空间的角测试题全解全析

空间的角测试题江苏省苏州工业园区第二高级中学（215121）耿道永电话：139140761361.（原创）关于经度、纬度，下列说法正确的是（）。A.二者的实质都是异面直线所成的角B.二者的实质都是二面角C.经度是二面角，纬度是直线与平面所成的角D.经度是异面直线所成的角，纬度是二面角1.C.【解析】经度是经线所在的半平面所成的角，纬度是半径和赤道面所成的角。2.（原创）如右图，在正方体1111DCBAABCD中，E为棱1DD中点、F为棱BC中点，G为棱11BA上任意一点，则直线AE与直线FG所成的角为（）（A）30（B）90（C）45（D）602．B【解析】如图,取G的极端位置1B,问题转化为求AE与1FB的位置关系,取AD的中点M,连接MF、MA1可证FMBAAE11面1FBAE可见AE与FG所成的角为90。3.（原创）如图正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则平面D1AC与平面A1B1C1D1所成的锐二面角的正切值为()Ａ．24Ｂ．22Ｃ．2Ｄ．223.D【解析】如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面D1AC与平面A1B1C1D1所成的锐二面角等于平面D1AC与平面ABCD所成的锐二面角，连接AC,BD相交于点O，连D1O，∵D1D⊥平面ABCD，AC⊥BD，∴D1O⊥AC，所以∠D1OD就是平面D1AC与平面ABCD所成的锐二面角的平面角。设AA1AB＝a,则DO=22a，AA1＝2a，所以tan∠D1OD＝22。4.正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为棱AB的中点，则直线C1E与平面ACC1A1所成角的正切值为()OA1D1C1B1DCBAA．62B．42C．1717D．174.Ｃ.解析】取AD中点F，交AC于点M，连接MC，则EF⊥AC，EF⊥A1A，得EF⊥面ACC1A1.∴∠EC1M就是直线C1E与平面ACC1A1所成角，设正方体棱长为4，则EM=2sin45°=2，MC=AC-AM=23224，∴MC1=34212CCMC，tan∠EC1M=17173421MCEM，故应选C。备选题：1.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，给出下列四个结论：①BDAC；②AB与CD所成角为o60；③ACD为正三角形；④AB与平面BCD所成角为o60。其中正确的结论是（）A.①②③B.①②③④C.②③D.①③2.A.解法1建立空间直角坐标系，通过计算可得正确的结论为①②③。法2，如右图，将空间四边形放置到正方体中，由三垂线定理知①正确；由异面直线所成角知，AB与CD所成角即直线EF与FA所成角，因EFB为正三角形，故EF与FA所成角为o60，所以②正确；设2BD，则2CDAD，211AC，故③正确；AB与平面BCD所成角为o45，故④错。二．填空题5.异面直线所成的角的范围是，直线和平面所成的角的范围是。5.0].22，，[0,6.如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝411BA，则BE1与DF1所成角的余弦值是。6.1715。【解析】过A点在平面ABB1A1内作AF，使A1F＝D1F1，则ADF1F是平行四边形，∴FA∥DF1，再过E1在平面ABB1A1内作E1E∥FA，则∠BE1E即是BE1与DF1所成的角，由已知BE1＝DF1＝411BA，ABCD—A1B1C1D1是正方体，∴E1E＝417A1B1，ABCDEF又DF1＝AF＝E1E，DF1＝BE1.∴E1E＝417A1B1，EB＝21A1B1在ΔBE1E中，cos∠BE1E＝11221212BEEEBEBEEE＝1715.7．如右图，直角三角形ABC的斜边AB在平面内，AC和BC与所成角分别为30、45，CD是斜边AB上的高，则CD与平面所成的角的大小为____________________.7．60.【解析】作CO于点O，连AO、DO、BO，则4530CBOCAO、，CDO为所求，令aCO，分别在直角三角形CABCBOCAO、、中算出CDABBCAC、、、，在CODRt中算出60CDO．备选题2：一张正方形的纸ABCD，BD是对角线，过AB、CD的中点E、F的线段交BD于O，以EF为棱，将正方形的纸折成直二面角，则∠BOD等于。解如图，设正方形边长为a，由O为正方形中心，则BO＝22a,DO＝22a，连AB，因为DA⊥AE，DA⊥BE，故DA⊥面AEB，所以DA⊥AB，故ΔDAB为直角三角形，BD＝22ABAD＝222BEAEAD＝44222aaa=26a.又在ΔBOD中，由余弦定理可得cos∠BOD＝DOBOBDDOBO2222＝aaaaa22222464242222＝-21，所以∠BOD＝120°三．解答题8.已知正三棱柱ABC—111CBA的底面边长为８，侧棱长为６，D为AC中点，（１）求证：AB1∥平面C1DB；（２）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值.8.(1)解析：连Ｂ１Ｃ交BC１于E，连结ED，则AB１∥DE，由线面平行定理得AB１∥平面BDC１；（２）∵AB１∥ＤＥ，∴DE与BC１所成锐角就是异面直线AB１与BC１所成的角，又BD⊥DC，在Rt△BDC１中，易知BE＝21BC１＝５，DE＝５，BD＝34，在△BDE中，cos∠BED＝251，∴异面直线AB１与BC１所成角的余弦值为2519．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AB的中点.(1)求直线B1C与DE所成角的余弦值；(2)求证：平面EB1D⊥平面B1CD；(3)求二面角E—B1C—D的余弦值.9．解（1）取A1D，则A1D//B1C知，B1C与DE所成角即为A1D与DE所成角，连结A1E.