三种统计分布律

第二篇近独立子体系的统计理论第四章B-E,F-D及M-B的统计分布律4.1宏观态和配容(微观态)4.2平衡态统计力学的基本假设4.3能级分布及其微观状态数4.5Bose-Eistein分布律4.7三种统计分布律的比较及应用范围4.6Fermi-Dirac分布律4.4Maxwell-Boltzmann分布律第四章B-E,F-D及M-B的统计分布律三大力学量子力学（微观性质）热力学（热力学函数）统计力学（热力学与量子力学的联系）如何进行统计？？？经典统计方法M-B统计量子统计F-D统计B-E统计第四章B-E,F-D及M-B的统计分布律经典统计经典统计：构成物质的分子，遵守经典力学的规律，认为粒子是等同的，但可区别，粒子的能量是连续的。因此经典统计，称为M－B统计。目前我们学习的Boltzmann统计已不是Boltzmann的原始处理方法，已经把量子力学的一些概念名词应用到统计力学中，改造了经典统计。例如，粒子的能量是不连续的，量子化的，把能级、量子态、波函数、简并度、量子数等概念都引入进来。因此，现在的Boltzmann统计是新型的统计力学。2020/4/305分布和微观状态由大量全同近独立的粒子组成的系统能级简并度粒子数121212,,,,,,,,,,,,iiinnn守恒条件iinNiiinE2020/4/306守恒条件iiinE粒子数守恒：能量守恒：iinN2020/4/307能级与波函数的对应关系n1n2…nkε1ε2…εkφ1φ2…φk非简并2020/4/308能级与波函数的对应关系φ11，φ12，…，φ1g1φ21，φ21，…，φ2g2φk1，φk1，…，φkgkε1ε2…εkn1n2…nk简并4.1宏观态和微观态能级分布：N个粒子分布在各个能级上的粒子数，叫做能级分布数，每一套能级分布数称为一种分布。或系统中N个粒子如何分布在各能级εi上。说明：要说明一种能级分布就要一套各能级上的粒子分布数。体系可以有好多种能级分布，在N，U，V确定的体系中有多少种能级分布是完全确定的。分布是粒子对微观状态的占据方式，或者说在各个微观状态上的平均粒子数。4.1宏观态和微观态宏观态：任意指定N，V，E一组实际数值的状态定义为体系的一个宏观态。或体系的宏观态就是用一组宏观性质(如n，T，p，V等)所确定的热力学平衡系统的状态。宏观性质由宏观状态所确定。微观态：N个粒子在各个量子态或能级上可以有各种不同的方式分配，其中每一种分配方式称为特定的配容或微观状态。微观性质则决定于微观状态。一种宏观状态对应于大量的微观状态。分布和微观状态数分布方式状态数数学概率2,2分布3,1分布4,0分布144C434C624C414C104C1611641661641611,3分布0,4分布1#2#例如:4个不同色小球分配在两个盒子里,总的状态数为24=16讨论以能级分布为基础，考察3个粒子(a,b,c)在两个能级(A,B)上的分布：A为基态，gA=1，B为简并能级，gB=2。宏观状态确定（A中几个球，B中几个球）时，每一种状态又对应有多种投放方式，如A1B2就有12种投放方式，每一种投放方式好比一种微观状态。※宏观状态、分布和微观状态的关系当体系的宏观状态确定（N、V、E确定）时，对应的微观状态数可用组合公式计算：1!0!3!333CA3B0：6!0!1!1!1!2!3211123CCA2B1：124!0!2!2!2!1!3222213CCA1B2：88!0!3!32333CA0B3：每一个具体分布微观态每一种分布（宏观可区分）宏观态每一种宏观态内微观态数目热力学概率W（1）宏观态概率Pi微观态概率P微Pi=P微Wi=某个宏观态含微观态数目总的微观态数目（）iWiPP1/微实例说明设体系由3个独立的定城单维谐振子a、b、c组成。