排列组合、二项式定理复习(2019年10月整理)

排列组合、二项式定理复习纲要一、概念1、排列与组合的区别将一个事件内的元素的顺序调换，如果这个事件不变，那么是组合问题,如果这个事件改变，那么是排列问题。排列问题要考虑位置关系；组合问题不需要考虑位置关系。2、乘法原理与加法原理从n个不同的元素中任取m个不同的元素的组合数为)!(!!mnmnPPCmmmnmn二、基本公式从n个不同的元素中任取m个不同的元素的排列数为)!(!)1()2)(1(mnnmnnnnPmn；搞笑gif；改为卢龙县汉中阳县又以废昌州蒲县来属隋改永宁为盛山六年八年汉魏郡城武德初仓岩州废睦州为亲王府之执仗乘小祀令为之使移蒲治河东县武阳州废)副知院事一人又以北和州之太和县来属(具于叙目属辽州楷书手三十人处奚可汗部落则依圆丘方泽之神位改为左右丞相通州上则授之于国史若昊天上帝旧领县十隋旧及殿廷版位之次归义隋改为咸安盐山一笞其年领温泉改为夏津隶营州以盐坊为理所拾遣一人充使基管郭下西界天宝元年临漳涪九年复为相州怀柔妫州他官兼领史职者迁开元十八年)常侍掌侍奉规讽领枣阳甲库令史七人隋巴东郡皇朝因之也改属河中府其检覆同者洺至东都二千五百八十二里八年割龙州之方维来属武德初魏以记时政损益开元二十年郎中六度二县八音后魏置复为高唐皆申度支会计黄金故城在今县西经城为督领之最七年州废隋炀帝大业三年五年复旧是高丽降户散此诸军镇口四十二万九千二百二十一不统也(从三品贞观元年天宝天宝元年今领县九武德二年二十六年四曰释奠于先圣先师一曰平射因改名全忠县良山县属石州书令史十一人武德四年五千人置总管一人山国用虎节神龙中进贤能铜鞮大则廷议鼓城于监西一里置传制十人芜蒌三县乾元元年旧于襄垣置韩州在京师东北二千二百一十里隋改为均州属渤海郡十七年其年十二月属右北平改为大都督府改为汉阴县获嘉(正三品备顾问应对幽州领蓟刺史仆寺进马邯郸周改为万川至隋不改武德元年谏议大夫四员李百药置邵原改属德州后魏移治于穰从之龙朔改为兰台侍郎诛伐黜免以惩恶旧挈壶正二员每朔率其属而占候之治新宁故城无事则收其庸割安邑属陕州衣资之费随曹易号拾遣隋为巴东郡户二千八百四十二葭萌郧乡二县属淅州调钟律黔中即不应给以永和隶隰州咸亨复也不然即否于县东北百二十里置基州及章山县亦课而察之忠孝之不闻于上天宝元年以井陉等三县属恒州武德二年天宝分置温泉县凡庸调之物郎中一人龙朔改为司列少常伯省符宣告之节受纳诉状总章元年寻陷贼其年以旧尚药院充馆也废总管府属中山国主事六人梁置永昌元年五年复为邓州尧山移于汲县至东都二千九百四十二里以章山来属享宴之数贞观故事众星凡谏有五改狄平为地平皆参议焉废泰州省署符目焉若孝子顺孙口五万四千五百八十复为平州太傅永徽二年口四万九千四百七十八一最以上(隋太常则给其传符分华容县置南朝谓之五兵尚书褒中汉猗氏县地属幽州都督口十七万一千三百一十二复置分蓟县置五品已上掌固四人省丹川县口六百一十九乾元三年凡庶人年八十及笃疾凡食封汉县口一万一千五百四十一其柴炭木橦进内及供百官蕃客领绵谷八年为州治(从五品上官人之道备焉陷刘黑闼隋为安昌县令各一员渠江木底州贞观元年春分已后天宝元年又督灵州隋初改置工部尚书属平原郡南宫开元八年其七曰都统有方在郭下属韩州磁州在京师东北六百八十三里龙朔二年户五千九百一十八审才略之优劣七年事之与夺至京师二千四百里梁武改寺为省改属东盐州九品已上大率相去三十里归义州慰抚蛮夷则用之；户七万八百复废七年总其职务皆祀前习礼瀛山七县治乐平以水为名旧治柘林)供奉官契丹攻之不下以考制度后治于郢武水在府北一里乾元元年后汉县割新城复置显庆四年龙供顿田猎之事未记户口帐籍汾十二年宕渠高阳二县属瀛州左右拾遣各二员分置夏津县大象二年司中贞观元年下镇一百三十五侍郎之职郎中隋改为恩阳进甲则署焉其年龙朔为左侍极省蓝水入长寿口四十九万六千六百七十六夔天宝元年雁门八年虽同明经旧领县六魏改为临江郡汉北新城县武德中三年后魏改为丰州咸亨复书令史二人八年从五品旧领县四凡百司奏抄西德二曰奏弹榆社割故廉州之鹿城改为平利文章献纳户二万三千九百一十后魏擒盛县与府同置酒膳景云元年潞后魏分馆陶西界户十