武汉大学线性代数期中考试试卷及答案

2011－2012学年第二学期遥感学院线性代数期中考试试题答案1．（10分）计算n阶行列式123123123123nnnnnxaaaaaxaaaaaxaaDaaax+++=+a。解从第2行开始，每一行乘以（-1）加到上一行，再从第1列开始，每列加到后1列，得12212310000000nniixxxDaaaaaaxa==++++å0011().nniixxa-==+å92．（10分）设均为3维列向量，记3阶矩阵，已知123,,aaa232aa+123(,,)Aaaa=1231123(,4,3Baaaaaaa=+++++).1A=，求B．解由行列式的性质，可得123123111111(,,)123,,1232149149Baaaaaaæö÷ç÷ç÷ç÷ç÷==ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷çèø=。3．（10分）若3040222207005312134D=--，求：（1）第4行元素的余子式之和；（2）第4行元素的代数余子式之和。解（1）由余子式和代数余子式关系、展开定理得：4142434441424344MMMMAAAA+++=-+-+32323230403403402222(7)(1)222700407001111111111rrr++==--=-------2374(1)2811+=⋅⋅-=--34-41424344414243441111AAAAA+++=⋅+⋅+⋅+⋅（2）逆用展开定理：AAA30402222007001111==-。4．（10分）已知都是3阶矩阵，且满足，其中是3阶单位矩阵，,AB12ABBI-=-42AI-1)AI--I（1）证明是可逆矩阵，并求(2；（2）若矩阵，求矩阵A。120120002Bæö-÷ç÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷çèø解1）由题设知(2，即)(4)8AIBII--=1(2)[(4)]8AIBII--=故可逆，且2AI-11(2)(48AIBI--=-)2）由1）知1112[(4)]8[4]8AIBIBI---=-=-，，又128[4]AIBI-=+-12201(4)1308004BI-æö-÷ç÷ç÷ç÷ç÷-=--ç÷ç÷÷ç÷ç÷-ç÷çèø，。020110002Aæö÷ç÷ç÷ç÷ç÷=--ç÷ç÷÷ç÷ç÷-ç÷çèø5．（10分）设，其中E是n阶单位矩阵，是n维非零列向量，是的转置，证明：TAExx=-xTxx（1）的充要条件是；（2）当时，A是不可逆矩阵。2AA=1Txx=1Txx=解（1）2()(2)2()(2)TTTTTTAEEEExxxxxxxxxxxxxx=--=-+=--TA0)因此2(2)(1)0TTTTTAAEExxxxxxxxxx=--=--=因为，所以故的充要条件为0x¹0Txx¹2A=1Txx=（2）方法一：当时，由，有，1Txx=TAExx=-0TAxxxxxxx=-=-=因为故有非零解，因此|A|=0,说明A不可逆0x¹0Ax=方法二：当，由，即E－A的每一列均为的解，1Txx=2()AAAEA=-=0Ax=因为说明有非零解，故秩(A)n,因此A不可逆0,TEAxx-=¹0Ax=方法三：用反证法。假设A可逆，当，有1Txx=2AA=于是，即，这与矛盾，故A时不可逆矩阵121AAAA--=AE=TAEExx=-¹6．（8分）设A和均为阶矩阵，且满足，，，证明：。Bn2AA=2BB=()rABEn+-=()()rArB=证因为，，2()AABEAABAAB+-=-=＋2()ABEBABBBAB+-=+-=由(为可逆矩阵，可得：ABE+-(())()()rAABErArAB+-==，，所以，(())()()rABEBrBrAB+-==()()rArB=7．（12分）设有线性方程组.123123123031xxxxxxxxxllllìï++=ïïïï++=íïïï++=-ïïî讨论l为何值时,方程组有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时，求出其通解.解经计算系数行列式得2(1)(2)All=-+,,ö--øcRÎ于是由克莱姆法则有如下结论：(1)当且时，方程组有唯一解；1l¹2l¹-()()3,rArB==(2)当时，，，该情形方程组无解；1l=()1rA=()2rB=(3)当时此时方程组有无限多个解。而2l=-()()2,rArB==211021101011121312130112000000001123Bæöæöæ--÷÷÷ççç÷÷÷ççç÷÷÷ççç÷÷÷ççç÷÷÷=---ççç÷÷÷ççç÷÷÷÷ç÷÷çç÷÷÷ççç÷÷÷--ççç÷÷÷çççèøèèø由此得，即，().13233312xxxxxxì=-ïïïï=-íïïï=ïî123111201xxcxæöæöæö-÷÷çç÷ç÷÷çç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷÷çç÷÷ç=+-÷çç÷÷ç÷çç÷÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷÷çç÷ç÷÷ç÷çç÷÷ççèøèøèø8．