分类好题(抽屉原理和构造及逻辑)

抽屉原理1.小刚家有材料相同的白、黄、红三种颜色的筷子各3双。这些筷子混放在筷子笼里。（1）在黑暗中，小刚至少要拿出多少根才能保证有颜色一样的一双筷子？（2）在黑暗中，小刚至少要拿出多少根才能保证有颜色一样的两双筷子？（3）在黑暗中，小刚至少要拿出多少根才能保证有颜色不一样的两双筷子？2、（前苏联竞赛题）从数1，2，3，。。。。，200中任意取出101个数。证明：在这101个数中一定可以找出两个数来，其中一个可被另一个整除。回复：200个数首先任取101个数，记为：a1、a2、……、a101，把每个数中2的因子提出，则每个数可记为2的n次×b（i），i是下标，显然b（i）一定是奇数，1到200共100个奇数，在上述情况下必有2个数的b（i）是相等的，则此两数存在倍数关系。第一题解答：1.小刚家有材料相同的白、黄、红三种颜色的筷子各3双。这些筷子混放在筷子笼里。（1）在黑暗中，小刚至少要拿出多少根才能保证有颜色一样的一双筷子？（注意哦：筷子一双=2根）也就是笼里有白黄红各6根。（四年级下周的课---求最值，我们就会学习这类题。大家好着急呀）解：“保证”=“最倒霉的情况”+1最倒霉的情况：三色各取了1根，1*3=3。所以至少拿4根。（2）在黑暗中，小刚至少要拿出多少根才能保证有颜色一样的两双筷子？最倒霉情况：每个颜色都取了3根。所以至少取3*3+1=10根（3）在黑暗中，小刚至少要拿出多少根才能保证有颜色不一样的两双筷子？最倒霉情况：把一种颜色都取完，另外两个颜色各取了1根。至少要取=6+1*2+1=9根。3、试卷上共有4道选择题，每题有3个可供选择的答案。一群学生参加考试，结果是对于其中任何3人，都有一个题目的答案互不相同。问参加考试的学生最多有多少人。（答案是9人）任注：还没想明白。4、把325个桃分给若干只猴子，每只猴子分得的桃不超过8个．问：至少有只猴子得到的桃一样多．回复：325/(1+2+3+4+5+6+7+8)=9余1所以是9+1=10至少有10只猴子得到的桃一样多。5、核心考点：遇到类似抽屉原则的问题，要尽可能多的构造比“至少”少1的数。真题讲解：（2007年”迎春杯”决赛试题）有22个装乒乓球的盒子，如果不管怎么装都至少有4个盒子里的乒乓球相同（不装算0个），那么装球最多的盒子中装______个乒乓球。解答：我们构造比4少1的数，故用三个盒子一组一组的装。于是有三个装“0”个球，三个装“1”个球，三个装“2”个球，三个装“3”个球，三个装“4”个球，三个装“5”个球，三个装“6”个球，这样我们用了21个盒子。余下的一个盒子只要装0~6中的任何一个数量的乒乓球即可满足要求，这样我们得到，装球最多的盒子中装6个乒乓球。你可以尝试一下，如果把盒子数换成52呢？6、证明：任取8个自然数，必有2个数的差是7的倍数。任评：构造7个抽屉。7、从2，4，6，8，。。。，30这15个偶数中，任选9个数，证明其中一定有2个数之和是34.任评：构造8个抽屉。8、从1，2，3，4，。。。。19，20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括2个数，它们的差是12.任评：构造12个抽屉：{20,8},{19,7},{18,6},{17,5},{16,4},{15,3},{14,2},{13,1},{9},{10},{11},{12}.9、任意给定7个不同的自然数，求证其中必有2个数，其和或差是10的倍数。任评：以除以10的余数构造10个抽屉。但是有7个元素，抽屉数比元素数多，无法应用抽屉原理，怎么办？调整为6个抽屉：{0},{1,9},{2,8},{3,7},{4,6},{5}即可。10、从1到20这20个数中，任取11个数，必有2个数，其中一个数是另一个的倍数。任评：按照同一个抽屉中，任意两个数都具有倍数关系来构造抽屉。按奇数及其倍数进行分组，构成了10个抽屉：（1，2，4，8，16），（3，6，12），（5，10，20），（7，14），（9，18），（11），（13），（15），（17），（19）11、把1、2、3、…、10这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻的三个数之和不小于17．