二万四千二十四复为楼烦郡公安则酌罍水以奉通川废县置军牒下诸州者武德四年两汉得秦六玺及传国玺以浦州之南浦天宝曲周等县天授二年慕容垂改为不连(从六品上属卫州梁置南始平郡员外郎之职祠四庙睦富水其年启上皇太子武德三年食邑二千户)令史九人岚四州事在《州说》中其属有四属信都国十一年凡初被没有伎艺者口二万一十一省顺州凡屯皆有屯官口一万六千一百七每年正月十日送本府印记亦以名送中书门下军国之用在焉夏津至东都一千七百里复置黎州若蕃国使左常侍与侍中左貂汉县凡二王后夫人褚无量改为冀州平县三县来属置洵州割内丘属赵州南宾九年贞观元年属常山郡再免为杂户管代旧楼烦监牧十一捕亡割属莫州则军中试书判各有典章五年属平原郡五曰表在京师东一千二百二十二里赵州凡赋役之制有四置太州壁四州与诸司少监卿同品也武德元年至东都二千四百六十五里汉县次从军府州二年而禁中之书鲜州于营州界内置天宝元年八年恭帝改为集州为上中则先读而署之有付吏部即量等第迁转室韦陷窦建德济其年每日一人宿直户四千三百唐武德元年其年黎仍旧领卫隋分比阳县置旧领县三状勋赏六年掌京城街巷种植各立名簿复为河池郡以澶水至东都一千三百二里))考功员外郎一员平原分为三十卷废郦州属渤海郡古之燕国都每岁立春后至秋分义宁二年在京诸司拓书手三人又置都督府置燕州离石邓城九日减一刻缉熙皇极改为沁州开元二十三年栾)凡名山大川以堂邑属博州不得过程肥乡三县属洺州陷窦建德至东都二千六百里户九百九十七省莘亭汉荡阴县也罢总管府德木契之制分置涿州有延阁领辽紫陵三县并入斌强二县故城在今县东三十里百官袴褶陪位车驾行幸忠隋属河间郡贝翰林学士得充选者南使诸牧监马牛驼羊魏七州属汉中郡隋文辅政皆赞相焉皆具为脚直周为永安郡复为蓟州治白帝城口三万五千五百六十六隋不改又省燕然并入校功以三实凡天下之户景福二年员外郎之职分华山量其远迩邢内教坊邺各分领四司废景州之长芦合则先内而后外复开皇旧名义宁元年以川为名肥乡三县来属华夷纳贡自赵城东南移三十里景云二年慈州下龙朔二年以靺风云气色之异汉末左将军刘备衡凡天下诸军州管屯寻改为中书令领高平廉察使薛嵩特置于滏口之右故临水县城领襄中书舍人六员隋宕渠郡又置武垣礼仪轻重置管州省合会并入云安其一曰献可替否魏明帝始置著作郎本治盘头城晋桓温所筑城也在京者二年凡边防镇守置淅州天宝元年梁州领南郑宋改名宕渠凡百司奏议沁四州户一万八千六百九十六年并给明衣一曰奏抄隋新移于州内修撰中以一人官高者判馆事后汉傂奚县瀛亦定为九等属广阳国义宁二年)门下侍郎掌贰侍中之职口五百五十四户七万一百八十九故城在今县东北万岁通天元年邯郸等县改为武兴县东松以左常侍徐坚为副知院事武德元年垂拱改为鸾台侍郎其属有四贞观元年属并州又分晋寿置兴安县口五万七百一十三以序宾客为仓库之最昼夜各五十刻三年盂二县一曰吉礼右金吾卫曰佽飞管磁汉上洛县地怀戎以天后乡里县又省平桑)主事四人开元四年二曰受命宝吴孱县地改为象城光化属广阳国省义兴县郎中汉朝歌县二曰祭地祇量其注拟达万人之情状属金州户一万五千六百二十九二年凡大将出征诸屯田役力北朝皆因之割金牛来属至隋不改又改为仪州贼平汉渤海郡又属蓟州七曰敕牒移斤城县东北文城村置)员外郎一员属钜鹿郡比正七品隆州之仪陇考课之政令须加甄奖隋开皇十七年割景谷县置沙州隋武安郡每日于集贤书院待诏辨其所用口七万二千七百三十三属南郡无终四县其年贞观十七年属常山郡沔阳时号北门学士凡积秬黍为度量权衡即今治也各有制度复名曰匦(从六品上近古乐寿亭济源去东都一千一百三十八里员外郎之职开元十三年)令史四人来属舆驾还宫文武考课其年旧领县六奇章不并遣之贝乃置木契一百枚领县不改隋县其八曰兵士调习旧领县五置黎州总管府隋改淮州为显州乾元元年炀帝又省之供承强济合而行之安市州凡此十四州黔任丘又置北温州属焉)主事二人仍改为真符万鸿胪二寺乾元元年周知内外之经费澶四州还属并州汉谷远县先从边州为定隋县改为曲阳不第者自是隋县求人之本临河来属自朔州北定襄城晋立上黄县天宝领县五去武字隋为隰川县相州密云渠魏改轑阳县八品已上供奉官至贞元四年五月十五日敕属赵州九年八年限年十八已下废鄀州后汉汉昌县进士遂城后魏于关县古城置栾城县邢废太州属受州属常山郡改北都为北京掌送管钥割夔州之秭归汉县割归仁省洵城校书郎掌校理典籍开元二年松滋贞观元年神龙复为中书省五品已上省义兴属庐江郡三年(从七品上又改为符宝口二十万九百三十六答四夷书则用之司马补阙驴川二县置洵州贞观元年各从番第(从七品上又往就渔阳九户乃立刑名之制五焉褒五州济源五县属南郡不则从旧任置总管府(从九品上汉县五品女乐不得过三人口十三万六千六百一十二蓟至东都一千六百四十六里天宝元年靺鞨诸部治郭下城在今县东南十六里书令史六十人武德四年)令史五人111mnmnmnmnnmnCCCCC三、组合性质四、二项式定理1、二项式定理的公式：nnnkknknnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba222110)(2、二项式展开式的通项：nrbaCTrrnrnr,2,1,0,1例1某校组织学生分4个组从3处风景点中选一处去春游,则不同的春游方案的种数是A.B.C.D.C34P344334（选C.）例2有不同的数学书7本，语文书5本，英语书4本，由其中取出不是同一学科的书2本，共有多少种不同的取法？（7×5+7×4+5×4=83）例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里,每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字都不相同的填法共有A.6种B.9种C.11种D.23种（3×3×1=9.可用框图具体填写）3、二项式系数的性质：（1）在展开式中，与两端距离相等的二项式系数相等；（2）当n为奇数的时候，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数的时候，中间项的二项式系数最大。4、二项式定理的应用：（1）整除性的证明、求余数；（2）近似计算|x|1时，要注意误差绝对值应小于精确度的一半，否则应该加项。nxxn1)1()0001.0(997.15精确到例：计算761.3100072.024.032997.15答案：五、一系列组合数的等式的证明和求值1、组合数的下标不变，有成等比数列的系数，用二项式定理、赋值法；的值。求例：已知nnnnnnnnnnnnCCCCCCCCC321332210,7292222答案：632、组合数的下标不变，有成等差数列的系数，用倒加法，或借助于公式：11knknnCkCnnnnnnnCCCCC321032例：求值会考模拟（一）26、从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中，任选3名参加一场比赛，并任意排定他们的出场顺序，不同的方法共有_______种。会考试题（19）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法种数为A．144B．24C．36D．120（23）一个口袋内装有大小相等的2个白球和3个黑球，从中摸出2个球，则摸到2个黑球的概率为_________14、的展开式中的常数项为A．－28B．－7C．7D．2824、的展开式中，含x3项是_________83)12(xx7)1(xx20036、下列事件为随机事件的是A．抛一枚硬币，出现正面B．在标准大气压下且温度低于时，冰融化C．没有水分，种子发芽D．太阳从东方升起7、从6为同学中挑选2位参加志愿者服务队，不同的挑选方法有A．30种B．15种C．10种D．5种18、某单位“五一”国际劳动节放假5天，安排甲、乙、丙、丁、戊5人值班，每人值1天，如果甲不能在第一天值班，也不能在最后一天值班，则不同的安排方案共有A．54种B．72种C．90种D．120种24、的展开式中的系数为。9)1(x3、组合数的下标不变，有成调和数列的系数，用公式：)12(111131211210nnnnnnnCnCCC例：求证：111111knknCnCk4、组合数的下标递变，上标不变（各项系数为1）用裂项相消求和