高等数学知识点归纳.

第一讲:极限与连续一.数列函数:1.类型:(1数列:*;*(2初等函数:(3分段函数:*;*;*(4复合(含函数:(5隐式(方程:(6参式(数一,二:(7变限积分函数:(8级数和函数(数一,三:2.特征(几何:(1单调性与有界性(判别;(单调定号(2奇偶性与周期性(应用.3.反函数与直接函数:二.极限性质:1.类型:*;*(含;*(含2.无穷小与无穷大(注:无穷量:3.未定型:4.性质:*有界性,*保号性,*归并性三.常用结论:,,,,,,,,四.必备公式:1.等价无穷小:当时,;;;;;;;2.泰勒公式:(1;(2;(3;(4;(5.五.常规方法:前提:(1准确判断(其它如:;(2变量代换(如:1.抓大弃小,2.无穷小与有界量乘积((注:3.处理(其它如:4.左右极限(包括:(1;(2;;(3分段函数:,,5.无穷小等价替换(因式中的无穷小(注:非零因子6.洛必达法则(1先”处理”,后法则(最后方法;(注意对比:与(2幂指型处理:(如:(3含变限积分;(4不能用与不便用7.泰勒公式(皮亚诺余项:处理和式中的无穷小8.极限函数:(分段函数六.非常手段1.收敛准则:(1(2双边夹:*,*(3单边挤:***2.导数定义(洛必达?:3.积分和:,4.中值定理:5.级数和(数一三:(1收敛,(如(2,(3与同敛散七.常见应用:1.无穷小比较(等价,阶:*(1(22.渐近线(含斜:(1(2,(3.连续性:(1间断点判别(个数;(2分段函数连续性(附:极限函数,连续性八.上连续函数性质1.连通性:(注:,“平均”值:2.介值定理:(附:达布定理(1零点存在定理:(根的个数;(2.第二讲:导数及应用(一元(含中值定理一.基本概念:1.差商与导数:;(1(注:连续(2左右导:;(3可导与连续;(在处,连续不可导;可导2.微分与导数:(1可微可导;(2比较与的大小比较(图示;二.求导准备:1.基本初等函数求导公式;(注:2.法则:(1四则运算;(2复合法则;(3反函数三.各类求导(方法步骤:1.定义导:(1与;(2分段函数左右导;(3(注:,求:及的连续性2.初等导(公式加法则:(1,求:(图形题;(2,求:(注:(3,求及(待定系数3.隐式(导:(1存在定理;(2微分法(一阶微分的形式不变性.(3对数求导法.4.参式导(数一,二:,求:5.高阶导公式:;;;注:与泰勒展式:四.各类应用:1.斜率与切线(法线;(区别:上点和过点的切线2.物理:(相对变化率速度;3.曲率(数一二:(曲率半径,曲率中心,曲率圆4.边际与弹性(数三:(附:需求,收益,成本,利润五.单调性与极值(必求导1.判别(驻点:(1;;(2分段函数的单调性(3零点唯一;驻点唯一(必为极值,最值.2.极值点:(1表格(变号;(由的特点(2二阶导(注(1与的匹配(图形中包含的信息;(2实例:由确定点“”的特点.(3闭域上最值(应用例:与定积分几何应用相结合,求最优3.不等式证明((1区别:*单变量与双变量?*与?(2类型:*;**;*(3注意:单调性端点值极值凹凸性.(如:4.函数的零点个数:单调介值六.凹凸与拐点(必求导!:1.表格;(2.应用:(1泰勒估计;(2单调;(3凹凸.七.罗尔定理与辅助函数:(注:最值点必为驻点1.结论:2.辅助函数构造实例:(1(2(3(4;3.有个零点有个零点4.特例:证明的常规方法:令有个零点(待定5.注:含时,分家!(柯西定理6.附(达布定理:在可导,,,使:八.拉格朗日中值定理1.结论:;(2.估计:九.泰勒公式(连接之间的桥梁1.结论:;2.应用:在已知或值时进行积分估计十.积分中值定理(附:广义:[注:有定积分(不含变限条件时使用]第三讲:一元积分学一.基本概念:1.原函数:(1;(2;(3注(1(连续不一定可导;(2(连续2.不定积分性质:(1;(2;二.不定积分常规方法1.熟悉基本积分公式2.基本方法:拆(线性性3.凑微法(基础:要求巧,简,活(如:4.变量代换:(1常用(三角代换,根式代换,倒代换:(2作用与引伸(化简:5.