方差分析例题讲解

例题讲解例3。1、某灯泡厂用４种不同材料的灯丝生产了四批灯泡，在每批灯泡中随机抽取若干只观测其使用寿命（单位：小时）。观测数据如下：甲灯丝：1600161016501680170017201800乙灯丝：15801640164017001750丙灯丝：15401550160016201640166017401820丁灯丝：151015201530157016001680问这四种灯丝生产的灯泡的使用寿命有无显著差异（0.05）？第一种方法：直接用手工计算解：由题意知要检验的假设为H0：四种灯丝生产的灯泡的使用寿命无显著差异。为了简化计算，把各观测值都减去一个数1600，简化后的数据及有关计算如下：灯丝种类甲灯丝乙灯丝丙灯丝丁灯丝总和观测数据0105080100120200-204040100150-140-500204060140220-90-80-70-30080it7586n=26，r=4iitx560310290-190K=9702iitx448001922010512.56016.7R=80549.21itijjx73400361009570026700W=231900其中it表示重复次数；2221111111,,,,iiitttrriiiijiiijijijjijinttxxtxxKxPKtn，2211111,;iittrrijijijijiWxRxt所以2180549.297044360.726ASRP，21231900970195711.526TSWP，151350.8ETASSS.最后填写方差分析表。因为2.153.05，接受H0，故四种灯泡的使用寿命无显著差异。第一种方法：用SPSS软件操作操作过程与结果如下：操作步骤方差来源平方和自由度均方差F值表值Fα(3,22)显著性因素A44360.7314786.92.15F0.05=3.05F0.01=5.72误差E151350.8226879.6总和T195711.5251、建立数据文件。假设在SPSS环境下建立数据文件，该文件中定义两个数值型变量：一个变量为寿命time，宽度按默认值设置；另一个是属性变量kind，宽度为3，无小数位，它表示四批灯丝的类别，例如用1表示甲、2表示乙、3表示丙、4表示丁。其部分数据见图3—1所示。2、分别用鼠标选择并按顺序“statistics—comparemean—onewayANOV”单击各项，最后弹出“单因素方差分析主对话框”(如图3—2所示)。3、单击对话框中的源变量名“time”，再按右边小按钮将其送入“DependentList”下的矩形框内；用同样的方法将变量“kind”送入右下部分的“Factor”下的矩形框。5、单击“OK”按钮，则得如表3—1的输出结果：结果说明：1、BetweenGroups组间（即因素间），WithinGroups组内（即误差），Total总的。.2、Sumofsquares偏差平方和。组间偏差平方和为44360.705，组内偏差平方和为151350.833，总偏差平方和为195711.538。3、df.自由度。组间自由度为3.，组内自由度为22，总自由度为25。4、MeanSquare均方。组内均方为14786.902，组间均方为6879.583。5、F值为2.149。6、显著性检验的P值Sig.为0.1230.05，则接受H0，故四种灯泡的使用寿命无显著差异。第三种种方法：R软件计算R软件中的aov()函数提供了方差分析表的计算。aov()函数的使用方法是Aov(formula,data=NULL,projections=FALSE,QR=TRUE,contrasts=NULL,…)其中formula是方差分析的公式，data是数据框。其他见在线帮助信息。另外，可用summary()列出方差分析表的详细信息。用数据框的格式输入数据，调用aov()函数计算方差分析，用summary()列出方差分析表的详细信息。具体程序如下(文件名ex01.R)：lamp-data.frame(X=c(1600,1610,1650,1680,1700,1720,1800,1580,1640,1640,1700,1750,1460,1550,1600,1620,1640,1660,1740,1820,1510,1520,1530,1570,1600,1680),A=factor(c(rep(1,7),rep(2,5),rep(3,8),rep(4,6))))lamp.aov-aov(X~A,data=lamp)summary(lamp.aov)在R中运行上述程序可以得到如下的输出DfSumSqMeanSqFvaluePr(F)A344361147872.14940.1229Residuals221513516880上述方差分析表与之前的方差分析表相比，没有列出最后一行。如果需要列出最后一行，程序适当加以改进即可，其计算方法是将summary函数得到的表中的第一行与第二行求和，得到总和行的值。假定新程序名为ex01.tab.R，具体内容如下：anova.tab-function(fm){tab-summary(fm)k-length(tab[[1]])-2temp-c(sum(tab[[1]][,1]),sum(tab[[1]][,2]),rep(NA,k))tab[[1]][Total,]-temptab}lamp-data.frame(X=c(1600,1610,1650,1680,1700,1720,1800,1580,1640,1640,1700,1750,1460,1550,1600,1620,1640,1660,1740,1820,1510,1520,1530,1570,1600,1680),A=factor(c(rep(1,7),rep(2,5),rep(3,8),rep(4,6))))lamp.aov-aov(X~A,data=lamp)anova.tab(lamp.aov)运行上述程序，便可得到如下与前述一样的结果。