2018年考研数学(高数、线代、概率论)最全公式手册

一、高等数学(一)函数、极限、连续考试内容公式、定理、概念函数和隐函数函数：设有两个变量x和y，变量x的定义域为D，如果对于D中的每一个x值，按照一定的法则，变量y有一个确定的值与之对应，则称变量y为变量x的函数，记作：yfx基本初等函数的性质及其图形，初等函数，函数关系的建立：基本初等函数包括五类函数:1幂函数:yxR;2指数函数xya(0a且1a);3对数函数:logayx(0a且1a);4三角函数:如sin,cos,tanyxyxyx等;5反三角函数:如arcsin,arccos,arctanyxyxyx等.初等函数：由常数C和基本初等函数经过有限次四则运算与有限此复合步骤所构成，并可用一个数学式子表示的函数，称为初等函数.数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限与右极限1000lim()()()xxfxAfxfxA2000lim()()(),lim()0xxxxfxAfxAaxax其中3(保号定理)0lim(),0(0),0xxfxAAA设又或则一个,000(,),()0(()0)xxxxxfxfx当且时，或无穷小和无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较lim)0,lim()0xx设（()(1)lim0,())()xxxx若则是比（高阶的无穷小，记为(x)=o((x)).()(2)lim,())()xxxx若则是比（低阶的无穷小，()(3)lim(0),())()xccxxx若则与（是同阶无穷小，()(4)lim1,())()xxxx若则与（是等价的无穷小，记为(x)(x)()(5)lim(0),0,())()kxcckxxx若则是（的k阶无穷小0x常用的等阶无穷小：当时sinarcsintan,arctanln(1)e1xxxxxxx2111cos21(1)1nxxxxn无穷小的性质（1）有限个无穷小的代数和为无穷小（2）有限个无穷小的乘积为无穷小（3）无穷小乘以有界变量为无穷小Th在同一变化趋势下，无穷大的倒数为无穷小；非零的无穷小的倒数为无穷大极限的四则运算lim(),lim().fxAgxB则(1)lim(()())fxgxAB；(2)lim()()fxgxAB；()(3)lim(0)()fxABgxB极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限：1()()(),xxfxx0夹逼定理）设在的邻域内，恒有（00lim()lim(),xxxxxxA且0lim()xxfxA则2单调有界定理：单调有界的数列必有极限3两个重要极限：0sin(1)lim1xxx10(2)lim(1)exxx重要公式：0010111011,lim0,,nnnnmmxmmanmbaxaxaxanmbxbxbxbnm4几个常用极限特例lim1,nnnlimarctan2xxlimarctan2xxlimarccot0,xxlimarccotxxlime0,xxlime,xx0lim1,xxx函数连续的概念：函数间断点的类型：初等函数的连续性：闭区间上连续函数的性质连续函数在闭区间上的性质：(1)(连续函数的有界性)设函数fx在,ab上连续,则fx在,ab上有界,即常数0M，对任意的,xab,恒有fxM.(2)(最值定理)设函数fx在,ab上连续,则在,ab上fx至少取得最大值与最小值各一次,即,使得:max,,axbffxab；min,,axbffxab.(3)(介值定理)若函数fx在,ab上连续,是介于fa与fb(或最大值M与最小值m)之间的任一实数,则在,ab上至少一个,使得.fab(4)(零点定理或根的存在性定理)设函数fx在,ab上连续,且0fafb,则在,ab内至少一个,使得0.fab(二)一元函数微分学考试内容对应公式、定理、概念导数和微分的概念左右导数导数的几何意义和物理意义1导数定义：0000()()'()limxfxxfxfxx（1）或0000()()'()limxxfxfxfxxx（2）2函数()fx在0x处的左、右导数分别定义为：左导数：00000000()()()()()limlim,()xxxfxxfxfxfxfxxxxxxx右导数：0000000()()()()()limlimxxxfxxfxfxfxfxxxx函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线和法线Th1:函数()fx在0x处可微()fx在0x处可导Th2:若函数()yfx在点0x处可导，则()yfx在点0x处连续，反之则不成立.即函数连续不一定可导.Th3:0()fx存在00()()fxfx00()()(,)fxxxfxMxy0设函数在处可导，则在处的0000000-'()()1-(),'()0.'