2010年考研数学二真题及答案

二零一○年全国研究生入学考试试题（数学二）一选择题1.的无穷间断点的个数为函数222111)(xxxxxf+−−=A0B1C2D32.设21,yy是一阶线性非齐次微分方程)()(xqyxpy=+′的两个特解，若常数µλ,使21yyµλ+是该方程的解，21yyµλ−是该方程对应的齐次方程的解，则A21,21==µλB21,21−=−=µλC31,32==µλD32,32==µλ3.=≠==aaxayxy相切，则与曲线曲线)0(ln2A4eB3eC2eDe4.设,mn为正整数,则反常积分210ln(1)mnxdxx−∫的收敛性A仅与m取值有关B仅与n取值有关C与,mn取值都有关D与,mn取值都无关5.设函数(,)zzxy=由方程(,)0yzFxx=确定,其中F为可微函数,且20,F′≠则zzxyxy∂∂+∂∂=AxBzCx−Dz−6.(4)2211lim()()nnxijnninj→∞==++∑∑=A12001(1)(1)xdxdyxy++∫∫B1001(1)(1)xdxdyxy++∫∫C11001(1)(1)dxdyxy++∫∫D112001(1)(1)dxdyxy++∫∫7.设向量组线性表示，，，：，可由向量组sIβββααα……21r21II,,:，下列命题正确的是：A若向量组I线性无关，则sr≤B若向量组I线性相关，则rsC若向量组II线性无关，则sr≤D若向量组II线性相关，则rs8.设AAAA为4阶对称矩阵,且20,+=AAAAAAAA若AAAA的秩为3,则AAAA相似于A1110⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠B1110⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎝⎠C1110⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎝⎠D1110−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎝⎠二填空题9.3阶常系数线性齐次微分方程022=−′+′′−′′′yyyy的通解y=__________10.曲线1223+=xxy的渐近线方程为_______________11.函数__________)0(0)21ln()(==−=nynxxy阶导数处的在12.___________0的弧长为时，对数螺线当θπθer=≤≤13.已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加，则当l=12cm,w=5cm时，它的对角线增加的速率为___________14.设A，B为3阶矩阵，且__________,2,2,311=+=+==−−BABABA则三解答题15.的单调区间与极值。求函数∫−−=2212)()(xtdtetxxf16.(1)比较10ln[ln(1)]nttdt+∫与10ln(1,2,)nttdtn=∫⋯的大小,说明理由.(2)记10ln[ln(1)](1,2,),nnuttdtn=+=∫⋯求极限lim.nxu→∞17.设函数y=f(x)由参数方程。求函数，已知，阶导数，且具有所确定，其中)(,)1(436)1(25)1(2)()1(),(,2222ttdxydtttyttxψψψψψ+==′⎩⎨⎧=−=+=18.一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为b23时，计算油的质量。（长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为3/mkgρ）19.0,,.05124),(222222=∂∂∂+=+==∂∂+∂∂∂+∂∂=ηξηξubyxayxbayuyxuxuyxfu下简化的值，使等式在变换确定且满足等式具有二阶连续偏导数，设函数20.}.40,sec0),(D,2cos1sin22πθθθθθθ≤≤≤≤=−=∫∫rrdrdrrID｛其中计算二重积分21.设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=31,证明：存在.)()(),1,21(),21,0(22ηξηξηξ+=′+′∈∈ff使得22.的通解。求方程组、）求（个不同的解。存在已知线性方程组设bAxabAxabA==⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=)2(.12.11,1101011λλλλ23.设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=0431410aaA，正交矩阵Q使得AQQT为对角矩阵，若Q的第一列为T)1,2,1(61，求a、Q.答案：BACDBDAD9.xCxCeCxsincos3221++10.y=2x11.)