（10分）已知，112120110,102101ABabcæöæö÷÷çç÷÷çç÷÷çç÷÷çç÷÷=-=--çç÷÷çç÷÷÷ç÷ç÷÷çç÷÷çç÷÷ççèøèø（1）问为何值时，？（2）求矩阵方程A,,abc(,)()RABRA=B=X的全部解。解有解，须AXB=()()RARAB=,对矩阵(AB)作初等行变换：112120()110102101ABabcæö÷ç÷ç÷ç÷ç÷---ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷çèø112120011011000111abcæö÷ç÷ç÷ç÷ç÷-ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç--÷çèø-由此看出欲()2,RA=()RAB=2须.所以当时有解。1,1,1abc===1,1,1abc===AXB=当时，将上面最后一个矩阵进一步化为行简化阵1abc===112120101111()011011011011000000000000ABæöæ÷÷çç÷÷çç÷÷çç÷÷çç÷÷--çç÷÷çç÷÷÷÷çç÷÷çç÷÷çç÷÷ççèøèöø由101101100000æö÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷çèø得11121113111kxxkkxkæöæö-÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç=-÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷çç÷çèøèø（为任意常数）由101101110000æö÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷çèø得2122232211kxxkkxkæöæö-÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç=-÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷çç÷çèøèø22（为任意常数）由101101110000æö÷ç÷ç÷ç÷ç÷-ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷çèø得3133333311kxxkkxkæöæö-÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç=--÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷çç÷çèøèø23（为任意常数）故所求矩阵方程的通解为（kk）．1231212311111kkkXkkkkkkæö---÷ç÷ç÷ç÷ç÷=----ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷çèø323,,k为任意常数A113ABAE--=+139．（10分）设矩阵的伴随矩阵，且AB，其中E为4阶单位矩阵，求矩阵B。*1000010010100308Aéùêúêúêú=êúêúêúêú-êúëû解解法一由，知，因此有**||AAAAAE==*||||nAA-=，于是||*8||||AA==2A=在等式两边先右乘A，再左乘，得113ABABAE--==*A，*(2)6EABE-=于是*110006000010006006(2)61010606003060301BEA-éùéêúêêúêêúê=-==êúê-êúêêúêêúê--êúêëûëùúúúúúúúúû解法二||（同解1）。由，得2A=*||AAAE=*1*11000200001000200()2()21010202031300008844AAAA--1éùéùêúêúêúêúêúêúêúê====--úêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúëûëûA可见A-E为可逆矩阵，于是由，有，而1()3AEBAE--=13()BAE-=-111000100001000100()20102010330001044AE--éùéêúêêúêêúêêúê-==-êúêêúêêúêêúê--êúêëûë43ùúúúúúúúúúû因此1000200060000100020006003201020206060431030101000344Béùéùéùêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêú=êú-êúêúêúêúêúêúêúêúêú-êúêú-êúëûêúêúëûëû＝10．（10分）设为m矩阵，X为n维实向量，证明：方程组AAAn´T=XO与AO=X同解。证显然的解均是的解。A=xoAAT=xo下面证的解也为的解。事实上，设为AA的任一解，即AA，AAT=xoA=xo0xT=xoT=0xo0oo两端左乘得，即，向量的长度的平方为零，所以，于是为的解。由的任意性知AA的解均是A的解。故齐次线性方程组AA与A同解。0Tx00AATT=xx0x00()()AAT=xxT=xo0Axo0A=xT=xo0x=oAx=o=xx