()yyfxxxyyxxfxfx切线方程：法线方程:导数和微分的四则运算，初等函数的导数，四则运算法则:设函数()uux，()vvx在点x可导则(1)()uvuv()duvdudv(2)()uvuvvu()duvudvvdu(3)2()(0)uvuuvvvv2()uvduudvdvv基本导数与微分表(1)yc（常数）0y0dy(2)yx(为实数)1yx1dyxdx(3)xyalnxyaalnxdyaadx特例(e)exx(e)exxddx(4)1lnyxa1lndydxxa特例lnyx1(ln)xx1(ln)dxdxx(5)sinyxcosyx(sin)cosdxxdx(6)cosyxsinyx(cos)sindxxdx(7)tanyx221seccosyxx2(tan)secdxxdx(8)cotyx221cscsinyxx2(cot)cscdxxdx(9)secyxsectanyxx(sec)sectandxxxdx(10)cscyxcsccotyxx(csc)csccotdxxxdx(11)arcsinyx211yx21(arcsin)1dxdxx(12)arccosyx211yx21(arccos)1dxdxx(13)arctanyx211yx21(arctan)1dxdxx(14)arccotyx211yx21(arccot)1dxdxx(15)yshxychx()dshxchxdx(16)ychxyshx()dchxshxdx复合函数，反函1反函数的运算法则:设()yfx在点x的某邻域内单调连数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，续，在点x处可导且()0fx，则其反函数在点x所对应的y处可导，并且有1dydxdxdy2复合函数的运算法则:若()x在点x可导,而()yf在对应点(()x)可导,则复合函数(())yfx在点x可导,且()()yfx3隐函数导数dydx的求法一般有三种方法：(1)方程两边对x求导，要记住y是x的函数，则y的函数是x的复合函数.例如1y，2y，lny，ey等均是x的复合函数.对x求导应按复合函数连锁法则做.(2)公式法.由(,)0Fxy知(,)(,)xyFxydydxFxy,其中，(,)xFxy，(,)yFxy分别表示(,)Fxy对x和y的偏导数(3)利用微分形式不变性高阶导数，一阶微分形式的不变性，常用高阶导数公式（1）()()()ln(0)(e)exnxnxnxaaaa（2）()(sin)sin()2nnkxkkxn（3）()(cos)cos()2nnkxkkxn（4）()()(1)(1)mnm-nxmm-m-n+x（5）()(1)(1)!(ln)(1)nnnnxx（6）莱布尼兹公式：若()()ux,vx均n阶可导，则()()()0()nniin-ini=uvcuv，其中(0)u=u，(0)v=v微分中值定理，必达法则，泰勒公式Th1(费马定理)若函数()fx满足条件：(1)函数()fx在0x的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有0()()fxfx或0()()fxfx,(2)()fx在0x处可导,则有0()0fxTh2(罗尔定理)设函数()fx满足条件：(1)在闭区间[,]ab上连续；(2)在(,)ab内可导，则在(,)ab内一个，使()0fTh3(拉格朗日中值定理)设函数()fx满足条件：(1)在[,]ab上连续；(2)在(,)ab内可导；则在(,)ab内一个，使()()()fbfafbaTh4(柯西中值定理)设函数()fx，()gx满足条件：(1)在[,]ab上连续；(2)在(,)ab内可导且()fx，()gx均存在，且()0gx则在(,)ab内一个，使()()()()()()fbfafgbgag洛必达法则：法则Ⅰ(00型)设函数,fxgx满足条件：00lim0,lim0xxxxfxgx;,fxgx在0x的邻域内可导(在0x处可除外)且0gx;0limxxfxgx存在(或).则00limlim.xxxxfxfxgxgx法则I(00型)设函数,fxgx满足条件：lim0,lim0xxfxgx;一个0X,当xX时,,fxgx可导,且0gx;0limxxfxgx存在(或).则00limlim.xxxxfxfxgxgx法则Ⅱ(型)设函数,fxgx满足条件：00lim,limxxxxfxgx;,fxgx在0x的邻域内可导(在0x处可除外)且0gx;0limxxfxgx存在(或).则00limlim.xxxxfxfxgxgx同理法则II(型)仿法则I可写出泰勒公式:设函数()fx在点0x处的某邻域内具有1n阶导数，则对该邻域内异于0x的任意点x，在0x与x之间至少一个，使得2000001()()()()()()2!fxfxfxxxfxxx()00()()()!nnnfxxxRxn其中(1)10()()()(1)!nnnfRxxxn称为()fx在点0x处的n阶泰勒余项.令00x，则n阶泰勒公式()21(0)()(0)(0)(0)()2!!nnnffxffxfxxRxn„„(1)其中(1)1()()(1)!nnnfRxxn，在0与x之间.(1)式称为麦克劳林公式常用五种函数在00x处的泰勒公式1211e12!!(1)!nxnxxxxenn或2111()2!!nnxxxoxn1311sinsinsin()3!!2(1)!2nnxnxnxxxnn或31sin()3!!2nnxnxxoxn1211cos1coscos()2!!2(1)!2nnxnxnxxnn