第五讲-联合平稳随机过程和复随机过程

《随机信号分析》教学组1.4联合平稳随机过程引入：前面对单个随机过程的统计特性进行了详细的研究，但在实际中常常需要同时研究两个或两个以上的随机过程的统计特性。如：研究同时作用于接收机信号和噪声两个随机过程所构成的过程的统计特性。为了能从噪声中恢复出信号，除了信号和噪声各自的统计特性外，还应该研究两个过程的联合统计特性。主要研究：联合分布函数(概率密度函数)和互相关函数。《随机信号分析》教学组2一两个随机过程的联合概率分布设有两个随机过程和,它们的概率密度分别为定义这两个过程的(n+m)维联合分布函数：)(tX)(tY1212(,,,;,,)Xnnfxxxttt1212,(,,,;,,,)Ymmfyyyttt1111(,,;,,;,,;,,)XYnmnmFxxyytttt1111[(),...,();(),...,()]nnmmPXtxXtxYtyYty《随机信号分析》教学组31）若两个过程的n+m维联合概率分布给定，则它们的全部统计特性也确定了。注2）可以由高维联合分布求出相应低维联合概率分布。定义两个过程的(n+m)维联合概率密度为：1111(,,;,,;,,;,,)XYnmnmfxxyytttt111111(,,;,,;,,;,,)nmXYnmnmnmFxxyyttttxxyy《随机信号分析》教学组4设有两个随机过程和,它们的概率密度分别为两个过程的是相互独立的，联合概率密度函数满足:)(tX)(tY12121212(,,,;,,),(,,,;,,,)XnnYmmfxxxtttfyyyttt11111111(,,;,,;,,;,,)(,,;,,)(,,;,,)XYnmnmXnnYmmFxxyyttttFxxttFyytt《随机信号分析》教学组5二两个随机过程的数字特征（互相关函数）已知两个随机过程和的m+n维联合分布条件下，可以通过求出各自的边缘分布，然后使用前面介绍的单个随机过程中的方法求的各自的数字特征。为了描述两个随机过程之间的相互联系，需要引入新的数字特征。最常用且最重要的数字特征是两个过程的互相关函数。)(tX)(tY《随机信号分析》教学组6设两个随机过程和，它们在任意两个时刻t1，t2的取值为随机变量和则定义它们的互相关函数为：)(tX)(tY)(1tX)(2tY121212(,)[()()](,;,)XYXYRttEXtYtxyfxyttdxdy式中1212(,)(,;,)XYfttxytt是随机过程和的二维联合概率密度。)(tX)(tY1定义《随机信号分析》教学组7随机过程和的中心化互相关函数（互协方差函数）定义为：)(tX)(tY121122(,)[()()][()()]XYXYKttEXtmtYtmt1212(())(())(,;,)XYXYxmtymtfxyttdxdy式中，和分别是随机变量和)(1tX)(2tY)(1tmX)(2tmX的数学期望。此式也可以写成121212(,)(,)()()XYXYXYKttRttmtmt《随机信号分析》教学组82两个随机过程的平稳性（严平稳和宽平稳）若两个随机过程和的联合概率分布不随时间平移而变化，即与时间的起点无关,则称此二个过程为联合严平稳或严平稳相依。)(tX)(tY1111(,,,,,,,,,,,)XYnnmmFxxtctcyytctc1111(,,;,,;,,;,,)XYnnmmFxxttyytt联合严平稳（联合严平稳相依）《随机信号分析》教学组9两个随机过程和，如果满足：)(tX)(tY（1）和分别宽平稳随机过程；（2）互相关函数仅为时间差的函数，与时间t无关，即)(tX)(tY则称和为联合宽平稳或宽平稳相依。)(tX)(tY)(),(21XYXYRttR12tt联合宽平稳（联合宽平稳相依）《随机信号分析》教学组10联合宽平稳随机过程互相关函数的性质(1)()()XYYXRR()()XYYXKK证明：说明互相关函数既不是偶函数，也不是奇函数。互相关函数的影像关系()[()()][()()]()XYYXREXtYtEYuXuR《随机信号分析》教学组11(2)2222()(0)(0),()(0)(0)XYXYXYXYXYRRRKKK证明：则方程的系数应该满足042ACB0)0()0(4))(2(2YXXYRRR,则有由于0]))()([(2tXtYE，为任意实数展开得：0)0()(2)0(2YXYXRRR这是关于的二阶方程。注意，要使上式恒成立，即方程无解或只有同根，0)0(XR所以，)0()0()(2YXXYRRR222)0()0()(YXYXXYKKK同理，《随机信号分析》教学组12(3))0()0(21)(YXXYRRR2221)0()0(21)(YXYXXYKKK证明：由性质(2)，得)0()0()(2YXXYRRR注意到0)0(XR0)0(YR因此)]0()0([21)0()0()(YXYXXYRRRRR（任何正数的几何平均小于算术平均）《随机信号分析》教学组13（4）互相关系数当两个随机过程联合平稳时，它们的互协方差为：)()(),(1221XYXYXYKttKttK互相关系数为：()()()(0)(0)XYXYXYXYXyXYKRmmrKK又称作归一化互相关函数或标准互协方差函数。注：显然。当时，平稳过程和互不相关。()1XYr()0XYr()Xt()Yt《随机信号分析》教学组143随机过程的联合遍历性（宽遍历）两个随机过程和是联合宽平稳(前提))(tX)(tY定义时间互相关函数为：若依概率1收敛于互相关函数)(XYR)(XY则称和具有联合宽遍历性。)