2020学年新教材高中数学-第六章-平面向量及其应用-6.2.4-向量的数量积课件-新人教A版必修第

知识点一向量的数量积定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量________叫作a与b的数量积，记作____，即a·b＝________，其中θ是a与b的夹角．零向量与任一向量的数量积为____.几何意义：|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的____．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的____|a||b|cosθa·b|a||b|cosθ0投影乘积性质：(1)a⊥b⇔________；(2)当a与b同向时，a·b＝____；当a与b反向时，a·b＝____；(3)a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2；(4)cosθ＝________；(5)|a·b|≤|a||b|a·b＝0|a||b|－|a||b|a·b|a|·|b|运算律：交换律：a·b＝____结合律：(λa)·b＝____＝____分配律：(a＋b)·c＝________b·aλ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c状元随笔关于向量数量积应注意的问题(1)若向量a→与b→的夹角为θ，θ＝0时，a→与b→同向；θ＝π时，a→与b→反向；θ＝π2时，a→⊥b→.(2)求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，需平移．(3)向量的数量积结果是一个数量，符号由cosθ的符号所决定，而向量的加减法和实数与向量的积的结果仍是向量．(4)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．知识点二关于两向量的夹角(1)两向量夹角的概念：已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则________＝θ，叫作向量a与b的夹角．①范围：向量a与b的夹角的范围是________．②当θ＝0°时，a与b____．③当θ＝180°时，a与b____．(2)垂直：如果a与b的夹角是____，我们说a与b垂直，记作________.∠AOB[0°，180°]同向反向90°a⊥b状元随笔两向量夹角概念的正确理解(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直．(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量CA→与向量AB→的夹角，∠BAD才是向量CA→与向量AB→的夹角．[教材解难]教材P21思考设a，b，c是向量，(a·b)c＝a(b·c)一定成立吗？为什么？提示：对于实数a，b，c，有(a·b)c＝a(b·c)．但对于向量a，b，c，(a·b)c＝a(b·c)未必成立．这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)未必成立．[基础自测]1．已知单位向量a，b的夹角为60°，则a·b＝()A.12B.32C．1D．－12解析：由向量的数量积公式a·b＝|a||b|cosθ＝1×1×12＝12.答案：A2．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝()A.7B.10C.13D．4解析：|a＋3b|2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6×cos60°＋9＝13，所以|a＋3b|＝13.答案：C3．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中真命题是()A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c.答案：B题型一向量数量积的计算及其几何意义[经典例题]例1(1)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF→·BC→的值为()A.－58B.18C.14D.118(2)已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，则a在b方向上的投影为________，b在a方向上的投影为________．B－125－4【解析】(1)设BA→＝a，BC→＝b，则a·b＝12，|a|＝|b|＝1.DE→＝12AC→＝12(b－a)，DF→＝32DE→＝34(b－a)，AF→＝AD→＋DF→＝－12a＋34(b－a)＝－54a＋34b，AF→·BC→＝－54a·b＋34b2＝－58＋34＝18.(2)设a与b的夹角为θ，则有a·b＝|a|·|b|cosθ＝－12，所以向量a在向量b方向上的投影为|a|·cosθ＝a·b|b|＝－125＝－125；向量b在向量a方向上的投影为|b|·cosθ＝a·b|a|＝－123＝－4.【答案】(1)B(2)－125－4(1)先求AF→，再利用向量的数量积定义计算．(2)向量a→在向量b→方向上的投影为|a→|·cosθ＝a→·b→|b→|，向量b→在向量a→方向上的投影为|b→|·cosθ＝a→·b→|a→|.方法归纳向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．跟踪训练1本例(1)中，若DE的中点为G，求AG→·BC→.解析：AG→＝AD→＋DG→＝12AB→＋14AC→＝12AB→＋14(AB→＋BC→)＝34AB→＋14BC→，所以AG→·BC→＝34AB→·BC→＋14BC→2＝34×1×1×cos120°＋14×12＝－18.由已知先求AG→，再利用公式求AG→·BC→.题型二向量模的有关计算[经典例题]例2(1)已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝()A.3B．23C．4D．12(2)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝32，a与b的夹角为60°，则|b|＝()A.13B.12C.15D.14【解析】(1)|a＋2b|＝a＋2b2＝a2＋4a·b＋4b2＝|a|2＋4|a||b|cos60°＋4|b|2＝4＋4×2×1×12＋4＝23.(2)由题意得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos60°＝34，即1＋|b|2－|b|＝34，解得|b|＝12.【答案】(1)B(2)B求向量的模，先平方，利用公式求，再开方．方法归纳求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．跟踪训练2(1)设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，|a|＝1，则|b|＝________；(2)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．解析：(1)因为a＋b＋c＝0，所以c＝－(a＋b)．因为(a－b)⊥c，所以c·(a－b)＝0，所以－(a＋b)·(a－b)＝0，所以a2－b2＝0，所以|b|＝|a|＝1.(2)因为α⊥(α－2β)，所以α·(α－2β)＝|α|2－2α·β＝0，又|α|＝1，所以α·β＝12，所以|2α＋β|＝4|α|2＋4α·β＋|β|2＝4＋2＋4＝10.答案：(1)1(2)10将所给向量式两边平方，然后利用向量数量积的运算律及向量数量积的定义求解．题型三向量的夹角与垂直[教材P18例10、P21例13]例3(1)设|a|＝12，|b|＝9，a·b＝－542，求a与b的夹角θ.(2)已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线．当k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直？【解析】(1)由a·b＝|a||b|cosθ，得cosθ＝a·b|a||b|＝－54212×9＝－22.因为θ∈[0，π]，所以θ＝3π4.(2)a＋kb与a－kb互相垂直的充要条件是(a＋kb)·(a－kb)＝0，即a2－k2b2＝0.因为a2＝32＝9，b2＝42＝16，所以9－16k2＝0.解得k＝±34.也就是说，当k＝±34时，a＋kb与a－kb互相垂直．教材反思1．求向量夹角的基本步骤及注意事项(1)步骤：(2)注意：在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cosθ的值．2．向量垂直问题的处理思路解决与垂直相关题目的依据是a⊥b⇔a·b＝0，利用数量积的运算律代入，结合与向量的模、夹角相关的知识解题．跟踪训练3(1)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________；(2)已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，(a＋2b)⊥(3a－b)，①求向量a与b夹角的大小．②求|a－2b|的值．解析：(1)设a与b的夹角为θ，依题意有：(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cosθ＝－6，所以cosθ＝12，因为0≤θ≤π，故θ＝π3.(2)①设a与b的夹角为θ，由已知得(a＋2b)·(3a－b)＝3a2＋5a·b－2b2＝3＋10cosθ－8＝0，所以cosθ＝12，又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°，即a与b的夹角为60°.②因为|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝1－4＋16＝13，所以|a－2b|＝13.答案：(1)π3(2)见解析将等式(a→＋2b→)·(a→－b→)＝－6化简，求得夹角．利用向量垂直的性质：a→⊥b→⇔a→·b→＝0求解．