两个重要极限

两个重要极限Twoimportantlimits高等数学advancedmathematics知识目标1、掌握两个重要极限的公式2、掌握两个重要极限在经济方面的应用能力目标会利用两个重要极限求指定函数和经济贸易方面实际问题的极限两个重要极限(Twoimportantlimits)高等数学advancedmathematics播放案例【圆的面积】为了求圆面积，可以先作圆的内接正四边形，其面积记作A4；又作圆的内接正六边形，其面积记作A6；如此循环下去，当圆的内接正多边形的边数不断增加时，其相应的面积与圆的面积就越来越接近,当边数n无限增大时，圆的内接正多边形的面积就是圆的面积两个重要极限(Twoimportantlimits)高等数学advancedmathematics该极限问题从结构上看，应为从数学运算的角度看，就是求极限nnAlimnnRAnnn2sin2limlim2解)3(2sin22nnnRAn正n边形的面积为)22sin(lim2nnRn?xxxsinlim0（或）xxx11sinlim从类型上看，应为00两个重要极限(Twoimportantlimits)高等数学advancedmathematics-15-10-551015-0.5-0.250.250.50.751xxxfsin)(oxxxsinlim.10两个重要极限x10.50.10.01…0.8410.9590.9980.99998…xxsin=1(Twoimportantlimits)高等数学advancedmathematicsxxx22sinlim01例求解：xxx22sinlim0xxxx2cossin2lim0xxxxxcoslimsinlim001两个重要极限(Twoimportantlimits)高等数学advancedmathematics训练1:求下列函数的极限22sinlim10xxx）（1)1sin(lim21xxx）（xxx11sinlim3）（xxxsinlim4）（=1=1=1=0两个重要极限(Twoimportantlimits)高等数学advancedmathematics型；类型是00)1(1)()(sinlim)x(0xfxfxx或0)(lim)(0xfxxx或其中归纳：1sinlim0uuu(2)当u=f(x)时，1sinlim0两个重要极限(Twoimportantlimits)高等数学advancedmathematicsxxx2sinlim0例2求解：xxx2sinlim0222sinlim0xxx2.2tanlim0xxx求解.2xxxx2cos12sinlim0xxx2tanlim0例3两个重要极限(Twoimportantlimits)高等数学advancedmathematicsxxx34sinlim0(1)求解xxx34sinlim0xxx434sin4lim0xxx44sinlim340.34训练2xxx3sin2sinlim0(2)求解xxx3sin2sinlim0xxxxxxx333sin222sinlim0.323233sinlim22sinlim00xxxxxx两个重要极限(Twoimportantlimits)高等数学advancedmathematics.2sin3tanlim0xxx求解23xxxx3cos12sin3sinlim0xxx2sin3tanlim0(3)两个重要极限(Twoimportantlimits)高等数学advancedmathematics练习:xxxx2tan7sin3tanlim)1(0xxx2cot5sinlim)2(0xxxxxsinsinlim)3(0)2tan7sin2tan3tan(lim0xxxxx22723xxx2tan5sinlim025xxxxxsin1sin1lim001111两个重要极限(Twoimportantlimits)高等数学advancedmathematics例4求3)9sin(lim23xxx解：3)9sin(lim23xxx)3(9)9sin(lim223xxxx)3(lim9)9sin(lim3223xxxxx6两个重要极限(Twoimportantlimits)高等数学advancedmathematics.cos1lim20xxx求220)2(2sinlim21xxx2202sin2limxxx原式20)22sinlim(21xxx例5解.21两个重要极限(Twoimportantlimits)高等数学advancedmathematics.31sin2limxxx求xxx31sin2lim.32训练3解：323131sinlimxxx.1sinlimxxx求解：xxx1sinlimxxx11sinlim.1例6两个重要极限(Twoimportantlimits)高等数学advancedmathematics)3(2sin22nnnRAnnnASlim圆nnRn2sin2lim2解如前所述，可以通过求圆的内接正n边形的面积的极限计算圆的面积，而内接正n边形的面积为)22sin(lim2nnRnnnRn22sinlim2引例解决：求半径为R的圆的面积2R两个重要极限(Twoimportantlimits)高等数学advancedmathematics引例2【银行信贷问题】某企业从银行贷款20万美元，约定以连续复利方式计算利息，且年利率4%，若10年后一次性还本付息，试请你帮助该企业计算贷款到期时还款总额？