笛卡尔张量简介

§A1:下标记法§A1.1:求和约定§A1.2:Kronecker符号§A1.3:置换符号§A1.4:偏导数的下标记法§A2:张量代数§A2.1:坐标系的变换关系§A2.2:矢量的变换§A2.3:张量的定义§A2.4:张量的基本计算弹性力学之A：笛卡尔张量简介n1kkkn1jjjn1iii2211xaxaxaxaxaxaSnn由于指标i,j,k与求和无关，可用任意字母代替。为简化表达式，采用如下约定：在同一项中，当某个指标出现两次就表示对该指标从1到n进行求和。这个约定称为Einstein求和约定，这种出现两次的指标称为哑指标。上面式子中的n表示空间的维数，在三维空间中总取n=3。§A1：下标记法§A1.1：求和约定iiixba是不允许的，而需要保留求和符号n1iiiixba332211iixaxaxaxa332211jjbbbb332211mmeeeecccc例如：注意：双重求和31i31jjiijxxaS可以简写为jiijxxaS该式子含有9项313321321131322322221221311321121111xxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaS三重求和kkxxxaxxxaSjiijk31i31j31kjiijk27项jijixax自由指标指标i在一项中只出现一次，称为自由指标。i在整数(1,2,…,n)中取值。故上式表示如下3个方程：3132121111xaxaxax3232221212xaxaxax3332321313xaxaxaxjijieeA3132121111eeeeAAAi为自由指标，j为哑指标表示3232221212eeeeAAA3332321313eeeeAAA注意：如不求和需特殊说明111ECR222ECR333ECRiiiiiECECR在一项中出现双重指标但不求和时，需在指标下方加划线以示区别，或用文字说明（如i不求和）。规定：这里i相当于一个自由指标，而i只是在数值上等于i，并不与i求和。mmiimmiicVbbUa例1：设(1)(2)解：由（2）nnmmcVbnnmmiicVUa上式表示3个方程，每个方程为9项之和将上式代入(2)，求ai。mmmmbVqaUp例2：设注意nnmmbVaUqpmmmmbVaUqp求pq。解：§A1.2：Kronecker符号在笛卡尔直角坐标系下，定义Kronecker符号：ji,0ji,1ji111213212223313233100010001ij其中i、j为自由指标，取1、2、3。因此，可确定一单位矩阵：ji若jijiee321,,eee是相互垂直的单位矢量，则3332211iieeeeeeee，但3332211ii而，故iiiieeji的作用：1）换指标；2）选择求和。例1：kiAAkkkkiikAAA思路：把要被替换的指标i变成哑标，哑标能用任意字母，因此可用变换后的字母k表示0ijjinnT表示为乘法的形式。例2：将jjiinnij换指标所以0jjijjinnT即0)(jjijinT利用解：§A1.3：置换符号,0,1,1kjiei,j,k,为1，2，3的偶排列i,j,k,为1，2，3的奇排列i,j,k,不是1，2，3的排列例如：1312231123eee1132213321eee0232121111eee可见：ijkjkikijjikikjkjieeeeeekjie也称为三维空间的排列符号。321,,eee若是右手卡氏直角坐标系的单位基矢量kkjijieeee则二维置换符号33jieee其中,02211ee12112ee从三维退化得到e)2,1,(A§1.4：偏导数的下标记法在弹性力学中，常常需要对位移分量、应变分量、应力分量对坐标求偏导数，可以采用偏导数的下标记法使问题描述更加简便。