单位载荷法--莫尔积分

1Pl2PnPABc一、推导：12,,nPPP)(xM2()2lMxUdxEI01PlABc0P()Mx20()2lMxUdxEI§13-7单位载荷法--莫尔积分方式一：先加0P0U再加nPPP21,U0P100UUUP方式二：222()2lMxdxUEInPPPP210,,同时加2()()()MxMxMx12UU2200()2lMxUUPdxEI22()()2()()2lMxMxMxMxdxEI()()lMxMxdxEI1P2PnPl0PABc1P2PnPl0PABc同理：()()lMxMxdxEI二、莫尔积分的应用：1、计算梁发生弯曲变形的位移：ldxEIxMxM)()(2、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移：sdsEIsMsM)()(3、计算圆轴发生扭转变形的位移：lPdxGIxTxT)()(4、计算杆发生轴向拉压变形的位移：ldxEAxNxN)()(5、计算桁架节点位移：niiiiAElNN1..6、计算结构组合变形的位移：llPldxEAxNxNdxGIxTxTdxEIxMxM)()()()()()(三、莫尔积分的应用范围：线弹性结构四、的符号的含义：1、+：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同2、-：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反用莫尔积分计算的步骤：1、写出结构在原载荷作用下引起的各段的各种内力方程2、将结构单独取出，在结构上施加一与所求位移对应的单位载荷即：求位移时施加单位力；求相对位移时施加一对相反单位力。求转角时施加单位力偶；求相对转角时施加一对相反单位力偶。3、写出结构在单位载荷单独作用下引起的各段的各种内力方程4、将同一段的同一种内力方程相乘积分注意：在列原载荷和单位载荷引起的内力方程时，必须保证内力方程分段相同，并且每段自变量的基准点相同ABPD求C点铅垂位移CyC思考:在分别写原载荷和单位载荷引起的弯矩方程时,应分几段?AB01PDC()()()()()()PlllMxMxTxTxNxNxdxdxdxEIGIEA1x1x3x3x2x2x组合变形时的莫尔积分：所以：其中:)(xM为原载荷引起的弯矩，()Mx为单位载荷引起的弯矩，注意单位载荷一定要与所求位移：在种类和位置上对应。六、莫尔积分的例题1、计算梁发生弯曲变形的位移：()(),PlTxTxdxGIq2lAB2lC求:C点铅垂方向的位移和B点转角CB莫尔积分的应用范围：线弹性结构()()lMxMxdxEI()()lNxNxdxEA例1:已知,,,qlEIqB2lA2lC2)列原载荷引起的内力方程:1x2x01PB2lA2lC1x2x2111()22qlqMxxx3)施加单位载荷:4)列单位载荷引起的内力方程:111()2Mxx10,xl10,2lx10,2lx5)同一段的同一种内力相乘积分211102()()lCMxMxdxEI42211110115()()222384lqlqqlxxxdxEIEI解:求1)求约束反力:为此取AB为研究对象C2ql2ql1212B2lA2lC1x01M1l1l2111()22qlqMxxx10,xl111()Mxxl10,xl11101()()lBMxMxdxEI21111011()()22lqlqxxxdxEIl324qlEI的正、负号的含义：1、+：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同2、—：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反1xqB2lA2lC2ql2ql求:B例2：试求P力作用下，A点的竖直位移分析：因为力与轴线位于同一平面所以在P力作用下，只考虑弯曲变形，即只考虑弯矩解：()(1cos)MPR()(1cos)MR01()()AyMMRdEI320(1cos)PRdEI2、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移：()()sMsMsdsEI332PREIR1ddsRPABdds1)列原载荷引起的内力方程:2)施加单位载荷,列单位载荷引起的内力方程:3)由莫尔积分求:Ay3、计算桁架节点位移：1niiiiiiNNlEAPPABCD解：11ABCD12345123451)列原载荷引起的内力方程:PA1N2NB1N4N3N1245NNNN2cos303oPP33PN例3：图示简单桁架，各杆长度均为，且EA相同，试求B、D两节点的相对位移。