矩阵求逆方法大全-1

广西民族学院计算机与信息科学学院2003年12月29求逆矩阵的若干方法和举例苏红杏广西民院计信学院00数本（二）班[摘要]本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面的读者参考。[关键词]逆矩阵初等矩阵伴随矩阵对角矩阵矩阵分块多项式等引言在我们学习《高等代数》时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。但是，在研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。为此，我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。定义:n阶矩阵A为可逆，如果存在n阶矩阵B，使得EBAAB，这里E是n阶单位矩阵，此时，B就称为A的逆矩阵，记为1A，即：1AB方法一.初等变换法（加边法）我们知道，n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积A=mQQQ21，从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。即，必有一系列初等矩阵mQQQ21使EAQQQmm11（1）则1A=EAQQQmm11（2）把A，E这两个n阶矩阵凑在一起，做成一个n*2n阶矩阵（A，E），按矩阵的分块乘法，（1）（2）可以合并写成11QQQmm（A，E）=（11QQQmm，A，EQQQmm11）=（E，1A）（3）这样就可以求出矩阵A的逆矩阵1A。例1.设A=012411210求1A。解：由（3）式初等行变换逐步得到：10001201041100121010001200121001041112320012401011200121123100124010112001广西民族学院计算机与信息科学学院2003年12月30于是1A=21123124112说明：此方法适用于求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，比较简便，特别是当阶数较高时，使用初等变换法的优点更明显。同样使用初等列变换类似行变换，此略，注意在使用此方法求逆矩阵是，一般做初等行变换，避免做初等列变换。方法二.伴随矩阵法定理：矩阵A是可逆的充分必要条件是A非退化，而1A=d1*A，（d=A0）(4)我们用（4）式来求一个矩阵的逆矩阵。例2.求矩阵A的逆矩阵1A：已知A=343122321解：d=A=9+6+24-18-12-4=2011A=212A=-313A=221A=622A=-623A=231A=-432A=533A=-2用伴随矩阵法，得1A=d1*A=11125323231说明：虽然这个公式对任何可逆矩阵都适用，但由于计算量大，一般只用于较低阶的矩阵的求逆比如二阶三阶矩阵的逆，尤以对二阶，此方法更方便。方法三.矩阵分块求逆法在进行高阶矩阵运算时，经常将高阶矩阵按某种规则分成若干块，每一小块是一小矩阵，这样一方面对小矩阵进行运算，一方面每一小矩阵又可作为一个元素按运算规则来进行运算，求出矩阵的逆矩阵。引出公式：设T的分块矩阵为：T=DCBA,其中T为可逆矩阵，则1T=1111111111111)()()()(BCADCABCADBCADBACABCADBAA,（5）说明：关于这个公式的推倒从略。例3.求下列矩阵的逆矩阵，已知W=5243210040103001解：将矩阵W分成四块，设广西民族学院计算机与信息科学学院2003年12月31A=100010001,B=243,C=243,D=5,于是),24()(1BCAD即11)(BCAD=)241(BA1=B=243,1CA=C=243，利用公式（5），得1W=12432208648812361215241方法四.因式分解法若0kA，即（E-A）可逆，且有1)(AE=12KAAAE，（6）我们通过上式（6），求出1A例4.求下面矩阵的逆矩阵，已知：A=1000011000211003211043211,解：因为存在一个K0，使KAE)(=0，把这里的（E-A）替换（6）式中的“A”，得1A=12)()()(KAEAEAEE通过计算得4)(AE=41000011000211003211043211=0，即K=4所以1A=32)()()(AEAEAEE=1000001000001000001000001+0000010000210003210043210广西民族学院计算机与信息科学学院2003年12月32=1000011000111000111010111方法五.多项式法我们知道，矩阵A可逆的充分必要条件是有一常数项不为零的多项式f(x)，满足f(A)=0，用这个知识点也可以求出逆矩阵。例5.已知矩阵A=3312，且A满足多项式f(x)=0352EXX，即0352EAA试证明A是可逆矩阵，并求其可逆矩阵。证：由0352EAA，可得EEAA)3531(从而可知A为可逆矩阵，并且32131110013533123135311EAA方法六.解方程组法在求一个矩阵的的逆矩阵时，可设出逆矩阵的待求元素，根据等式EAA1两端对应元素相等，可得出相应的只含待求元素的诸多线性方程组，便可求解逆矩阵。例6.求A=343122321的逆矩阵解：求可逆矩阵A的逆矩阵X，则它满足AX=E，设),,(321XXXX，则0011AX，0102AX，1003AX利用消元解法求iiiixxxX321（i=1,2,3）解得：广西民族学院计算机与信息科学学院2003年12月331110253232311XA方法七.准对角矩阵的求逆方法定义：形如iinnAAAAA,0000002211是矩阵ni,2,1。A称为准对角矩阵。其求逆的方法：可以证明：如果nnAAA,,,2211都可逆，则准对角矩阵也可逆，且112211112211000000000000nnnnAAAAAA例7.已知5000051002300004A，求1A。解：设11A=4512322A533A332211000000AAAA求得：,41111A3125171122A51133A广西民族学院计算机与信息科学学院2003年12月34所以510000173171001721750000410000001331221111AAAA方法八.恒等变形法有些计算命题表面上与求逆矩阵无关，但实质上只有求出其逆矩阵之后，才能解决问题。而求其逆矩阵常对所给矩阵进行恒等变形，且常变为两矩阵乘积等于单位矩阵的等式。例8.已知EA6，求11A，其中21232321A，解：对已知矩阵等式EA6进行恒等变形，得EAAAAAEA116666于是，111AA，又因为A是正交矩阵，TAA1，所以21232321111TAAA方法九.公式法利用下述诸公式，能够迅速准确地求出逆矩阵。１）二阶矩阵求逆公式（两调一除）：若Ａ＝dcba，则acbdAA11２）初等矩阵求逆公式：ijijEE1)1()(1kEkEii)()(1kEkEijij３）对角线及其上方元素全为１的上三角矩阵的逆矩阵100011101111A的逆矩阵为：广西民族学院计算机与信息科学学院2003年12月35100001100000110000111A４）正交矩阵的求逆公式：若A为正交矩阵，则TAA15）其他常用的求逆公式：111)(ABABTTAA)()(11AAAA111)*(*)(SAAAA,,,,321可逆，则11121121)(AAAAAASS例9.已知：100010001A，100110111B，求1)(AB。解：由于A是初等矩阵，由公式得：AA1而B为元素都为1的上三角矩阵，由公式得：1001100111B，再由公式得：010110101110100001100110011)(1AB到此为止，我已介绍了9种求逆矩阵的方法，除此外还有求正定矩阵的逆矩阵的三角阵法，由于其方法不是很简便，在此略。这些方法各有所长，读者可根据实际情况进行选择。当然，除此之外还有其它方法。希望能和大家在今后的学习中，共同研究出更方便，更有效的矩阵求逆方法。参考文献：[1]高等代数/北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编。1988.3[2]高等代数一题多解200例/魏献祝编福建人民出版社。[3]线性代数学习指导/戴宗儒编科学技术出版社。[4]线性代数解题方法技巧归纳/毛纲源编华中理工大学出版社。[5]数学手册/《数学手册》编写组编