由正方体ABCD—A1B1C1D1，可设其棱长为a，分则3.5102cos,25,2121221111DEDAEADEDADEAaDEEAaDA（2）取B1C的中点F，B1D的中点G，连结BF，EG，GF..,,.,1111111CDBBFCCBCDCBBFBFDCBBCCBFBBCCCD平面又平面且平面∵GFCD21，BE21CD，∴BEGF，∴四边形BFGE是平行四边形，∴BF//GE..,.1111CDBDEBDEBGECDBGE平面平面平面平面（3）连结EF.分的余弦值为二面角中则在设正方体的棱长为的平面角是二面角平面又13.33.33cos,23,21,,..,.,//,111111DCBEEFGFEFGaEFaGFEFGaDCBEEFGCBEFCDBEGCBGFCDGFCBCD解法2：如图建立空间直角坐标系10.已知如图(1)，正三角形ABC的边长为2a,CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边上的点，且满足CECFkCACB，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如图（2）.(Ⅰ)试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(Ⅱ)求二面角B-AC-D的大小；(Ⅲ)若异面直线AB与DE所成角的余弦值为24，求k的值.图（1）图（2）10．解：(Ⅰ)AB∥平面DEF.在△ABC中，∵E、F分别是AC、BC上的点，且满足CECFkCACB，∴AB∥EF.图（2）∵AB平面DEF，EF平面DEF，∴AB∥平面DEF.(Ⅱ)过D点作DG⊥AC于G，连结BG，∵AD⊥CD,BD⊥CD,∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角.∴∠ADB=90,即BD⊥AD.∴BD⊥平面ADC.∴BD⊥AC.∴AC⊥平面BGD.∴BG⊥AC.∴∠BGD是二面角B-AC-D的平面角.在ADC中，AD=a,DC=3a,AC=2a,∴23322ADDCaaDGACa.在Rt△BDG中，23tan3BDBGDDG.∴23arctan3BGD.FEDCBAFEDCBAFEDCBAGABCDEFFEDCBAGFDECBA即二面角B-AC-D的大小为23arctan3.(Ⅲ)∵AB∥EF,∴∠DEF(或其补角)是异面直线AB与DE所成的角.…9分∵2ABa，∴2EFak.又DC=3a,2CEkCAak，∴222cosDFDEDCCEDCCEACD22234232cos30aakaak22222346346.aakakakk∴2222cos224DEEFDFEFDEFDEEFDE.∴2222346akakk.解得12k.备选题3：已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=2，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x，G是BC的中点。沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图).(1)当x=2时，求证：BD⊥EG；(2)若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值；(3)当f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值.解:（1）（法一）∵平面AEFD平面EBCF,AE⊥EF,∴AE⊥面平面EBCF,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz。则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0）BD（－2，2，2），EG（2，2，0）FEDCBAxGFDECBAyzBDEG（－2，2，2）（2，2，0）＝0，∴BDEG（法二）作DH⊥EF于H，连BH，GH，由平面AEFD平面EBCF知：DH⊥平面EBCF，而EG平面EBCF，故EG⊥DH。又四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH，BHDH＝H，故EG⊥平面DBH，而BD平面DBH，∴EG⊥BD。（或者直接利用三垂线定理得出结果）（2）∵AD∥面BFC，所以()fxVA-BFC＝13BFCsAE＝13124(4-x)x2288(2)333x即2x时()fx有最大值为83。（3）（法一）设平面DBF的法向量为1(,,)nxyz，∵AE=2,B（2，0，0），D（0，2，2），F（0，3，0）,∴(2,3,0),BFBD（－2，2，2）,则1100nBDnBF，即(,,)(2,2,2)0(,,)(2,3,0)0xyzxyz，2220230xyzxy取x＝3，则y＝2，z＝1，∴1(3,2,1)n面BCF的一个法向量为2(0,0,1)n则cos12,nn=12121414||||nnnn由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为－1414（法二）作DH⊥EF于H，作HM⊥BF，连DM。由三垂线定理知BF⊥DM，∴∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角。由△HMF∽△EBF，知HMHF＝BEBF，而HF=1，BE=2，22BF＝BE＋EF＝13，∴HM＝213。又DH＝2，∴在Rt△HMD中，tan∠DMH=-DH＝13HM，GFDECBAHH_EMFDBACG因∠DMH为锐角，∴cos∠DMH＝1414，而∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角，故二面角D-BF-C的余弦值为－1414。