2020届湖南省常德市高三高考模拟考试(一)数学(理)试题

-1-2020届湖南省常德市高三高考模拟考试（一）理科数学试卷一总分：150分时量:120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合P=65|xx，Q=065|2xxx，则PQ=____（桃源县第四中学）A、61|xxB、61|xxC、61|xxD、61|xx选C2.设复数z满足3(1)ziz+=-，则下列说法正确的是()(桃源一中)A.z的虚部为2iB.z为纯虚数C.5z=D.在复平面内，z对应的点位于第二象限答案：C3.设等差数列{}na的前n项的和为nS，若5347Sa=+，11a=，则6a=()(桃源一中)A.37B.16C.13D.-9答案：B4.如图是某市连续16日的空气质量指数趋势统计图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．则下列说法不正确的是()(桃源一中)A．这16日空气重度污染的频率为0.5B．该市出现过连续4天空气重度污染C．这16日的空气质量指数的中位数为203D．这16日的空气质量指数的平均值大于200答案：D5.已知P为抛物线C：24yx=上一点，F为C的焦点，若4PF=，则ΔOPF的面积为()(桃源一中)A.3B.3C.23D.4答案：6.函数()sin()fxAx的图象如图所示，将函数()fx的图象向右平移12个单位长度，得到)(xgy的图像，则下列说法不正确的是()(桃源一中)A．函数()gx的最大值为3B．函数()gx关于点(0)12π，对称C．函数()gx在(0)2π，上单调递增D．函数()gx的最小正周期为π答案：B7.已知向量a与a+b的夹角为60°，|a|=1，|b|=3，则ab=()(桃源一中)A.0B.32-C.32-D.0或32-答案：AOxy31253Oxy31253-2-8.随机设置某交通路口亮红绿灯的时间，通过对路口交通情况的调查，确定相邻两次亮红灯与亮绿灯的时间之和为100秒，且一次亮红灯的时间不超过70秒，一次亮绿灯的时间不超过60秒，则亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间的概率为()(桃源一中)A.67B.35C.13D.110答案：C9.362(1)()xxx-+的展开式中的常数项为()(桃源一中)A.240B.180C.60-D.80-答案：B10.设函数121()(1)xfxex，则不等式()(21)fxfx的解集为()(桃源一中)A.(10)-，B.(1)-?，-C.1(1)3-，D.1(10)(0)3-U，答案：D11.几何体甲与乙的三视图如右图，几何体甲的正视图和侧视图为两个全等的等腰三角形，且等腰三角形的高与几何体乙的三视图中的圆的直径相等，若几何体甲与乙的体积相等，则几何体甲的外接球的表面积与几何体乙的表面积之比为()(桃源一中)A.32B.94C.49D.132+答案：B12.已知函数2106()0xxxfxlnxxxìïï+?ïïï=íïïïïïî，，，()()gxfxax=-（其中a为常数），则下列说法中正确的个数为()(桃源一中)①函数()fx恰有4个零点；②对任意实数a，函数()gx至多有3个零点；③若a≤0，则函数()gx有且仅有3个零点；④若函数()gx有且仅有3个零点，则a的取值范围为11(0][)62e，，(桃源一中)A.1B.2C.3D.4答案：B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上）13.已知函数()ln(1)xfxxex=++，则曲线()yfx=在0x=处的切线方程为__2yx=__.(桃源一中)14已知实数,xy满足约束条件10330,10xyxyxy则=32zxy的最小值为-215.已知数列{}na的各项为正，记nS为{}na的前n项和，若2113()2nnnnaanNaa*++=?-，11a=，-3-则5S=___121________.(桃源一中)16.已知双曲线C:22221(0,0)xyabab，O是坐标原点，F是C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为,,AB且OAB为直角，记OAF和OAB的面积分别为OAFS和OABS，若13OAFOABSS，则双曲线C的离心率为答案：.263或233三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题12分）已知向量m(sin3)x=-，，n=(1cos)x，，且函数()fx=mn.