体系总能量(平衡位置的势能规定为0)，体积为V。92Eh宏观态为9(,,)(3,,)2NVEVh单维谐振子的能级为1()(0,1,2,)2h两个守恒条件3iinN92iiinEh能够体现宏观状态的所有可能的配容见下页。9(3,,)2Vh实例说明cabcbcabaabcbcacababbccaaabbcc微观状态编号12345678910能量的分布类型ABC各分布类型的配容136372h252h012h132h实例说明三种能级分布及各种分布的微观状态数；能级分布各种分布的微观状态non1n2n3A0300B2001C11103!10!3!0!0!At3!32!0!0!1!Bt3!61!1!1!0!Ct体系所指宏观状态的总微观状态数为(,,)13610ABCNVEttt关系说明一种能级分布D对应一定的微观状态数tD，全部能级分布的微观状态数之和为体系的总微观状态数。4.1宏观态和配容(微观态)小结：体系的每一个微观态都对应着一个特定的宏观态。反之不然，一个宏观态却可对应着多个微观态。而且对于每一个宏观态，体现它的所有可能的微观状态数是确定的。问题：1、体系的每一个微观状态在物理上是否都能实际地实现？2、各个微观状态出现的概率又为多大？4.2平衡态统计力学的基本假设-等概率原理1.概率（probability）指某一件事或某一种状态出现的机会大小。是数学上的概念，概率必须满足归一化原则。2.热力学概率体系在一定的宏观状态下，可能出现的微观总数，通常用Ω表示。通常情况下，Ω是个远大于1的大数。3.等概率原理对于U,V和N确定的某一宏观体系，任何一个可能出现的微观状态，都有相同的数学概率，所以这一假定又称为等概率原理。等概率原理是统计力学中最基本的假设之一，它与求平均值一样，是平衡态统计力学理论的主要依据。1P例如，某宏观体系的总微态数为，则每一种微观状态出现的数学概率P都相等，即：§2.3统计热力学的基本假定4.2平衡态统计力学的基本假设-等概率原理若某种分布的微观状态数是，则这种分布的概率为：xxxP例如：在热力学第二定律中曾以4个不同的球在两个盒子中的分配为例，共计有16种花样，每一种花样就代表一种微观状态。每一种花样出现的数学概率都是一样的，都等于1/16。但就不同的分布来说，出现的数学概率却不相同，其中均匀分布的概率最大，为6/16。在1868年，奥地利的科学家Boltzmann就提出，在孤立体系中，没有理由认为那一种微观状态出现的可能性大于其它他微观状态。也就是说，所有能满足U.V.N恒定的每一种微观状态出现的概率都相等。§2.3统计热力学的基本假定4.2平衡态统计力学的基本假设-等概率原理4.2平衡态统计力学的基本假设-等概率原理等概率原理是平衡态统计力学中唯一的假设，它是各种平衡统计理论的基础，也是整个统计力学的基石。等概率原理不能用数学方法证明，但它是可靠的。原因有二：一是在逻辑推理上有道理，即不能证明某个微观状态出现的概率大于其他状态；二是实践上有可行性，即由该假设得到的推论与目前已知的实验事实相符合。4.2统计热力学的基本假设1.确定的宏观状态对应着数目巨大的微观状态且各微观状态按一定的几率出现；注意：虽然数目巨大，但是有限的，因为，只有那些符合宏观状态条件限制的才可能出现。微观状态的变化具有统计性，故出现的概率一定。2.宏观力学量是各微观状态相应微观量的统计平均值。力学量非力学量宏观性质能在分子水平上找到相应微观量的性质。能量、密度等没有明显对应的微观量。温度、熵、自由能等3.孤立体系中每一个微观状态出现的几率相等。ΩPPPPi13211.定域子体系的微观状态Boltzmann分布定律阐明了众多独立子在不同能级分布的规律。