分部积分(巧用:(1含需求导的被积函数(如;(2“反对幂三指”:(3特别:(*已知的原函数为;*已知6.特例:(1;(2快速法;(3三.定积分:1.概念性质:(1积分和式(可积的必要条件:有界,充分条件:连续(2几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值*;*(3附:,(4定积分与变限积分,反常积分的区别联系与侧重2:变限积分的处理(重点(1可积连续,连续可导(2;;(3由函数参与的求导,极限,极值,积分(方程问题3.公式:(在上必须连续!注:(1分段积分,对称性(奇偶,周期性(2有理式,三角式,根式(3含的方程.4.变量代换:(1,(2(如:(3,(4;,(5,5.分部积分(1准备时“凑常数”(2已知或时,求6.附:三角函数系的正交性:四.反常积分:1.类型:(1(连续(2:(在处为无穷间断2.敛散;3.计算:积分法公式极限(可换元与分部4.特例:(1;(2五.应用:(柱体侧面积除外1.面积,(1(2;(3;(4侧面积:2.体积:(1;(2(3与3.弧长:(1(2(3:4.物理(数一,二功,引力,水压力,质心,5.平均值(中值定理:(1;(2,(以为周期:第四讲:微分方程一.基本概念1.常识:通解,初值问题与特解(注:应用题中的隐含条件2.变换方程:(1令(如欧拉方程(2令(如伯努利方程3.建立方程(应用题的能力二.一阶方程:1.形式:(1;(2;(32.变量分离型:(1解法:(2“偏”微分方程:;3.一阶线性(重点:(1解法(积分因子法:(2变化:;(3推广:伯努利(数一4.齐次方程:(1解法:(2特例:5.全微分方程(数一:且6.一阶差分方程(数三:三.二阶降阶方程1.:2.:令3.:令四.高阶线性方程:1.通解结构:(1齐次解:(2非齐次特解:2.常系数方程:(1特征方程与特征根:(2非齐次特解形式确定:待定系数;(附:的算子法(3由已知解反求方程.3.欧拉方程(数一:,令五.应用(注意初始条件:1.几何应用(斜率,弧长,曲率,面积,体积;注:切线和法线的截距2.积分等式变方程(含变限积分;可设3.导数定义立方程:含双变量条件的方程4.变化率(速度5.6.路径无关得方程(数一:7.级数与方程:(1幂级数求和;(2方程的幂级数解法:8.弹性问题(数三第五讲:多元微分与二重积分一.二元微分学概念1.极限,连续,单变量连续,偏导,全微分,偏导连续(必要条件与充分条件,(1(2(3(判别可微性注:点处的偏导数与全微分的极限定义:2.特例:(1:点处可导不连续;(2:点处连续可导不可微;二.偏导数与全微分的计算:1.显函数一,二阶偏导:注:(1型;(2;(3含变限积分2.复合函数的一,二阶偏导(重点:熟练掌握记号的准确使用3.隐函数(由方程或方程组确定:(1形式:*;*(存在定理(2微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性:(要求:二阶导(3注:与的及时代入(4会变换方程.三.二元极值(定义?;1.二元极值(显式或隐式:(1必要条件(驻点;(2充分条件(判别2.条件极值(拉格朗日乘数法(注:应用(1目标函数与约束条件:,(或:多条件(2求解步骤:,求驻点即可.3.有界闭域上最值(重点.(1(2实例:距离问题四.二重积分计算:1.概念与性质(“积”前工作:(1,(2对称性(熟练掌握:*域轴对称;*奇偶对称;*字母轮换对称;*重心坐标;(3“分块”积分:*;*分片定义;*奇偶2.计算(化二次积分:(1直角坐标与极坐标选择(转换:以“”为主;(2交换积分次序(熟练掌握.3.极坐标使用(转换:附:;;双纽线4.特例:(1单变量:或(2利用重心求积分:要求:题型,且已知的面积与重心5.无界域上的反常二重积分(数三五:一类积分的应用(:1.“尺寸”:(1;(2曲面面积(除柱体侧面;2.质量,重心(形心,转动惯量;3.为三重积分,格林公式,曲面投影作准备.第六讲:无穷级数(数一,三一.级数概念1.定义:(1,(2;(3(如注:(1;(2(或;(3“伸缩”级数:收敛收敛.2.