几何五大模型第4讲-燕尾定理

第四讲燕尾模型燕尾定理在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，有::ABOACOSSBDDC::CAOCBOSSAFFB::BCOBAOSSCEEAOFEDCBA燕尾模型可以存在于任何一个三角形之中。【例1】如图，E在AC上，D在BC上，且:2:3AEEC,:1:2BDDC，AD与BE交于点F．四边形DFEC的面积等于222cm，则三角形ABC的面积．ABCDEF【例2】ABCD是边长为12厘米的正方形，E、F分别是AB、BC边的中点，AF与CE交于G，则四边形AGCD的面积是_________平方厘米．GFEDCBA【例3】如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是_____平方厘米．HGFEDCBA【例4】(2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图，ABC中2BDDA，2CEEB，2AFFC，那么ABC的面积是阴影三角形面积的倍．ABCDEFGHI【例5】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？773【例6】(2007年四中分班考试题)如图，ABC中，点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，若ABC的面积为1，那么四边形CDMF的面积是_________．FABCDEMN【例7】如图所示，在四边形ABCD中，3ABBE，3ADAF，四边形AEOF的面积是12，那么平行四边形BODC的面积为________．OFEDCBA作业题1、如图，已知BDDC，2ECAE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积.DEFCBA2、如图，三角形ABC的面积是2200cm，E在AC上，点D在BC上，且:3:5AEEC,:2:3BDDC，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于．FEDCBA3、如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，2ECDE，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?xyyxABCDEFGGFEDCBA4、如右图，三角形ABC中，:4:9BDDC，:4:3CEEA，求:AFFB．OFEDCBA5、（2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且:1:2BDDC，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于．FEDCBA答案【例1】2.41.62ABCDEF12连接CF,根据燕尾定理，12ABFACFSBDSDC△△，23ABFCBFSAESEC△△,设1BDFS△份，则2DCFS△份，2ABFS△份，4AFCS△份，241.623AEFS△份,342.423EFCS△份,如图所标,所以22.44.4EFDCS份,2349ABCS△份所以2224.4945(cm)ABCS△【例2】GFEDCBA连接AC、GB，设1AGCS△份，根据燕尾定理得1AGBS△份，1BGCS△份，则11126S正方形（）份，314ADCGS份，所以22126496(cm)ADCGS【例3】HGFEDCBA连接BH,根据沙漏模型得:1:2BGGD,设1BHCS△份，根据燕尾定理2CHDS△份，2BHDS△份，因此122)210S正方形（份，127236BFHGS，所以712010146BFHGS(平方厘米).【例4】IHGFEDCBA如图，连接AI．根据燕尾定理，::2:1BCIACISSBDAD，::1:2BCIABISSCFAF，所以，::1:2:4ACIBCIABISSS，那么，221247BCIABCABCSSS．同理可知ACG和ABH的面积也都等于ABC面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC面积的211377，所以ABC的面积是阴影三角形面积的7倍．【例5】773FEDCBAx+3x773FEDCBA方法一：设三角形为ABC，BE和CD交于F，则BFFE，再连结DE．所以三角形DEF的面积为3.设三角形ADE的面积为x，则:33:10:10xADDBx，所以15x，四边形的面积为18．方法二：设ADFSx△，根据燕尾定理::ABFBFCAFEEFCSSSS△△△△,得到3AEFSx△，再根据燕尾定理，有(37):7:3xx，解得7.5x四边形的面积为7.57.5318【例6】FABCDEMN连接CM、CN．根据燕尾定理，::2:1ABMACMSSBFCF，而2ACMADMSS，所以24ABMACMADMSSS，4BMDM，即45BMBD．于是421453215BMFBCDBMBFSSBDBC，14721530CDMFS四边形．【例7】684621OFEDCBA连接,AOBD,根据燕尾定理::1:2ABOBDOSSAFFD△△,::2:1AODBODSSAEBE△△,设1BEOS△,则其他图形面积，如图所标，所以221224BODCAEOFSS.作业题答案1、DEFCBADEFCBA(法一)连接CF，因为BDDC，2ECAE，三角形ABC的面积是30，所以1103ABEABCSS△△，1152ABDABCSS△△．根据燕尾定理，12ABFCBFSAESEC△△，1ABFACFSBDSCD△△,所以17.54ABFABCSS△△，157.57.5BFDS△，所以阴影部分面积是30107.512.5．(法二)连接DE，由题目条件可得到1103ABEABCSS△△，11210223BDEBECABCSSS△△△，所以11ABEBDESAFFDS△△，1111112.5223232DEFDEAADCABCSSSS△△△△，而211032CDEABCSS△△．所以阴影部分的面积为12.5．2、ABCDEFFEDCBA连接CF，根据燕尾定理，2639ABFACFSBDSDC△△，36510ABFCBFSAESEC△△,设6ABFS△份，则9ACFS△份,10BCFS△份，5459358EFCS△份，310623CDFS△份，所以24545200(6910)(6)8(6)93(cm)88DCFES3、33GFEDCBA213设1DEFS△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCDSS△阴影平方厘米.4、OFEDCBA根据燕尾定理得::4:912:27AOBAOCSSBDCD△△::3:412:16AOBBOCSSAECE△△（都有AOB△的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:27:16:AOCBOCSSAFFB△△5、33321FEDCBAABCDEFFEDCBA方法一：连接CF，根据燕尾定理，12ABFACFSBDSDC△△，1ABFCBFSAESEC△△,设1BDFS△份，则2DCFS△份，3ABFS△份，3AEFEFCSS△△份，如图所标所以551212DCEFABCSS△方法二：连接DE，由题目条件可得到1133ABDABCSS△△，11212233ADEADCABCSSS△△△，所以11ABDADESBFFES△△，111111122323212DEFDEBBECABCSSSS△△△△，而211323CDEABCSS△△．所以则四边形DFEC的面积等于512．