平行四边形有关的常用辅助线

平行四边形中的常用辅助线第1页共6页PARTA知识讲解六类与平行四边形有关的常见辅助线，供借鉴：第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例1如左下图1，在平行四边形ABCD中，点FE,在对角线AC上，且CFAE,请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）⑴连结BF⑵DEBF⑶证明：连结DFDB,,设ACDB,交于点O∵四边形ABCD为平行四边形∴OBDOOCAO,∵FCAE∴FCOCAEAO即OFOE∴四边形EBFD为平行四边形∴DEBF图2图1OOECCABDABDEF第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例2如右图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果12AC，10BD，mAB，那么m的取值范围是（）A111mB222mC1210mD65m解：将线段DB沿DC方向平移，使得CEDB,BEDC,则有四边形CDBE为平行四边形,∵在ACE中,12AC,10BDCE,mABAE22∴101221012m，即2222m解得111m故选A第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例3已知：如左下图3，四边形ABCD为平行四边形求证：222222DACDBCABBDAC证明：过DA,分别作BCAE于点E，BCDF的延长线于点F∴BCBEBCABBEBCBEABCEAEAC2)(22222222CFBCBCCDCFBCCFCDBFDFBD2)()(22222222则BEBCCFBCDACDBCABBDAC22222222∵四边形ABCD为平行四边形∴AB∥CD且CDAB,BCAD平行四边形中的常用辅助线第2页共6页∴DCFABC∵090DFCAEB∴DCFABE∴CFBE∴222222DACDBCABBDAC321图4图3KPFEDCFEDABCBA第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例4：已知：如右上图4，在正方形ABCD中，FE,分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点，求证：ABAP证明：延长CF交BA的延长线于点K∵四边形ABCD为正方形∴AB∥CD且CDAB,ADCD,090DBCDBAD∴K1又∵090DAKD,AFDF∴CDF≌KAF∴ABCDAK∵ADDFCDCE21,21∴DFCE∵090DBCD∴BCE≌CDF∴21∵09031∴09032∴090CPB,则090KPB∴ABAP第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。例5如左下图5，在平行四边形ABCD中，点E为边CD上任一点，请你在该图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。解：延长AE与BC的延长线相交于F，则有AED∽FEC,FAB∽FEC,AED∽FAB图6图5FONDDBACBACEFE平行四边形中的常用辅助线第3页共6页第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线例6已知：如右上图6，在平行四边形ABCD中，BNAN,BCBE31,NE交BD于F，求BDBF:解：连结AC交BD于点O,连结ON∵四边形ABCD为平行四边形∴2,BDODOBOCOA∵BNAN∴ON∥BC21且BCON21∴FOBFONBE∵BCBE31∴3:2:ONBE∴32FOBF∴52BOBF∴5:1:BDBF综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。PARTB综合演练一、一般多边行1、如图，四边形ABCD中，E、F、G、H是四边形各边的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。2、某风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产形状如图所示的风筝，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的中点，其阴影部分用的甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料），若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料多少匹？平行四边形中的常用辅助线第4页共6页3、提出问题：如图①所示，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？探究问题：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的，特殊的情形入手：（1）当AP=21AD时（如图②）：∵AP=21AD，△ABP和△ABD的高相等，∴ABDABPSS21。∵PD=AD－AP=21AD，△CDP和△CDA的高相等，∴CDACDPSS21。∴CDPABPABCDPBCSSSS四边形＝CDAABDABCDSSS2121四边形＝ABCABCDDBCABCDABCDSSSSS四边形四边形四边形2121＝ABCDBCSS2121（2）当AP=31AD时，探求DBCABCPBCSSS与与之间的关系，写出求解过程；（3）当AP=61AD时，DBCABCPBCSSS和与之间的关系式为______________________；（4）一般地，当AP=n1AD（n表示正整数）时，探求DBCABCPBCSSS和与之间的关系，写出求解过程；问题解决：当AP=nmAD10nm时，DBCABCPBCSSS和与之间的关系为____________________。①②二、多边形1、如图，如果直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A=130°，∠B=110°，那么∠BCD的度数等于（）A、40°B、50°C、60°D、70°平行四边形中的常用辅助线第5页共6页2、一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90，∠B、∠C应分别为21和32，检验工人量得∠BDC=148，就断定这个零件不合格，这是为什么呢？3、王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm的正方形板子，另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形板子（如图①），王师傅想将这两块板子裁剪成两块全等的矩形板材，他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域（如图②），由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点。（1）求BC的长。（2）利用图②求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x（cm）为多少时，矩形的面积y（2cm）最大？最大面积是多少？（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长。①②三、平行四边形（矩形、菱形、正方形与其相同）1、如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF。（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积。平行四边形中的常用辅助线第6页共6页2、如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，点G、H在DC边上，且GH=21DC。若AB=10，BC=12，则图中阴影部分的面积为____________。3、如图，E、F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上两点，DE=BF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等。（只需研究一组线段相等即可）。（1）连结_________；（2）猜想：_____________；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）。4、如图，在□ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，连结DE、BF、BD。（1）求证：△ADE≌△CBF。（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论。