DfSumSqMeanSqFvaluePr(F)A344361147872.14940.1229Residuals221513516880Total25195712其他结论与前面是一致的。例3。2、某校高二年级共有四个班，采用四种不同的教学方法进行数学教学，为了比较这四种教学法的效果是否存在明显的差异，期末统考后，从这四个班中各抽取5名考生的成绩，如下所示。一班：7577708872二班：8380859084三班：6567776865四班：7270716582问这四种教学法的效果是否存在显著性差异（α=0.05）？第一种方法：直接用手工计算解：由题意知要检验的假设为H0：四种教学法的效果无显著性差异。为了简化计算，把各观测值都减去一个数80，简化后的数据及有关计算如下：（重复数t=5,r=4；总数n=rt=20）类似于例3.1可得所以211154.494712.620ASRP，211658941216.220TSWP，503.6ETASSS。最后填写方差分析表。班组一班二班三班四班总和观测数据-5-3-108-8305104-15-13-3-12-15-8-10-9-152iitx-1822-58-40K=-942iitx64.896.8672.8320R=1154.41itijjx262150772474W=1658方差来源平方和自由度均方差F值表值Fα(3,22)显著性因素A712.63237.537.5467F0.05=3.24F0.01=5.29**误差E503.61631.475总和T1216.219因为7.54675.29，拒绝H0，故这四种教学法的效果存在显著性的差异。第二种方法：用SPSS软件计算操作过程与结果如下：操作步骤1、建立数据文件。不妨假设在SPSS环境下建立数据文件，该文件中定义两个数值型变量：一个变量为成绩Score，宽度按默认值设置；另一个是属性变量class，宽度为3，无小数位，它表示四个班级，例如用1、2、3、4分别表示一、二、三、四班。2、同例3.1中的操作第二步。3、单击对话框中的源变量名“score”，再按右边小按钮将其送入“DependentList”下的矩形框内；用同样的方法将变量“class”送入右下部分的“Factor”下的矩形框。5、单击“OK”按钮，则得如表3—2的输出结果：结果说明：表中各值表示的意义同例3.1的说明。由此表可知显著性检验的P值Sig.为0.0020.05，则拒绝H0，故四种教学法的效果存在显著性差异。第三种方法：R软件计算类似于第一题第三种方法。具体程序如下(文件名ex021.tab.R)：anova.tab-function(fm){tab-summary(fm)k-length(tab[[1]])-2temp-c(sum(tab[[1]][,1]),sum(tab[[1]][,2]),rep(NA,k))tab[[1]][Total,]-temptab}lamp-data.frame(X=c(75,77,70,88,72,83,80,85,90,84,65,67,77,68,65,72,70,71,65,82),A=factor(c(rep(1,5),rep(2,5),rep(3,5),rep(4,5))))lamp.aov-aov(X~A,data=lamp)anova.tab(lamp.aov)运行上述程序，便可得到如下与前述一样的结果。DfSumSqMeanSqFvaluePr(F)A3712.60237.537.54670.002292**Residuals16503.6031.48Total191216.20---Signif.codes:0'***'0.001'**'0.01'*'0.05'.'0.1''1其他结论与前面是一致的。不同的是，本利多了最后一行显著性的注释：一般情况，在0～0.001之间是非常非常显著，通常用‘***’号表示；在0.001～0.01之间是非常显著，通常用‘**’号表示；在0.01～0.05之间是比较显著，通常用‘**’号表示；在0.05～0.1之间是显著，通常用‘.’号表示；在0.1～1之间是不显著。SPSS补充操作与说明由于方差分析与多重比较变量的正态性、独立性和等方差性，前两点容易满足，等方差性需要做出检验，为此我们不妨先做等方差性检验在“单因素方差分析主对话框”中选择“Options”按钮并单击之，则进入“Option对话框”（如图3—3所示）。在此对话框的“Statistics”下面选择‘Homogeneity—of—variance’（即方差齐性）后单击“Continue”按钮返回主对话框，再单击“Ok”按钮得输出结果如表3—3所示。系统采用的是‘LeveneStatistics’(即Levene统计量）。检验的概率为0.7700.05，故认为方差是相等的。在四种教学法存在有显著性差异时，我们可进一步检查各水平之间的差异，即多重比较问题。下面我们用软件来说明其操作过程。在“单因素方差分析主对话框”中选择“PostHoc...”按钮并单击之，则进入“多重比较的选择项对话框”（如图3—4所示）。在此对话框的‘EqualVariancesAssumed’下面选择‘S—N—K’(即q检验法)和‘Scheffe’(即S检验法)后单击“Continue”按钮返回主对话框，单击“Ok”按钮得输出结果如表3—4、表3—5所示。表3—4给出Scheffe检验的两两比较结果，带‘*’号的为两个水平具有显著性差异（在0.05水平下）。表3—5给出这两种检验的分类结果：按S—N—K检验，第3、4、1水平无显著性差异，第2水平与3、4、1均有显著性差异；按Scheffe检验，则第3