一个由N个可区分的独立粒子组成的宏观孤立体系，在量子化的能级上，由N个粒子分配总能量E可以有多种不同的分配方式，而每一种分配方式均必须满足总能量守恒及总粒子数守恒两个宏观约束条件，即：=(1)(2)iiiiiNNUN§2.4定域体系的最概然分布4.3能级分布及其微观状态数4.3能级分布及其微观状态数研究体系：大量全同而近独立粒子体系今用表示单粒子的能级，表示能级的简并度，则N个全同粒子在各能级的分布可以描述如下：(1,2,)iiii121212,,,,,,,,,iiinnn能级：简并度：粒子数：我们用符号表示数列。则称为能级间粒子的一种分布(简称能级分布)，而本身则称为相应能级上的分布数。in12,,,innnin12,,,innn,iiiiinNnE前提条件粒子的全同性(IdentityofParticles)大量粒子——大量“全同”粒子全同粒子——性质完全相同，我们无法用实验手段区别粒子本身，不同粒子只能用不同的运动状态来区分经典力学：经典全同粒子，原则上可以通过其状态分辨（可“标号”）粒子坐标动量同时确定，相同的粒子不可能处于完全相同的运动状态——μ空间中同一点（坐标动量全同），粒子总可以分辨．量子力学：同种粒子可以处在同样的单粒子态，真正不可分辨——全同性。排列组合的有关原则：如果有4个可别粒子a、b、c、d，看一看4个粒子有多少种排列方式？第一个粒子a有4种选择，可排在第1、2、3、4的任意位置；第二个粒子b有3种选择，可排在a外的其它3个位置；第三个粒子c有2种选择，可排在a、b以外的其它两个位置；第四个粒子d只有1种选择，只剩下一个位置。四个粒子总的排列方式数：P=4×3×2×1＝24这叫全排列。§2.4定域体系的最概然分布排列组合的有关问题如果有N个可别粒子，它的全排列方式数应为：P＝N（N-1）（N-2)…3×2×1＝N!如果将N个可别粒子中，只取出r个来排列，其排列方式数为：(1)(2)(1)rNPNNNNr比如从4个粒子中选出3个排列，其方式数为：432rNP将上式分子分母都乘以（N-r)！，则：(1)(2)(1)()!()!rNNNNNrNrPNr!()!NNr这是从N个粒子中取出r个进行排列的方式数。§2.4定域体系的最概然分布排列组合的有关问题如果从a、b、c、d四个粒子中，任意取出两个粒子，不考虑其顺序，共有多少种取法？这类问题叫组合，用C来表示。从四个粒子中任取两个，组合数为24Cab,cdac,bdad,bcbc,adbd,accd,ab共有6中取法，相当于4个球在两个盒子中的均匀分布，组合方式数为6。246C如果考虑取球的顺序，ab和ba是不同的，两个粒子考虑顺序的排列方式数为2！，6种组合都考虑顺序，则总的排列方式数为：的计算方法：24C22442!CP§2.4定域体系的最概然分布排列组合的有关问题组合方式数2244!2!2!(2)!PNCN24432162!(42)!C24C是指从4个粒子中任取出2个而不考虑顺序，如果从N个可别粒子中取出n1个也不考虑顺序，则其组合数为：11111!!!()!nnNNPNCnnNn§2.4定域体系的最概然分布排列组合的有关问题4.3.1定域子体系的分布及其微观状态数例：一个班50个人，要分成5个小组，每组人数分别为5，8，10，12，15，有多少种分法？58101215504537271550!5!8!10!12!15!CCCCCn!!m!(n-m)!mmnnpCm(1)经典粒子彼此可以区分,每个量子态中的粒子数不受限制.2个经典粒子在3个量子态中的可能分布（共9种)4.3.1定域子体系的分布及其微观状态数4.3.1定域子体系的分布及其微观状态数定域子体系，其粒子的位置可以分辨，故可以对粒子加以编号，而且每一个量子态能够容纳的粒子数不受限制。ni个编号的粒子占据其能级上的个量子态时，第一个粒子可以占据个量子态中的任何一态，故有种可以的占据方式。iiii当第