab。3.设,ab是正整数,且[,](,)abab,证明ab。*4.若(,)1ab,证明:[,]abab。5.证明:333[,][,]abab。*6.举例说明(,,)[,,]abcabcabc是可能的。*7.证明:当且仅当,,abc两两互素时,有(,,)[,,]abcabcabc8.证明:[,,](,,)abcabacbcabc。*9.若12,,,naaa两两互素,证明:1212[,,,]nnaaaaaa。*10.设n为正整数,证明:1113521Sn不为整数。1.6算术基本定理1.用分解素因数法求:(1)(4712,4978,5890);3/3(2)[4712,4978,5890]。2.求(300000),这里,()n表示n的正约数的个数。3.利用算术基本定理证明6是无理数;1.7二元一次不定方程1.解不定方程3710725xy。2.求不定方程719213xy的正整数解。3.21世纪有这样的年份,这个年份减去22等于它各个数字的和的495倍,求这年份。4.(百牛问题)有银百两,买牛百头,大牛每头十两,小牛每头五两,牛犊每头半两,问买的一百头牛中,大牛,小牛,牛犊各几头?复习题:1.证明:设0n,|nnab,则|ab。2.证明:若21n为素数,必有2mn,m为自然数。3.设5p,且p和21p都为素数,证明:41p必为合数。4.设1n为奇数,证明:11|1(1)!21nnn。5.证明:设,ab为正整数,则等差数列,2,,aaba中能被b整除的项的个数等于(,)ab。6.证明:(,[,])[(,),(,)]abcabac。7.设m为正整数,k为大于1的正整数,证明(1)mm不是任何整数的k次幂。(提示:算术基本定理)8.证明形如43m的素数有无穷多个。9.求1000027的素因数分解式10.求(198,252)。11.求11132175xy的正整数解。12.设()|()mpmnpq,证明:()|()mpmqnp。*13.若n是43k型的正整数,则n一定有43k型的质因子。
本文标题:初等数论初步习题1
链接地址:https://www.777doc.com/doc-5125887 .html