(tX)(tY即)()]()([)()()(XYXYRtYtXEtYtXtTTTXYdttYtXTtYtXt)()(21lim)()()(《随机信号分析》教学组154两个随机过程独立、正交和不相关正交若两个随机过程和对任意两个时刻)(tX)(tYt1,t2都具有或0),(21ttRXY)()(),(2121tmtmttKXXXY)(tX)(tY则称和互为正交过程。不相关若两个随机过程和对任意两个时刻)(tX)(tYt1,t2都具有或0),(21ttKXY)()(),(2121tmtmttRXXXY)(tX)(tY则称和不相关。《随机信号分析》教学组161)如果两个随机过程相互独立，且他们的二阶矩都存在，则必互不相关。2)正态过程的不相关与相互独立等价。推论《随机信号分析》教学组17(,)[()()][cos()sin()]111[sin(22)sin]sin[sin(22)]2221sin()2XYXYRttEXtYtEttEtEtR故两个随机过程是平稳相依的。设两个平稳随机过程()cos(),()sin()XttYtt试问:X(t)和Y(t)是否平稳相依？是否正交、不相关、统计独立？例平稳随机过程X(t)和Y(t)的互相关函数为：解由于，它仅在时等于零，这时X(t)和Y(t)的取值（随机变量）才是正交的。对于其它值是不相交的。1(,)sin2XYRtt(0,1,2,...)nn《随机信号分析》教学组18(,)(,)()()XYXYXYKttRttmtmt()[()][cos()]0()[()][sin()]0XYmtEXtEtmtEYtEtX(t)和Y(t)的均值分别为：X(t)和Y(t)的互协方差函数为：由于仅在时等于零，此时X(t)和Y(t)的状态（随机变量）才是不相关的；而在时，，故从整体来看，随机过程X(t)和Y(t)是相关的，因而，它们是统计不独立的。()XYK(0,1,2,...)nnn()0XYK1(,)()sin2XYXYRttR《随机信号分析》教学组19三复随机过程前面讨论的随机过程都是实随机过程，把随机过程表示成时间的实值函数。但在某些情况下，处理窄带随机过程时，需要表示成复随机过程形式则更为便利。复随机变量和复随机过程。《随机信号分析》教学组201定义2分布函数),(],[)(yxFyYxXPzFXYZ即由X，Y的联合概率分布描述。复随机变量Z定义为Z=X+jY，式中X和Y为实随机变量。复随机变量《随机信号分析》教学组213数字特征(1)数学期望[][][][]ZXYmEZEXjYEXjEYmjm(2)方差000()()()()ZXYXYZmXjYmjmXmYmjZYjX00000002*2222[][||][][][][]ZXYDDZEZEZZEXYEXEYDD其中注：ⅰ)复随机变量的方差等于它的实部与虚部的方差之和。ⅱ)复随机变量的方差为非负的实数。《随机信号分析》教学组22(3)相关矩设Z1、Z2为两个复随机变量，则1212[]ZZREZZ(4)互协方差1212*00*1212()()ZZZZKEZZEZmZm表示复共轭，即000ZXjY111222,ZXjYZXjY《随机信号分析》教学组231122112211221122(,,,)(,)(,)XYXYXYXYfxyxyfxyfxy4两个复随机变量的独立、不相关、正交(1)统计独立(2)不相关(3)正交1212*12[()()]0ZZZZKEZmZm12*12[]0ZZREZZ或12**1212[][][]ZZREZZEZEZ《随机信号分析》教学组241定义设，为实随机过程，则定义)(tX)(tY为复随机过程。2概率密度函数1111(,,,,,;,,,,...,)XYnnnnfxxyyttttZ(t)的统计特性可由X(t)和Y(t)的2n维联合概率分布完整地描述，其概率密度为：复随机过程()()()ZtXtjYt《随机信号分析》教学组253数字特征(1)数学期望()[()][()()]()()ZXYmtEZtEXtjYtmtjmt(2)方差(3)自相关函数(,)[()()](,)(,)(,)(,)ZXYYXXYRttEZtZtRttRttjRttjRtt2()[()()][(()())(()())]ZZZZDtEZtmtEZtmtZtmt)()(tDtDYX《随机信号分析》教学组26(4)自协方差函数*00*(,)()()(()())(()())(,)()()ZZZZZZKttEZtZtEZtmtZtmtRttmtmt当时，Z(t)的自协方差函数等于Z(t)的方差0(,)[()]ZKttDZt《随机信号分析》教学组27复随机过程Z(t)是宽平稳随机过程，满足以下条件：22(1)()(2)(,)()(3)E[Z(t)]ZZXYZZZmtmmjmRttR《随机信号分析》教学组281212121212*12(,)[()()](,)(,)(,)(,)ZZXXYYYXYYRttEZtZtRttRttjRttjRtt(1)互相关函数(2)互协方差函数121212120012*12(,)()()[(()())(()())](,)()()ZZZZZZZZKttEZtZtEZtmtZtmtRttmtmt定义为两个复随机过程12(),()ZtZt《随机信号分析》教学组29若，则Z1(t)，Z