椭圆的标准方程及其几何性质

椭圆的标准方程及其几何性质1.椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21FF、的距离之和为常数|)|2(222FFaa的动点P的轨迹叫椭圆,其中两个定点21FF、叫椭圆的焦点.当21212FFaPFPF时,P的轨迹为椭圆;;当21212FFaPFPF时,P的轨迹不存在;当21212FFaPFPF时,P的轨迹为以21FF、为端点的线段（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F与定直线l(定点F不在定直线l上)的距离之比是常数e(10e)的点的轨迹为椭圆（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.2.椭圆的方程与几何性质:标准方程)0(12222babyax)0(12222babxay性质参数关系222cba焦点)0,(),0,(cc),0(),,0(cc焦距c2范围byax||,||bxay||,||顶点),0(),,0(),0,(),0,(bbaa)0,(),0,(),,0(),,0(bbaa对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率)1,0(ace准线cax2cay23.点),(00yxP与椭圆)0(12222babyax的位置关系:当12222byax时,点P在椭圆外;当12222byax时,点P在椭圆内;当12222byax时,点P在椭圆上;4.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交0;直线与椭圆相切0;直线与椭圆相离0例题分析：题1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23,25）奎屯王新敞新疆(3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).(4)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26.(5)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为12222byax)0(ba9454,582,10222222cabcaca所以所求椭圆标准方程为192522yx奎屯王新敞新疆⑵因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为12222bxay)0(ba由椭圆的定义知，22)225()23(2a＋22)225()23(1021102310210a又2c6410222cab所以所求标准方程为161022xy奎屯王新敞新疆另法：∵42222acab∴可设所求方程142222axay，后将点（23,25）的坐标代入可求出a，从而求出椭圆方程奎屯王新敞新疆(3)∵椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为：)0(12222babyax∵100)35(0)35(222a，2c=6.∴3,5ca∴163522222cab∴所求椭圆的方程为：1162522yx.(4)∵椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为)0(12222babxay.∴.144222cab∴所求椭圆方程为：114416922xy（5）∵椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为：)0(12222babxay∵Ｐ（０，－１０）在椭圆上，∴a＝１０.又∵P到它较近的一焦点的距离等于2，∴－c－（－１０）＝２，故c=8.∴36222cab.∴所求椭圆的标准方程是13610022xy.题2。已知B，C是两个定点，｜BC｜＝6，且ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程奎屯王新敞新疆解：以BC所在直线为x轴，BC中垂线为y轴建立直角坐标系，设顶点),(yxA，根据已知条件得|AB|+|AC|=10奎屯王新敞新疆再根据椭圆定义得4,3,5bca奎屯王新敞新疆所以顶点A的轨迹方程为1162522yx（y≠0）（特别强调检验)ACBxOy因为A为△ABC的顶点，故点A不在x轴上，所以方程中要注明y≠0的条件奎屯王新敞新疆题3。在△ABC中，BC=24，AC、AB的两条中线之和为39,求△ABC的重心轨迹方程.分析：以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，M为重心，则|MB|+|MC|=32×39=26.根据椭圆定义可知，点M的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，故所求椭圆方程为12516922yx(y≠0)奎屯王新敞新疆题4。已知x轴上的一定点A（1,0），Q为椭圆1422yx上的动点，求AQ中点M的轨迹方程奎屯王新敞新疆解：设动点M的坐标为),(yx，则Q的坐标为)2,12(yx奎屯王新敞新疆因为点Q为椭圆1422yx上的点，所以有1)2(4)12(22yx，即14)21(22yx所以点M的轨迹方程是14)21(22yx奎屯王新敞新疆题5。长度为2的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，点M分AB的比为32，求点M的轨迹方程奎屯王新敞新疆解：设动点M的坐标为),(yx，则A的坐标为)0,35(x奎屯王新敞新疆B的坐标为)25,0(y奎屯王新敞新疆因为2||AB，所以有4)25()35(22yx，即442592522yx所以点M的轨迹方程是442592522yx奎屯王新敞新疆题6。已知定圆05562xyx，动圆M和已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M的轨迹及其方程奎屯王新敞新疆分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值奎屯王新敞新疆根据图形，用数学符号表示此结论：MPMQ8奎屯王新敞新疆上式可以变形为8MPMQ，又因为86PQ，所以圆心M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆奎屯王新敞新疆FEAMCBxOyMAQ2-2xOyMABxOyr＝8MPQxOy解已知圆可化为：64322yx圆心Q(3，0)，8r，所以P在定圆内奎屯王新敞新疆设动圆圆心为),(yxM，则MP为半径奎屯王新敞新疆又圆M和圆Q内切，所以MPMQ8，即8MPMQ，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以82a，72b，故动圆圆心M的轨迹方程是：171622yx奎屯王新敞新疆题7。