3、高屋建瓴---脚踏实地———新课程背景下高考解析几何解答题复习策略

高屋建瓴脚踏实地【摘要】《解析几何》是高中数学教学的重要内容，也是每年高考考查的重点内容之一，尤其是其解答题部分，其内容充分体现了数与形相互转化的数学思想，展示了计算方法上的特点和技巧，表现出辩证思维的丰富内涵。这部分内容的高三复习需要我们站得更高，看得更远。【关键词】针对性短平快由浅入深化整为零传授套路示范运算变式训练反思说题【正文】1、需要我们做什么解析几何解答题高考考什么呢？让我们首先来看一例：【引例】（2011浙江理21）已知抛物线1:C2x＝y，圆2:C22(4)1xy的圆心为点M。（Ⅰ）求点M到抛物线1C的准线的距离；（Ⅱ）已知点P是抛物线1C上一点（异于原点），过点P作圆2C的两条切线，交抛物线1C于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂足于AB，求直线l的方程。1.试题分析：此题背景简单、条件熟悉、应该说起点低，入口宽，主要考查直线与抛物线、直线与圆的位置关系，突出主干知识，紧扣考试说明；2.解答分析：试题对学生运用解析几何思想方法和运算分析能力要求较高。（1）选择参数；题中没有给出具体的参数，因此选择合适的参数就成了关键问题，它决定了解题的方向和计算的繁简程度。从条件“圆的切线”我们会选择斜率k为参数，同时又考虑到PA,PB的对称性，选择设P点坐标，这里充分考查了学生对具体问题分析的理性思维能力和抽象概括、推理论证能力。（2）解题技巧：本题对方程的考查要求比较高，A,B两点设而不求，利用韦达定理用P点坐标表示，利用相切条件得到PA,PB的斜率也用韦达定理整体代换。这种方法在平时的训练中应该是常见的。（3）运算要求：对运算能力的考查是解析几何的一个重要目标，这也恰恰是学生的薄弱点，往往到最后“会而不对”、“对而不全”。而这些“运算与转化”的能力正是学生在面对圆锥曲线解答题时最大的困难，介于此，我们在高三复习中能做些什么呢？2、我们可以做什么2.1把握方向，针对性复习所谓万变不离其宗，首先，解读《大纲》和《考试说明》，明确考查的知识及能力要求。其次，重视教材的基础和示范作用，教材是我们的纲领性文件，高考中很多综合题的题根往往来自教材,所以要贯彻“源于课本,高于课本”的原则。2.2由浅入深，阶段性复习要对整个高三解析几何的复习有一个统筹的规划，制定阶段性的复习计划及各阶段期望达到的成果。选择阶段性地配备例题，特别是复习刚开始时要注意夯实基础知识，强化双基训练，帮助学生构建好知识网络，这样更有利于学生后续的能力提高与发展。2.3化整为零，持续性复习短周期、平难度、快重复、才能克服遗忘，层层递进提高解决问题能力。由于圆锥曲线解答题综合性很强，对计算要求又很高，所以很难在有限的一个时段把学生的能力拔高到一定高度，所以要选择分散难度。2.4传授套路，程序性复习复习中要教给学生一些常见题型的套路，帮助学生总结积累经验，学会判断与选择相应的方法。圆锥曲线解答题热点考查内容有：最值（范围）问题、对称问题、定点问题、定值问题、存在性问题等等。具体到解题中，如：①最值（范围）问题：一般引入一个恰当的参数（很多时候选择直线斜率k）表示相应量，根据条件建立一个函数或者方程或者不等式，“求范围，找不等式”，“最值问题，函数思想”。【例】（2012年浙江理21）如图，椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为12，其左焦点到点(2,1)P的距离为10，不过原点．．．．O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求ABP面积取最大值时直线l的方程．②对称问题：关键抓住三个要素，一是对称点的连线与对称轴垂直，二是对称点的中点落在对称轴上，三是对称点所在的直线与曲线相交于不同的两点0（或者中点在曲线内部），具体方法上可以采用设直线或者点差法求解；【例】（2013浙江省样卷理21）如图，F1，F2是离心率为22的椭圆C：22221xyab(a＞b＞0)的左、右焦点，直线l：x＝－12将线段F1F2分成两段，其长度之比为1:3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上．(第21题图)OBAxyx＝－21MF1F2PQ(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)求22FPFQ的取值范围．③弦分点问题：“化斜为直”，转化为横坐标或纵坐标之比，结合韦达定理解决；【例】（2010年辽宁理20）设椭圆C：22221(0)xyabab的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,2AFFB.(I)求椭圆C的离心率；(II)如果|AB|=154，求椭圆C的方程.