性质:(1收敛的必要条件:;(2加括号后发散,则原级数必发散(交错级数的讨论;(3;二.正项级数1.正项级数:(1定义:;(2特征:;(3收敛(有界2.标准级数:(1,(2,(33.审敛方法:(注:,(1比较法(原理:(估计,如;(2比值与根值:**(应用:幂级数收敛半径计算三.交错级数(含一般项:(1.“审”前考察:(1(2;(3绝对(条件收敛?注:若,则发散2.标准级数:(1;(2;(33.莱布尼兹审敛法(收敛?(1前提:发散;(2条件:;(3结论:条件收敛.4.补充方法:(1加括号后发散,则原级数必发散;(2.5.注意事项:对比;;;之间的敛散关系四.幂级数:1.常见形式:(1,(2,(32.阿贝尔定理:(1结论:敛;散(2注:当条件收敛时3.收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备注(1与同收敛半径(2与之间的转换4.幂级数展开法:(1前提:熟记公式(双向,标明敛域;;(2分解:(注:中心移动(特别:(3考察导函数:(4考察原函数:5.幂级数求和法(注:*先求收敛域,*变量替换:(1(2,(注意首项变化(3,(4的微分方程(5应用:.6.方程的幂级数解法7.经济应用(数三:(1复利:;(2现值:五.傅里叶级数(数一:(1.傅氏级数(三角级数:2.充分条件(收敛定理:(1由(和函数(23.系数公式:4.题型:(注:(1且(分段表示(2或(3正弦或余弦*(4(*5.6.附产品:第七讲:向量,偏导应用与方向导(数一一.向量基本运算1.;(平行2.;(单位向量(方向余弦3.;(投影:;垂直:;夹角:4.;(法向:;面积:二.平面与直线1.平面(1特征(基本量:(2方程(点法式:(3其它:*截距式;*三点式2.直线(1特征(基本量:(2方程(点向式:(3一般方程(交面式:(4其它:*二点式;*参数式;(附:线段的参数表示:3.实用方法:(1平面束方程:(2距离公式:如点到平面的距离(3对称问题;(4投影问题.三.曲面与空间曲线(准备1.曲面(1形式:或;(注:柱面(2法向(或2.曲线(1形式,调查对象：杨汊湖片区住宅楼盘（新华家园、金色雅园、绿色家园、阳光花园、泽皓雅居、浩海公寓）火车站片楼盘（东方帝园、裕荣家园、元辰·国际大厦）（常青花园103.应用(1交线,投影柱面与投影曲线香港路沿线主要楼盘（荷花苑、穗丰花园、香天公寓、澎湖公寓、紫藤花园、华氏儒商花园）(2旋转面计算:参式曲线绕坐标轴旋转;说明：本案位于杨汊湖片区（常青路以东、姑嫂树路以西、张公堤以南、发展大道以北围成的片区）内，因此本次调研特针对片区内楼盘做重点调研，重点研究；同时也不能忽视周边片区对本案所在片区的影响，因此根据地域分布特征和房地产市场发展的特点，又对火车站片、金银湖片、香港路沿线楼盘及市场也做调研分析。.四.常用二次曲面1.圆柱面:2.球面:变形:,第一部分区域概况,3.锥面:变形:,4.抛物面:,变形:,区域住宅市场供应5.双曲面:6.马鞍面:,或◎五.◎(1法向:,注:(2切平面与法线第五部分2.曲线(1切向:(2切线与法平面综合:,第六部分六.方向导与梯度(重点◎1.方向导(方向斜率◎未来市场竞争点(条件◎(取得最大斜率值的方向:(1计算:;(2结论;取为最大变化率方向;为最大方向导数值第八讲:三重积分与线面积分(数一第一部分一.三重积分(1.域的特征(不涉及复杂空间域:(1对称性(重点:含:关于坐标面;关于变量;关于重心(2投影法:(3截面法:(4其它:长方体第二部分区域市场特征(1单变量,(2,(3,(43.选择最适合方法:(1“积”前:*;*利用对称性(重点(2截面法(旋转体:(细腰或中空,,(3(直柱体:(4球坐标(球或锥体:,(5重心法(3、房价分4.应用问题:(1同第一类积分:质量,,转动惯量,元/平方米三个档次走，在1800——2000二.第一类线积分(5、区域内有一批知名企事业单位，消费层次高；但周边居民文化水平不高，治安印象差积6、市政生活配套资源丰富但