△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，-6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是-94，求顶点A的轨迹方程.选题意图：巩固求曲线方程的一般方法，建立借助方程对应曲线后舍点的解题意思，训练根据条件对一些点进行取舍.解：设顶点A的坐标为),(yx.依题意得9466xyxy，∴顶点A的轨迹方程为)6(1368122yyx.说明：方程1368122yx对应的椭圆与y轴有两个交点，而此两交点为（０，－６）与(0，6)应舍去.题8．P为椭圆192522yx上的点，且P与21,FF的连线互相垂直，求P奎屯王新敞新疆解：由题意，得20)545(x20)545(x＝641625720x，16812yP的坐标为)49,475(，)49,475(，)49,475(，)49,475(奎屯王新敞新疆题9．椭圆192522yx上不同三点),(),59,4(),,(2211yxCByxA与焦点F(4,0)的距离成等差数列，求证821xx奎屯王新敞新疆证明：由题意，得)545(1x)545(2x＝2)4545(821xx题10．设P是以0为中心的椭圆上任意一点，2F为右F2F1PO1A2A1xOy焦点，求证：以线段PF2为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切奎屯王新敞新疆证明：设椭圆方程为12222byax,(0ba)，焦半径PF2是圆1O的直径，则由11222222OOPFPFaPFa知，两圆半径之差等于圆心距，所以，以线段PF2为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切奎屯王新敞新疆题11。已知椭圆的焦点是)0,1(),0,1(21FF，Ｐ为椭圆上一点，且｜21FF｜是｜1PF｜和｜2PF｜的等差中项.(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且∠21FPF＝120°，求21tanPFF.选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题.解：(1)由题设｜1PF｜＋｜2PF｜＝２｜21FF｜＝4∴42a，2c=2，∴ｂ＝3∴椭圆的方程为13422yx.（２）设∠21PFF，则∠12FPF＝60°－θ由正弦定理得：)60sin(120sinsin1221PFPFFF由等比定理得：)60sin(120sinsin2121PFPFFF)60sin(234sin2PF2F1xOy整理得：)cos1(3sin553cos1sin故232tan题12.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆相交于点P和点Q，且OP⊥OQ，|PQ|=210，求椭圆方程.解：设椭圆方程为mx2+ny2=1（m0，n0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），解方程组y=x+1，mx2+ny2=1.消去y，整理得（m+n）x2+2nx+n－1=0.Δ=4n2－4（m+n）（n－1）0，即m+n－mn0，OP⊥OQx1x2+y1y2=0，即x1x2+（x1+1）（x2+1）=0，2x1x2+（x1+x2）+1=0，∴nmn)1(2－nmn2+1=0.m+n=2.①由弦长公式得2·2)()(4nmmnnm=（210）2，将m+n=2代入，得m·n=43.②m=21，m=23，n=23n=21.∴椭圆方程为22x+23y2=1或23x2+22y=1..题13.直线l过点M（1，1），与椭圆42x+32y=1相交于A、B两点，若AB的中点为M，试求直线l的方程.解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则421x+321y=1，①422x+322y=1.②①－②，得4))((2121xxxx+3))((2121yyyy=0.∴2121xxyy=－43·2121yyxx.又∵M为AB中点，∴x1+x2=2，y1+y2=2.解①②得或∴直线l的斜率为－43.∴直线l的方程为y－1=－43（x－1），即3x+4y－7=0.题14。已知椭圆C的中心为坐标原点O,一个长轴端点为0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且PBAP3．（1）求椭圆方程；（2）求m的取值范围．【解题思路】通过PBAP3，沟通A、B两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等式[解析]（1）由题意可知椭圆C为焦点在y轴上的椭圆，可设2222:1(0)yxCabab由条件知1a且bc，又有222abc，解得21,2abc故椭圆C的离心率为22cea，其标准方程为：12122xy（2）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）y＝kx＋m2x2＋y2＝1得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）0（*）x1＋x2＝－2kmk2＋2，x1x2＝m2－1k2＋2∵AP＝3PB∴－x1＝3x2∴x1＋x2＝－2x2x1x2＝－3x22消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（－2kmk2＋2）2＋4m2－1k2＋2＝0整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0m2＝14时，上式不成立；m2≠14时，k2＝2－2m24m2－1，因λ＝3∴k≠0∴k2＝2－2m24m2－10，∴－1m－12或12m1容易验证k22m2－2成立，所以（*）成立即所求m的取值范围为（－1，－12）∪（12，1）题15。设x、y∈R，i、j为