!1(2−⋅−nn12.)1(2−πe13.3cm/s14.3三解答题15..1,0,2)(,)(),,()(2222221112±==′−=+∞−∞∫∫∫−−−xdtexxfdttedtexxfxfxtxtxt所以驻点为由于的定义域解：列表讨论如下：x)1,(−∞-1(-1,0)0(0,1)1(1,+∞))(xf′-0+0-0+)(xf极小极大极小).1(21)0(,0)1(101--101-)(1102−−−===±∞∞+∫edtteffxft极大值为）；极小值为，）及（，（），单调递减区间为，）及（，的单调增加区间为（因此，16.0lim,0lnlim)1(111lnln.ln)]1[ln(ln0)1()2(.ln)]1[ln(ln,ln)]1[ln(ln,)1ln(,10)1(10102101010101010==∴+=+=−=≤+=≤≤+≤+∴≤+≤≤∞→∞→∫∫∫∫∫∫∫∫nnnnnnnnnnnnnnudtttndttntdttdtttdtttdtttudtttdtttttttttt从而知由因此，当解：∵∵17171717).123)(,0,25)1(.23)(3)().1(3)(,0,6)().3)(1(])1(3[),1(3t11),().1(3)(t11)()143)1(4)()()1(,)143)1(4)()()1()22()22()(2)()22(,22)(3222322111111113223222−+===++=+=+=′==′=++=+∫+∫=+=+−′′=+=′+−′′+=+′−′′++=+′−′′+=++′−′′+=∴+′=∫∫=+−+ttttCCttdtttttttCtuCttCdteteutuututttttttttdxydtttttttttdxydttdxdytdttdtt（于是知由于是知由有设从而，，（故（由题设ψψψψψψψψψψψψψψψ∵18181818解：.)4332()43621()SS(),436()2cos1(2cossin12S,cos,sin,12SS.21SS.121606022202222112222ablplpababablpabdttabtdttabtdtbdytbydybyaxabbyaxb+=++=++=+=−===−===+∫∫∫πππππππ于是油的质量为则设，则轴上方阴影部分的面积是位于记为下半椭圆面积，则记椭圆所围成的图形。图中阴影部分为油面与油罐底面椭圆方程为如下图建立坐标系，则xyS2S119191919解：.2,5252,2,5252,22,08)(12105252,22,252,5220412504125.0)4125(]8)(1210[)4125.2,,2,2222222222222222222222222−=−=−=−=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧−=−=−=−=≠+++⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧−=−=−=−=⎪⎩⎪⎨⎧−=−=−=−=⎩⎨⎧=++=++=∂∂+++∂∂∂++++∂∂++∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂=∂∂bababababaabbababababbaaubbubaabuaaubuabuaxuubuayuuuuxuuuxu或故，舍去由，解得由题意，令（，得将以上各式代入原等式ηηξξηηξξηξηηξξηξ20.20.20.20..1631cos3131,sin.])1(1[31)1(31)1(1211sincos1sin20)4(10232010232222022102222222πθθθθπ−=−==−−=+−=+−+−=+−=+−=∫∫∫∫∫∫∫∫∫tdtItxdxxdxyxyxdyxdxdxdyyxydrdrrrIxxDD则设由题设知，21.21.21.21..)()(0])([21])([21)0()1().1,21(],)([21)211)(()21()1(),21,0(].)([21)021)(()0()21(]1,21[]21,0[.0)1(,0)0(31)()(2222223ηξηξηηξξηηηηξξξξ+=′+′=−′+−′=−∈−′=−′=−∈−′=−′=−==−=ffffFFfFFFfFFFFFxxfxF即二式相加，得：值定理，有上分别应用拉格朗日中和在，由题意知证：设函数22.22.22.22.为任意常数。其中的通解为所以时，当有解，（变换的增广矩阵施以初等行时，对当舍去。所以时，因为当。或于是的一个非零解，故是个不同的解，则的为设kkxbAxBaabAxBaabAbAxbAxbArArAAxbAx,10101321,021230000101012,1)2(.22212300001010111111020111),1-,),,()(11-1,0)1()1(0-2,)1(22121⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−==⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=−=−=−=∴==⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+−−→⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−====≠====+−===λλλλλλληηηη∵23.23.23.23.为所求矩阵。故则有令），，（的一个单位特征向量为属于特征值），，（的一个单位特征向量为属于特征值的特征值为所以的特征多项式由于解得的一个特征向量，于是为），，解：由题设，（QAQQQAAEAaaaAATTT,452,21316103162213161101214;11-1315.4,5,2),4)(5)(2(.2,1,121121043141012112111T⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=−−−+−−=−=−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛λλλλλλ