第九章静电场中的导体和介质部分习题分析与解答

9-3在一半径为R1=6.0cm的金属球A外面套有一个同心的金属球壳B，已知球壳B的内、外半径分别为R2=8.0cm,R3=10.0cm.设球A带有总电荷QA=3.010-8C.球壳B带有总电荷QB=2.010-8C.（1）求球壳B内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势；（2）将球壳B接地然后断开，再把金属球A接地，求金属球A和球壳B内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势。解：（1）由于静电平衡时电荷只分布于导体的表面上，故：球A在外表面带电QA=3.010-8C，球壳B内表面带电-QA=-3.010-8C，球壳B外表面带电QA+QB=5.010-8C。由电势的叠加，知球A和球壳B的电势分别为：VRQQRQRQVBAAAA3302010106.5444VRQQVBAB330105.44（2）将球壳B接地后断开，再把球A接地，设球A带电qA，球A和球壳B的电势为：0444302010RqQRqRqVAAAAA304RqQVAABCRRRRRRQRRqAA8313221211012.2解得：VRqQVAAB2301092.74得：即，球A的外表面、球壳B的内、外表面所带的电荷分别为：2.1210-8C、-2.1210-8C、-0.910-8C.9-4三个平行板A、B和C的面积均为S，其中A板带电Q，B、C板不带电，A、B间相距为d1，A、C间相距为d2。求:（1）各导体板上的电荷分布和导体板间的电势差；（2）将B、C两导体板分别接地，再求导体板上的电荷分布和导体板间的电势差。解:（1）设电荷分布如上图所示，据静电平衡时导体板上电荷分布的规律，有由高斯定理知：qBL=qCRqBR=-qALqAR=-qCL又对导体板B：qBL+qBR=0对导体板C：qCL+qCR=0对导体板A：qAL+qAR=Q联立以上各式，得qBL=qAL=qAR=qCR=Q/2qBR=qCL=-Q/2102dSQVBA故有：202dSQVAC（2）B、C两导体接地，UBC=0,则有qBL=qCR=0qAR+qAL=QqBR=-qALqCL=-qAR02010dSqdSqCLBR联立以上各式，得QdddqqALBR212QdddqqARCL21121210ddddSQUBA21210ddddSQUAC9-6在真空中，将半径为R的金属球接地，与球心O相距为r(rR)处放置一点电荷q，不计接地导线上电荷的影响。求金属球表面上的感应电荷总量。qq’ROr解：金属球为等势体，金属球上任一点的电势V等于点电荷q和金属球表面感应电荷q’在球心处激发的电势之和。而金属球接地，总电势为零。所以球心处的电势为SSqdRrqRqdrqV0414440000感应电荷总量为：qrRqdqS9-8两根输电线，其导线半径为3.26mm，两线中心相距0.50m，线位于地面上空很高处，因而大地的影响可以忽略。求输电线单位长度的电容。解：由课本第九章9-2节例3可知两输电线的电势差RRdUln0因此，输电线单位长度的电容为RdRRdUC/lnln00代入数据，得FC121086.49-13如图所示，半径R=0.10m的导体球带有电荷Q=1.010-8C,导体外有两层均匀介质，一层介质的εr=5.0，厚度d=0.10m，另一层介质为空气，充满其余空间。求:(1)离球心为r=5cm、15cm、25cm处的D和E；(2)离球心为r=5cm、15cm、25cm处的V;(3)极化电荷面电荷密度σ’。解：由于带电球上的自由电荷均匀分布在导体球表面，电介质的极化电荷也均匀分布在介质球形界面上，因而介质中的电场是球形对称分布的。由高斯定理有：;0qSdD；另：EDr0；rrdEV；故有匀介质表面，由于极化电荷分布在均nP(1)取半径为r的同心球面为高斯面，由高斯定理得.0;0041121EDrDRr.4;442022222rQErQDQrDdRrRr.4;442032323rQErQDQrDdRr将不同的r值代入上述两式，可得r=5cm、15cm和25cm时的电位移和电场强度的大小，其方向沿径向朝外。r1=5cm，该点在导体球内，则Dr1=0;Er1=0.r2=15cm，该点在介质层内，εr=5.0,则.100.84;105.341220282222mVrQEmCrQDrrrr3=25cm，该点在空气内，空气中εr≈1，ε≈ε0则.104.14;103.141320328233mVrQEmCrQDrr(2)取无限远处电势为零，由电势与电场强度的关系得：；13604,250333rVrQrdEVcmr；VdRQdRQrQrdErdEVcmrrrdRdRr480)(4)(44,15002032222；VdRQdRQRQrdErdEVcmrrrdRdRR540)(4)(44,50003211(3)均匀介质的极化电荷分布在介质界面上，因空气的电容率ε=ε0，极化电荷可忽略，故在介质外表面；有；20)(4)1()1(dRQEPrrnrn；282106.1)(4)1(mCdRQPrrn在介质内表面：；204)1()1(RQEPrrnrn；282104.64)1(mCRQPrrn介质球壳内、外表面的极化电荷面密度虽然不同，但是两表面极化电荷的总量还是等量异号。9-15在一半经为R1的长直导线外，套有氯丁橡胶绝缘护套，护套外半径为R2，相对电容率为εr。设沿轴线单位长度上，导线的电荷密度为λ。试求介质层内的D、E和P.解：由介质的高斯定理，有;2LrLDSdD;2rerD得：在均匀各向同性介质中rrrerDE002rrerEDP2)11(09-16设有两个薄导体同心球壳A与B，它们的半径分别为R1=10cm与R3=20cm，并分别带有电荷-4.010-8C与1.010-7C。球壳间有两层介质，内层介质的εr1=4.0，外层介质的εr2=2.0，其分界面的半径为R2=15cm。球壳B外为空气。求:(1)两球间的电势差UAB;(2)离球心30cm处的电场强度；(3)球A的电势.解:(1)由介质中的高斯定理，有;412QrDSdD21210110112121.4;4RrRerQDEerQDDrrrr3222012022.4RrRerQDErrr两球壳间的电势差32213121RRRRRRABldEldEldEU；VRRQRRQrr600)11(4)11(43201210121（2）同理由高斯定理可得1320213100.64mVeerQQErr(3)取无穷远处电势为零，则VRQQUldEUUBABABA330213101.249-18有一空气平板电容器，极板面积为S，间距为d。现将该电容器接在端电压为U的电源上充电，当(1)充足电后；(2)然后平行插入一块面积相同、厚度为δ（δd）、相对电容率为εr的电介质板；(3)将上述电介质换为同样大小的导体板。分别求电容器的电容C，极板上的电荷Q和极板间的电场强度E.解:(1)空气平板电容器的电容:C0=ε0S/d充电后，极板上的电荷和极板间的电场强度为：Q0=ε0SU/d;E0=U/d(2)插入电介质后，电容器的电容C1为)()(0001dSSQdSQQCrrr)(011dSUUCQrr介质内电场强度)(011dUSQErr空气中电场强度)(011dUSQErr(3)插入导体达到静电平衡后，导体为等势体，其电容和极板上的电荷分布为dSC02UdSQ02导体中电场强度：空气中电场强度：02EdUE2