④定点问题：解决这类问题时,要善于在动点的“变”中寻求定点的“不变”性,解答思路有两种:一种思路是选定一个恰当的参数，表示所求定点关系需要的表达式，一般为直线系或曲线系，与参数无关，对应系数为零，从而确定定点坐标。另一种思路是用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值,揭开神秘的面纱,这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题。【例】（2012年福建理19）如图，椭圆)0(1:2222babyaxE的左焦点为1F，右焦点为2F，离心率21e。过1F的直线交椭圆于BA,两点，且2ABF周长为8。（Ⅰ）求椭圆E的方程。（Ⅱ）设动直线mkxyl:与椭圆E有且只有一个公共点P且与直线4x相较于点Q。试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。⑤定值问题：引入参数，用同一个参数表示相应量即可；当然上面定点问题中的特殊到一般的方法也是适用的。【例】（2011年四川理21）椭圆有两顶点(1,0)(1,0)AB、，过其焦点(0,1)F的直线l与椭圆交与CD、两点，并与x轴交于点P。直线AC与直线BD交于点Q。（Ⅰ）当322CD时，求直线l的方程；（Ⅱ）当点P异于AB、两点时，求证：QOPO为定值。_x_l_Q_O_F_A_B_C_D⑥存在性问题：先假设所需研究对象存在或结论成立，在此前提下进行运算或逻辑推理，若推出矛盾，则假设不成立，从而给出否定结论，否则给出肯定证明。（举例可同④）2.5示范运算，变式性复习新课标虽然不提倡繁杂的计算，但运算能力、算法算理的考查也是考查目标之一，所以我们应当对学生进行引导。学生的运算能力不强主要表现在对含字母的式子运算常出错，不敢运算，没有好的运算思路。因此一是教师在课堂要示范如何处理字母关系及运算，因为学生往往是在观察教师操作的过程中学会的。二是在学生理解算理的基础上进行同类型的变式训练。做到解一道题目、通一类题型，熟一类运算，提高对一类相关问题的数据处理能力。【例】（2011年江苏高考理科18题）如图，在平面直角坐标系xOy中，,MN分别是椭圆12422yx的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于,PA两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B．设直线PA的斜率为k．（1）当直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当2k时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意0k，求证：PAPB．评析：这是一题源于课本例题的“有心圆锥曲线的性质”为背景的综合题的考察，我在课堂讲评之后，作以下变式，留作学生课后作业训练：变式1（改变文字参数，一般化处理）：已知椭圆22221xyab（ab0），过原点的直线（斜率大于0）交椭圆于P,A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长交椭圆于B，则直线PA与直线PB的斜率之积为定值；变式2（改变条件结构，可比性替换）：推导上述有心圆锥曲线的性质，即：椭圆22221xyab（ab0）上任意一点P与过中心的弦AB的两端点连线PA,PB与坐标轴不平行，则直线PA,PB的斜率之积为定值22ba；同理，双曲线中结论为22ba。而此性质是圆的性质——“直径所对的圆周角为直角”在椭圆双曲线中的推广。变式3（改变提问方式，反方向探索）：已知椭圆E：22221xyab（ab0），过原点的直线交椭圆于P,A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，试问是否存在这样的椭圆E，使得PAPB?如果存在，求E的离心率，如果不存在，说明理由。xyBPCOAMN2.6反思说题，自主性复习说题是一种很好的思维训练，可使学生注重方法的总结、提炼，教学中提倡学生反思是学习中至关重要的一个环节。（1）说知识点：说考察的知识点及隐含条件的挖掘，已知与未知间关系的发现；（2）说方法：把审题、分析、解答、回顾等环节简明扼要地说出来；（3）说得失：说解题中用到的思想方法，说解法的优化及其它解法。【结束语】总之，对于解析几何大题复习既要站在系统的角度进行教学，又要扎扎实实做好学生的巩固训练。即：“高屋建瓴地教，脚踏实地地学”！【参考文献】[1]杨威，出于平凡超乎自然——评2011年高考数学浙江卷(理)第21题[J].教学月刊（中学版），2012（2）[2]孙承辉，数学题“推陈出新”的几种策略[J].中学数学教学参考，2012(4)[3]周远方，解法、背景、引申[J].数学通讯，2011(9)[4]王连坝.5年高考3年模拟——高考理数［M］.首都师范大学出版社，2012[5]高中数学教材（人教社A版）选修2-1，人民教育出版社，2006.12第二版