解答：这道题方法很多，一种思路是一圈每相邻的3个数全找出来，共10组，把这10组全加起来，相当于每个数加了3遍，所以总和是（1+2+3+……+10）*3=165，而165=10*16+5，根据抽屉原理，至少有一组相邻的三个数之和不小于16+1=17.12、圆周上有2000个点，在其上任意地标上0，1，2，3，....，1999（每点只标一个数，不同的点标上不同的数）。证明必然存在一点，与它紧相邻的两个点和这个点上所标的三个数之和不小于2999。解答：这道题就是把数改大了一点，方法和上道题是一样的。可以考虑一圈上的2000组相邻的3个数，它们的总和是（1+2+3+……+1999）*3=1999*1000*3=5997*1000=2998*2000+1000，根据抽屉原理，至少有一组相邻的三个数的和不小于2998+1=2999.当然这类题还有其他方法。解答二：设此2000点为a1,a2,a3,……a2000。在此圆周上共有2000组和，即a1+a2+a3,a2+a3+a4,……a1999+a2000+a1,a2000+a1+a2，总和为（a1+a2+a3）+(a2+a3+a4)+……+(a2000+a1+a2)=3*(a1+a2+a3+……+a2000)=3*(1999*2000)/2=3*19990=5997000=2998*2000+1000根据抽屉原理，可知必有一组和不小于2999。解答三：其他思路还有这样的：还是拿1到10的那道题来说，去掉一个最小的1，剩下9个数（2~10）也必然是相邻的9个数，把它们分成3组，每组相邻3个数。由于这9个数的总和是54，那么必然有一组3个数的和不小于18，当然更不小于17了。前面的方法是从整体考虑，把所有的相邻3个数都考虑了一遍，这里是从部分出发，只考虑较大的那些数。这道题也是一样：先去掉最小的0，还剩下1999个数，分成666个相邻3数组，还剩下一个数。剩的这个数最大是1999，所以那666个相邻3数组的总和至少是1+2+3+……+1998=1999*999=666*2998.5=666*2998+333，所以至少有相邻3个数的和不小于2999.解答四（肖京园老师）：叫我说，根据抽屉原理不如根据平均数最大值总是大于平均值0到1999，共有2000个“三数和”这些“三数和”平均值是（2000×1999×3）/（2×2000）=2998.5因此总存在最大值大于等于299913、（复杂抽屉原理，学案上的一道题，向专家请教，09年清华附中考题）在时钟的表盘上任意做9个120度的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖4个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同。求证：一定可以找到3个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数。并举一个反例说明，做8个扇形将不能保证上述结论成立。回复（任）：一共有12种情况：（1，2，3，4），（2，3，4，5），（3，4，5，6），（4，5，6，7），（5，6，7，8），（6，7，8，9），（7，8，9，10），（8，9，10，11），（9，10，11，12），（10，11，12，1），（11，12，1，2），（12，1，2，3）。8个扇形不保证。例如取（1，2，3，4），（2，3，4，5），（3，4，5，6），（4，5，6，7），（5，6，7，8），（6，7，8，9），（7，8，9，10），（8，9，10，11），那么12这个数字就覆盖不了。3个扇形恰好覆盖整个表盘上的数，只有4种组合：（（1，2，3，4），（5，6，7，8），（9，10，11，12）），（（2，3，4，5），（6，7，8，9），（10，11，12，1）），（（3，4，5，6），（7，8，9，10），（11，12，1，2）），（（4，5，6，7），（8，9，10，11），（12，1，2，3））这4种组合作为4个抽屉，要取9个扇形，至少有一个抽屉的3个扇形要都取到。