比如如下形式：2,,2,,2,,,,,,,.iiijijkjjkijijijkijklkklijijijkijklkkluuuuxxxxxxxxx求和约定同样适用于偏微分方程不可压缩牛顿流体的连续性方程：表示：0iixU0332211xUxUxU0zyxzUyUxU或采用偏导数的下标记法则为：i,i0U习题：写出弹性力学平衡微分方程的下标记法0xzxyxxxbzTyTxT0yzyyyxybzTyTxT0zzzyzxzbzTyTxT§A2:张量代数笛卡尔直角坐标系：旧坐标系：新旧基矢量夹角的方向余弦：321xxxO单位基矢量：},,{321eee新坐标系：单位基矢量：321xxxO},,{321eeeiiiiiiiiii||||cos(,)cos(,)eeeeeeee§A2.1坐标系的变换关系坐标系的变换关系旧新1e2e2e1e2e3e111221312213233233旧新单位基矢量的变换321331313322212312111321eeeeeeiiiiee（对i求和，i’为自由指标）11'111'221'iieeee例如：},,{},,,{321321aaaaaa设a为任意矢量，其在新、旧坐标系下的分量分别为即iiii,aaaeaeiiiiieeeaaaiiiiaaiiiiiiiieeeeeaaaaiiiiaa（对i’求和）（对i求和）§A2.2矢量的变换矢量的定义考察两个矢量A、P，在旧坐标系下A=(a1,a2,a3)，P=(x1,x2,x3)，在新坐标系下A=(a1',a2',a3')，P=(x1',x2',x3')，作它们的矢量积cos(,)kkaxAPAPAP''cos(,)kkaxAPAPAP显然，矢量积与坐标的选择无关。已知(x1,x2,x3)是矢量，而(a1,a2,a3)是与坐标有关的三个标量，它们使一次形式在坐标变换时保持不变，则(a1,a2,a3)是矢量。''kkkkaaxxkkFax张量是矢量的推广，与矢量相似，可以定义由若干个当坐标系改变时满足转换关系的分量组成的集合为张量。例如，设(a1,a2,a3)、(b1,b2,b3)是矢量，ij是与坐标系相关的9个量。若当坐标变换时，双一次形式保持不变，则称取决于下标i,j的9个量的集合ij为二阶张量。ij中的每一个被称为此张量在对应坐标系下的分量。§A2.3张量的定义ijijFab例:对于直角坐标系，有九个量jijjiijiTT][jiT321xxxO按照关系变换成中的九个量321xxxO][jiT则此九个量定义一个二阶张量。Tij为该张量在坐标系下的分量，Ti'j'为该张量在坐标系下的分量。123Oxxx321xxxO前面将张量的分量的集合称为张量，是采用的张量的分量表示法。张量的实体表示法(并矢记法)可以将张量看作一个实体，它将张量表示成各个分量与基矢量的组合。比如，二阶张量可以表示成；四阶张量可以表示成。ijijTTeeijklijklTTeeee上面两项式子中均要求基矢量ei是线性无关的，则它们的并矢eiej、eiejekel也是线性无关的，它们的并矢又称为基张量。基张量所包含的基矢量的个数就是张量的阶数。§A2.4张量的基本计算(1)张量的相等两个张量若相等，则要求两个张量对应的每一个分量都分别相等。例如：四阶张量。ijklijklTSTS(2)张量的相加两个张量相加，等于两个张量对应的每一个分量都分别相加。例如：四阶张量。ijklijklijklUTSUTS()UTSTS(3)张量与标量相乘张量与标量相乘，等于张量对应的每一个分量都分别对标量相等。例如：四阶张量。ijklijklaUaTUT(4)张量的迹ijijijijijijiitrtr()tr()TTTTTeeee(5)张量与张量并乘张量与张量并乘，等于将基张量并乘。例如：ijklijklijijklklijklijklijklijklUTSTSUTSUTSeeeeeeeeeeeeTSST注意(6)张量的点积两个张量先并乘后缩并的运算成为张量的点积。()ijknijknijklijklmnmnijklmnijklmnijkllnijknijknijkllmUTSTSTSUTSUTSeeeeeeeeeeeeeeeeeeee双点积：::()()ijijijklijklmnmnijklmnijkmlnijklklijijijklklUTSTSTSUTSUTSeeeeeeeeeeeeeeee