【人教版】2014届高三数学(理)第一轮夯实基础《古典概型 》

10．9古典概型考纲点击1.理解古典概型及其概率计算公式．2.会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.考点梳理1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是①______的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成②__________的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件③______.(2)每个基本事件出现的可能性④______.3．古典概型的概率公式一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P(A)＝⑤______.答案：①互斥②基本事件③有限④相等⑤mn考点自测1.下列试验中，是古典概型的有()A．种下一粒种子观察它是否发芽B．从直径规格为250mm±0.6mm的一批合格产品中任意抽一个，测量其直径dC．抛一枚硬币，观察其出现正面或反面D．某人射击中靶或不中靶解析：由古典概型的特点知C正确．答案：C2．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为()A.13B.12C.23D.34解析：从4张卡片中有序地取得两张的取法共有4×3＝12种，其中取得一奇一偶的取法共有4×2＝8种(先任取，后取与第一张不同奇偶的)．故取得卡片上数字之和为奇数的概率为P＝812＝23.故选C.答案：C3．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为()A．3B．4C．2和5D．3和4解析：点P的所有可能值为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)．点P(a，b)落在直线x＋y＝n上(2≤n≤5)，且事件Cn的概率最大．当n＝3时，P点可能是(1,2)，(2,1)，当n＝4时，P点可能是(1,3)，(2,2)，即事件C3、C4的概率最大，故选D.答案：D4．在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱相互平行的概率为__________．解析：任取两张棱的方法数为12×12×11＝66，满足要求的即互相平行的情况有3×4×3×12＝18，故P＝1866＝311.答案：3115．一个口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，从中摸出1黑球、1白球事件的概率是__________．解析：黑球号码记为a、b、c摸出2个球，基本事件的总数是6.其中1个黑球，1个白球所含事件的个数是3所求事件的概率是P＝36＝12.答案：12疑点清源1.一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．正确的判断试验的类型是解决概率问题的关键．2．古典概型是一种特殊的概率模型，但并不是所有的试验都是古典概型．3．从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集．故P(A)＝cardAcardI＝mn.题型探究题型一用列举法求古典概型的概率例1有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10直径1.511.491.491.511.491.511.471.461.531.47其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品．(1)从上述10个零件中，随机抽取1个，求这个零件为一等品的概率；(2)从一等品零件中，随机抽取2个：①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；②求这2个零件直径相等的概率．解析：(1)由所给数据可知，一等品零件共有6个．设“从10个零件中，随机抽取1个为一等品”为事件A，则P(A)＝610＝35.(2)①一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6.从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共有15种．②“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B)的所有可能结果有：{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共有6种，所以P(B)＝615＝25.点评：应用古典概型求概率的步骤：(1)仔细阅读题目，分析试验包含的基本事件的特点；(2)设出所求事件A；(3)分别列举试验和事件A包含的基本事件，求出总事件数n与所求事件A所包含的基本事件数m；(4)利用公式P(A)＝mn求出事件A的概率．变式探究1为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A、B、C三个区中抽取7个工厂进行调查．已知A、B、C区中分别有18,27,18个工厂．(1)求从A、B、C区中应分别抽取的工厂个数；(2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．解析：(1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数的比为763＝19，所以从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.(2)设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，C1，C2为在C区中抽得的2个工厂，在这7个工厂中随机地抽取2个，全部可能的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B2，C2)，(C1，C2)，共有21种．随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A区的结果(记为事件X)有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，共有11种．所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)＝1121.题型二用图表法求古典概型的概率例2有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示投掷第1颗正四面体玩具落在底面的数字，y表示投掷第2颗正四面体玩具落在底面的数字．(1)写出试验的基本事件；(2)求事件“落在底面的数字之和大于3”的概率；(3)求事件“落在底面的数字相等”的概率．解析：(1)这个试验的基本事件列表如下：12341(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)由表知共有16个基本事件．(2)事件“落在底面的数字之和大于3”包括以下13个基本事件：(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所求概率P＝1316.(3)事件“落在底面的数字相等”包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．所求概率P＝416＝14.点评：在求概率时常常可以把全体基本事件放在表格中或利用直角坐标系中的点表示，以便准确找出某事件所包含的基本事件．变式探究2设平面向量am＝(m,1)，bn＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}．(1)请列出有序数组(m，n)的所有可能结果；(2)记“使得am⊥(am－bn)成立的(m，n)”为事件A，求事件A发生的概率．解析：(1)有序数组(m，n)的所有可能结果为：nm12341(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)由上表知共16个．题型三综合古典概型的计算例3现有8名志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．解析：(1)从8人中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}，由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，事件M由6个基本事件组成，因而P(M)＝618＝13.(2)用N表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“B1、C1全被选中”这一事件，由于N＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，事件N有3个基本事件组成，所以P(N)＝318＝16.由对立事件的概率公式，得P(N)＝1－P(N)＝1－16＝56.点评：本题考查古典概型、对立事件等概率基础知识．解决本题至关重要的是基本事件空间所包含的基本事件的个数，列举的时候要做到不重不漏．变式探究3本例中条件不变，求A2和B3不全被选中的概率．解析：用A表示“A2和B3不全被选中”这一事件，则其对立事件A表示“A2、B3全被选中”．由于A包含的基本事件有(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，事件A由两个基本事件构成．∴P(A)＝218＝19，由对立事件的概率公式得P(A)＝1－P(A)＝1－19＝89.归纳总结•方法与技巧1．用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再求出事件A中的基本事件，利用公式P(A)＝mn求出事件A的概率．这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复，不遗漏．2．事件A的概率的计算方法，关键要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少．回答好这三个方面的问题，解题才不会出错．•失误与防范1．古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件数和事件发生数时，他们是否是等可能的．2．概率的一般加法公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．公式使用中要注意：(1)公式的作用是求A∪B的概率，当A∩B＝∅时，A、B互斥，此时P(A∩B)＝0，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(2)要计算P(A∪B)，需要求P(A)、P(B)，更重要的是把握事件A∩B，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一.新题速递1.(2013·安徽卷)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于()A.15B.25C.35D.45解析：1个红球记作R,2个白球记作B1，B2,3个黑球记作H1，H