从而证明了9个扇形，一定可以找到3个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数。回复二：根据问题“覆盖整个表盘的3个120度扇形”构造抽屉，第一个抽屉有【1/2/3/4,5/6/7/8,9/10/11/2】三个扇形，第二个抽屉有【2/3/4/5,6/7/8/9,10/11/12/1】三个扇形，第三个抽屉有【3/4/5/6,7/8/9/10，11/12/1/2】三个扇形，第四个抽屉有【4/5/6/7,8/9/10/11,12/1/2/3】四个扇形，所有扇形都在这四个抽屉中。从中选取9个必有一个抽屉至少有9/4=2……1即3个扇形，因此可以覆盖整个表盘。反例可以每个抽屉选前两个即可。14、(帅帅老师答疑帖)在对角线长为50米的长方形草坪上，有10个同学在踢足球，无论他们怎么跑动，至少会有两个同学之间的距离不会超过（）米？【分析与解】这是道抽屉原理的题目，我们如图把长、宽都三等分，把这个长方形分成9份，这样现在有10个点分布在9个抽屉里，必有两个点在一个抽屉里，那么这两个点最远距离在小长方形的对角两个顶点上，这时距离是50/3,所以至少有2个同学距离不会超过50/3.【总结】抽屉原理的难点在于构造抽屉，如果构造好了抽屉题目就解决了。任评：我刚开始构造的是长、宽都两等分，把这个长方形分成4份，做出来的是至少有2个同学距离不会超过50/2.。15、将3121本书任意分给160名学生，每个学生分到的书少于40本，那么，不论怎样分法，至少有多少多学生得到的书一样多？解答（魏老师）：根据题意，每人得到的书为0本--39本，共40种情况。总共需要0+1+2+3+...+39=780本.共有3121本书，3121÷780＝4人……1本所以必有5人得到的书一样多。具体的方法也可以实现：比如1--40，41--80,81--120,121--160号同学分别拿0--39本书剩下的一本书，随便分给任何一个同学即可关键点：(1)书的情况种类，共计40种(2)从最不利原则出发,每个人拿的书尽量不一样(3)具体的构造方法一定要给出.（网友提问）：那么这个题的抽屉数应该是39吧？这题算不算抽屉原理的一种典型题型？（帅帅老师回复网友提问）：这个题目是抽屉里比较典型的问题，这个题目的抽屉不是40，如果是40的话我们就用总数除以40了，很多学生做错问题就出在这里！虽说有0-到39这40钟情况，但这些情况各出现一次用的总量是0到39的和,所以抽屉是780。16、对于任意的五个自然数，证明其中必有3个数的和能被3整除.证明∵任何数除以3所得余数只能是0，1，2，不妨分别构造为3个抽屉：[0]，[1]，[2]①若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中，我们从这三个抽屉中各取1个，其和必能被3整除.②若这5个余数分布在其中的两个抽屉中，则其中必有一个抽屉，包含有3个余数（抽屉原理），而这三个余数之和或为0，或为3，或为6，故所对应的3个自然数之和是3的倍数.③若这5个余数分布在其中的一个抽屉中，很显然，必有3个自然数之和能被3整除.拓展1：8个数中肯定能找到6个数，使得这6个数的和是3的倍数。拓展2：11个数中肯定能找到9个数，使得这9个数的和是3的倍数。17、九条直线中的每一条直线都将正方形分成面积比为2:3的梯形，证明：这九条直线中至少有三条经过同一点.证明：如图，设直线EF将正方形分成两个梯形，作中位线MN。由于这两个梯形的高相等，故它们的面积之比等于中位线长的比，即|MH|:|NH|。于是点H有确定的位置（它在正方形一对对边中点的连线上，且|MH|:|NH|＝２:３）.由几何上的对称性，这种点共有四个（即图中的H、J、I、K）.已知的九条适合条件的分割直线中的每一条必须经过H、J、I、K这四点中的一点.把H、J、I、K看成四个抽屉，九条直线当成９个物体，即可得出必定有３条分割线经过同一点.18、在一次足球循环赛中，胜一场得3分，平一场得一分，，负一场得0分，结果冠军队剩的场次最少，得分却