a2)施加单位载荷:3)列单位载荷引起的内力方程:12450NNNN31NB3N1A1N2N11ABCD12345杆号iNiNiiiNNlil13524100003P3P3P3P3Paaaaa3Pa00004)由莫尔积分求:BD51iiiBDiNNlEA1()3PaEA杆号iNiNiiiNNlil13524100003P3P3P3P3Paaaaa3Pa0000PPABCD0.577PaEA4、计算结构组合变形的位移：()()()()()()PlllMxMxTxTxNxNxdxdxdxEIGIEAPABC1EI2EIaa1ABC1EI2EIaa例4：图示刚架，各段刚度已标出，试A点的铅垂位移与B点的转角1x1x2x2x解：11()MxPx11()Mxx2()MxPa2()NxP2()Mxa2()1Nx1)列原载荷引起的内力方程:2)列单位载荷引起的内力方程:11()MxPx2()MxPa2()NxP2()Mxa11()Mxx2()1Nx11121220011()(1)()()()()aaAyPaPxxdxPaadxEIEIEA312211()3PaPaEIIEA设1212,IIIAAA12yy3124,3yyPaPaEIEA222133()44yyIiAaa3)同一段的同一种内力相乘积分PABC1EI2EIaa1x2x1ABC1EI2EIaa1x2x若横截面是边长为b的正方形，时，上述比值为：10ab222133()44yyIiAaa231()416002310bbPABC1EI2EIaa1x2xABC1EI2EIaa11x2x11()MxPx2()MxPa2()1Mx1()0Mx222201()1aBPaPadxEIEI例5:轴线为半圆形平面曲杆如图(a)所示,作用于A点的集中力P垂直于轴线所在平面,求P力作用点的垂直位移.1)列原载荷引起的内力方程:()MPRsin()(1)TPRcos2)施加单位载荷:()MRsin()(1)TRcos4)积分计算位移00()()()()BPMMTTyRdRdEIGI3)列单位载荷引起的内力方程:ddP133322PPRPREIGI2)列原载荷引起的内力方程:1x2x111()0,3PMxxxa3)列单位载荷引起的内力方程:1112()0,3Mxxxa解:1)求约束反力3P23P例:变截面梁如图所示,已知：P，a，EI1，EI2。求：D点的垂直位移.3xBaADaaP1EI1EI2EIC2313BaADaa11EI1EI2EIC2222()0,3PMxxxa3332()0,33PaPMxxxa2221()0,3Mxxxa3332()0,33aMxxxa1x2x3x3)列单位载荷引起的内力方程:1112()0,3Mxxxa4)同一段的同一种内力相乘积分111222333112000111()()()()()()aaaDMxMxdxMxMxdxMxMxdxEIEIEI2111221100333321201212()()3333121813333354aaaxPPxxdxxdxEIEIPPaaPaxxdxEIEII2221()0,3Mxxxa3331()0,33aMxxxa111()0,3PMxxxa2222()0,3PMxxxa3332()0,33PaPMxxxa解:1)由于对称，只计算一半例:平面刚架如图所示,已知：P，a，EI。求：AF两点的相对位移.2xaAPBCDEFOP2a1x2)原载荷引起的内力方程:111()0,MxPxxa3)单位载荷引起的内力方程:111()0,Mxxxa22()0,MxPaxa22()0,Mxaxa333()0,MxPxxa333()0,Mxxxa2xaPDEFO2a1x3xP2xa1DEFO2a1x2xaPDEFO2a1x3x111222333000222()()()()()()aaaAFMxMxdxMxMxdxMxMxdxEIEIEI2)原载荷引起的内力方程:111()0,MxPxxa3)单位载荷引起的内力方程:111()0,Mxxxa22()0,MxPaxa22()0,Mxaxa333()0,MxPxxa333()0,Mxxxa322211233000222103aaaAFPaPxdxPadxPxdxEIEIEIEI2)原载荷引起的内力方程:111()0,MxPxxa3)单位载荷引起的内力方程:111()0,Mxxxa22()0,MxPaxa22()0,Mxaxa333()0,MxPxxa333()0,Mxxxa分析：研究角度θ对应的截面的弯矩。先考虑内部弧段φ的合弯矩01()()AyMMRdEI4442003sin23(1cos)242qRqRqRdEIEIEI计算均布外压小曲率曲梁弯曲变形的A点竖直位移yA：()()sMsMsdsEI2)A点施加向下的单位力,引起的内力方程:3)由莫尔积分求yARqABddsdp=qds=qRdφ(cos)(1cos)MRRR220()sin()1cosMqRdqR2()sin()sin()dMRdPqRdRqABdds1CM一、推导：()()lMxMxdxEI，若EI为常量，则公式可变形为：1()()lMxMxdxEI()Mxxtg()()lMxMxdx()lxtgMxdx()ltgxMxdxctgxtgxd()()ClMxMxdxMCMEI又cCtgxM()Mx()MxdxxcxCABlABxy§13-8计算莫尔积分的图乘法l58l38lCl34l4lChh顶点顶点(1)二次抛物线：23lh(2)二次抛物线：13lh为了计算方便，列出了比较常见图形的面积和形心坐标三、应用图乘法的注意事项：1、CM有正负号：原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的同侧，为正原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的异侧，为负2、当)(xM为一条光滑的的曲线，()Mx为一条折线时，必须以折点为界,分段图乘可将4、当)(xM图很复杂时，分成若干个简单图形,分部分图乘)(xM3、若梁的抗弯刚度EI在整个梁上呈阶梯变化，则图乘时也要分段5、图乘时，只有对同一段梁上的同一种内力才能互乘，注：综合来讲，决定图乘分段的因素有三个：1()Mx的折点；3()Mx图是否需要划分为若干简单图形；(