两个重要极限(Twoimportantlimits)n分析：现有一笔贷款A0=20万元（称本金），年利率r=4%，按连续复利计息方式，银行一年应结算n次（），则每次的利率为r/n,则一年后本金和为nnrA)1(010年后的本息和为nnrA100)1(高等数学advancedmathematicsnnnnnnrA10100)05.01(lim10)1(lim?)11(limxxx提问：随着结算次数的无限增加，10年后本息和为=？两个重要极限(Twoimportantlimits)高等数学advancedmathematics2、xxx)11(lim)71828.2(e)1(x10102103104105106…2.592.712.722.722.722.71…x-10-102-103-104-105-106…2.872.732.722.722.722.71…xx)11(xx)11(=e两个重要极限(Twoimportantlimits)高等数学advancedmathematics从上表可以看出，当x无限增大时，函数变化的大致趋势。可以证明当x→∞时，的极限确实存在，其值为e=2.71828182845…，即和π一样，e也是一个无理数，它们是数学中最重要的两个常数。1727年，欧拉（L.Euler,瑞士人，1707～1783，18世纪最伟大的数学家）首先用字母e表示了这个无理数。这个无理数精确到20位小数的值为e=2.71828182845904523536…xx)11(xx)11(exxx)11(lim两个重要极限(Twoimportantlimits)高等数学advancedmathematics训练4求下列函数的极限xxx2)211(lim)1(xxx)11(lim)2(xxx10)1(lim)3(xxx210)21(lim)4(=e=e=e=eexxx)11(lim两个重要极限(Twoimportantlimits)高等数学advancedmathematics归纳：)11(lim（1）极限类型为1（2）必须是的形式，且底数中的和指数中的是“倒数关系”；)11(1（3）中间必须用“+”号连接=e两个重要极限(Twoimportantlimits)高等数学advancedmathematics.)211(limxxx例7求解xxx)211(lim212)211(limxxx21e例8求.)41(lim2xxx解xxx2)41(lim.e8xxxxx244])4(1(lim[两个重要极限(Twoimportantlimits)高等数学advancedmathematics训练5(1)求解xxx10)541(lim.54exxx10)541(limxxxxx154450)]54(1[lim23)341(lim)2(xxx求解23)341(limxxx243)341(limxxx2e两个重要极限(Twoimportantlimits)高等数学advancedmathematics案例人民医院1998年5月20日从美国进口一台彩色超声波诊断仪，贷款20万美元，以复利计算，年利率4%，2007年5月20日到期，一次还本付息，试确定贷款到期时还款总额（按连续计息）ntnntrps)1(lim解rnrnrtnpetrp)1(lim以年为单位复利基本计算公式为nnrPS)1(若把一年均分为t期计息，于是n年的本息和为ntntrps)1(则连续复利的复利公式为所以到期还款总额为67.2820904.09es两个重要极限(Twoimportantlimits)高等数学advancedmathematics两个重要极限(Twoimportantlimits)实例训练【股票筹资成本问题】：在股票市场上，经常涉及股票筹资成本问题，需要计算股利逐年增长的普通股的筹资成本。设某普通股第一年股利为D，且每年以固定比率G增长，普通股筹资额为P，筹资费用率为F，则普通股成本K可计算如下：按前面所述的资金现值计算方法知该股票筹得资金的现值为P(1-F),等于各年股利按普通股成本K贴现的现值和，即322)1()1()1()1(11KGDKGDKDFP）（高等数学advancedmathematics试利用数学方法计算股票筹资成本K解：按等比数列的求和公式知322)1()1()1()1(11KGDKGDKDFP）（KGKGKDn111)11(1(1）所以，当时n）（FPn1limGKD所以GFPDK)1(两个重要极限(Twoimportantlimits)高等数学advancedmathematics例10.)1232(limxxxxxxx)1221(lime.求极限解xxxx)1232(lim21212)1221(limxxx21212)1221()1221(limxxxx122212)1221(limxxxxx122limxxxee.两个重要极限(Twoimportantlimits)高等数学advancedmathematics另解:xxxx)1232(limxxxxx)211()231(lime.2123eexxxx)211231(limxxxxxx)211(lim)231(lim训练6求xxxx)32(lim两个重要极限(Twoimportantlimits)高等数学advancedmathematics等价无穷小替代1、若极限，称α(x）与β(x)等价，记为:α(x)~β(x)1)(