2013-2014学年 高中数学人教A版选修2-2 第一章 导数及其应用1.1.2

1.1.21.1.2瞬时速度与导数【学习要求】1．掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义．2．会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率．3．理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法．4．理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数．本课时栏目开关填一填研一研练一练1.1.2【学法指导】导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率和瞬时变化率的关系，体会无限逼近的思想；可以从物理意义，几何意义多角度理解导数.本课时栏目开关填一填研一研练一练填一填·知识要点、记下疑难点1.1.21．瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为．设物体运动路程与时间的关系是s＝s(t)，物体在t0时刻的瞬时速度v就是运动物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均变化率st0＋Δt－st0Δt，当Δt→0时的极限，即v＝limΔt→0ΔsΔt＝____________________.瞬时速度limΔt→0st0＋Δt－st0Δt本课时栏目开关填一填研一研练一练填一填·知识要点、记下疑难点1.1.22．瞬时变化率：一般地，函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝_________________.3．导数的概念：一般地，函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率是_________________，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的，记为，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝_________________.limΔx→0fx0＋Δx－fx0ΔxlimΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx导数f′(x0)limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx本课时栏目开关填一填研一研练一练填一填·知识要点、记下疑难点1.1.24．导函数：如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数y＝f(x)的．记为或y′(或y′x)．导函数通常简称为.可导导函数f′(x)导数本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2探究点一瞬时速度问题1在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度v粗略地描述其运动状态？答用0≤t≤0.5和1≤t≤2的平均速度v来粗略地描述其运动状态．在0≤t≤0.5这段时间里，v＝h0.5－h00.5－0＝4.05(m/s)；在1≤t≤2这段时间里，v＝h2－h12－1＝－8.2(m/s)．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2问题2物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？答不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度h与起跳时间t的函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，易知h(6549)＝h(0)，v＝h6549－h06549－0＝0，而运动员依然是运动状态．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2问题3如何描述物体在某一时刻的运动状态？答可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．如求t＝2时的瞬时速度，可考察在t＝2附近的一个间隔Δt，当Δt趋近于0时，看平均速度v的变化趋势，用式子limΔt→0h2＋Δt－h2Δt表示，这就是物体在t＝2时的瞬时速度．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2例1火箭竖直向上发射．熄火时向上速度达到100m/s.试问熄火后多长时间火箭向上速度为0?解火箭的运动方程为h(t)＝100t－12gt2，火箭向上位移是初速度引起的位移(100t)与重力引起的位移－12gt2的合成．在t附近的平均变化率为100t＋Δt－12gt＋Δt2－100t－12gt2Δt＝100Δt－g·t·Δt－12gΔt2Δt＝100－gt－12gΔt.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2当Δt→0时，上式趋近于100－gt.小结瞬时速度是平均速度在Δt→0时的极限值．要求瞬时速度，可以先求平均速度．-可见t时刻的瞬时速度h′(t)＝100－gt.令h′(t)＝100－gt＝0，解得t＝100g≈1009.8≈10.2(s)．所以火箭熄火后约10.2s向上速度变为0.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2问题4火箭向上速度变为0，意味着什么？你能求出此火箭熄火后上升的最大高度吗？答火箭向上速度变为0，意味着火箭处于上升阶段的最高点处，即火箭达到了最大高度，由例1知火箭熄火后上升的时间为t＝100g，所以火箭熄火后上升的最大高度h＝100×100g－12g×100g2＝10022g≈510.2(m)．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2跟踪训练1质点M按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值．解∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，∴ΔsΔt＝4a＋aΔt.在t＝2时，瞬时速度为limΔt→0ΔsΔt＝4a，即4a＝8，∴a＝2.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2探究点二导数问题1从平均速度当Δt→0时极限是瞬时速度，推广到一般的函数方面，我们可以得到什么结论？答对函数y＝f(x)来说，f(x)在点x＝x0附近改变Δx时，平均变化率为fx0＋Δx－fx0Δx.当Δx→0时，如果平均变化率趋于一个常数l，则l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2问题2导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？答函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率，导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2问题3导函数和函数在一点处的导数有什么关系？答若函数f(x)在区间(a，b)内可导，对(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，f′(x)就叫函数y＝f(x)的导函数．函数f(x)在点x＝x0处的导数是导函数y＝f′(x)在x＝x0处的函数值．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2例2利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．解由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝limΔx→0f2＋Δx－f2Δx，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，于是f′(2)＝limΔx→0－Δx2－ΔxΔx＝limΔx→0(－Δx－1)＝－1.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2小结求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；(3)取极限，得导数f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2跟踪训练2已知y＝f(x)＝x＋2，求f′(2)．解∵Δy＝2＋Δx＋2－2＋2，∴ΔyΔx＝4＋Δx－4Δx＝4＋Δx－4Δx4＋Δx＋2＝14＋Δx＋2，∴f′(2)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→014＋Δx＋2＝14.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2探究点三导数的实际应用例3一正方形铁板在0℃时，边长为10cm，加热后铁板会膨胀．当温度为t℃时，边长变为10(1＋at)cm，a为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率．解设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量为ΔS＝102[1＋a(t＋Δt)]2－102(1＋at)2＝200(a＋a2t)Δt＋100a2(Δt)2，因此ΔSΔt＝200(a＋a2t)＋100a2Δt.令Δt→0，得S′＝200(a＋a2t)．所以铁板对温度的膨胀率为200(a＋a2t)．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2跟踪训练3将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第xh时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f′(2)和f′(6)．根据导数的定义，ΔyΔx＝f2＋Δx－f2Δx＝2＋Δx2－72＋Δx＋15－22－7×2＋15Δx＝4Δx＋Δx2－7ΔxΔx＝Δx－3，所以，f′(2)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(Δx－3)＝－3.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2同理可得，f′(6)＝5.在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3与5.它说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降；在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的速率上升.本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处1.1.21．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义中，自变量x在x0处的增量Δx()A．大于0B．小于0C．等于0D．不等于0D本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处1.1.22．一物体的运动方程是s＝12at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是()A．at0B．－at0C.12at0D．2at0解析ΔsΔt＝st0＋Δt－st0ΔtA＝12aΔt＋at0，∴limΔx→0ΔsΔt＝at0.本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处1.1.23．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝32处的瞬时变化率是()A．3B．－3C．2D．－2解析∵ΔfΔx＝f32＋Δx－f32Δx＝－Δx－3，B∴limΔx→0ΔfΔx＝－3.本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处1.1.24．已知函数f(x)＝1x，则f′(1)＝________.解析f′(1)＝limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝limΔx→011＋Δx－1Δx－12＝limΔx→0－11＋Δx1＋1＋Δx＝－12.本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处1.1.21．瞬时速度是平均速度当Δt→0时的极限值；瞬时变化率是平均变化率当Δx→0时的极限值．2．利用导数定义求导数的步骤：(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx；(3)取极限得导数f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx.本课时栏目开关填一填研一研练一练