(Ⅰ)若5(0)6πxÎ，，且2()3fx=，求sinx的值；(Ⅱ)在锐角ΔABC中，角ABC，，的对边分别为abc，，，若a，=4ΔABC的面积为43，且1()sin32πfAcB+=，求ΔABC的周长.(桃源一中)解：(Ⅰ)()fx=mn(sin3)x=-，(1cos)x×，sin3cosxx=-2sin()3πx=-………………(2分）Q2()3fx=，\1sin()33πx-=又5(0)6πxÎ，，()332πππx\-?，，22cos()33πx-=……………………(4分）所以11223126sinsin[()]3332326ππxx+=-+=??……………………(6分）(Ⅱ)因为1()sin32πfAcB+=，所以12sinsin2AcB=，即4sinsinAcB=由正弦定理可知4abc=，又a=4所以bc=16……………………(8分）由已知ΔABC的面积1sin432bcA=，可得3sin2A=，又(0)2πAÎ，\3πA=……………………(10分）由余弦定理得222cos1bcbcA+-=，故2232bc+=，从而2()64bc+=所以ΔABC的周长为12……………………(12分）18．（本小题12分）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ADBC∥，ABAD，22ADBCAB，O是AD的中点．(Ⅰ)在线段PA上找一点E，使得BE∥平面PCD，并证明；(Ⅱ)在(1)的条件下，若2PAPDAD，求平面OBE与平面POC所成的锐二面角的余弦值．(桃源一中)-4-解：(Ⅰ)E是线段PA的中点，……………………(1分）证明：连接BE，OE，OB，∵O是AD的中点，∴OEPD∥，又OE平面PCD，PD平面PCD，∴OE∥平面PCD，……………………(3分）又∵底面ABCD是直角梯形，22ADBCAB，∴OBCD∥，又OB平面PCD，CD平面PCD，∴OB∥平面PCD，……………………(4分）∵OE平面OBE，OB平面OBE，OEOBO，∴平面OBE∥平面PCD，又BE平面OBE，∴BE∥平面PCD．……………………(6分）（也可通过线线平行来证明线面平行）(Ⅱ)∵平面PAD平面ABCD，2PAPDAD，∴POAD，∴PO平面ABCD，且1OC，3PO，以O为原点，如图建立空间直角坐标系Oxyz，……………………(8分）得0,0,0O，1,1,0B，0,0,3P，1,0,0C，130,,22E，得130,,22OE，1,1,0OB，设,,mxyz是平面OBE的一个法向量，则mOEmOB，得300yzxy，取3x，得3,3,1m，……………………(10分）又易知0,1,0n是平面POC的一个法向量，设平面OBE与平面POC所成的锐二面角为，则321coscos,771mnmnmn，即平面OBE与平面POC所成的锐二面角的余弦值为217．……………………(12分）19．（本小题12分）随着快递行业的崛起，中国快递业务量惊人，2018年中国快递量世界第一，已连续五年突破五百亿件，完全超越美日欧的总和，稳居世界第一名．某快递公司收取费的标准是：不超过1kg的包裹收费8元；超过1kg的包裹，在8元的基础上，每超过1kg(不足1kg，按1kg计算)需再收4元．该公司将最近承揽(接收并发送)的100件包裹的质量及件数统计如下(表1)：表1：公司对近50天每天承揽包裹的件数(在表2中的“件数范围”内取的一个近似数据)、件数范围及天数，列表如下(表2)：包裹质量（kg)（0，1]（1，2]（2，3]（3，4]（4，5]包裹件数43301584件数范围(0，100](100，200](200，300](300，400](400，500]-5-表2：(Ⅰ)将频率视为概率，计算该公司未来3天内恰有1天揽件数在(100，300]内的概率；(Ⅱ)①根据表1中最近100件包裹的质量统计，估计该公司对承揽的每件包裹收取快递费的平均值：②根据以上统计数据，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余用作其他费用．目前，前台有工作人员5人，每人每天揽件数不超过100件，日工资80元．公司正在考虑是否将前台人员裁减1人，试计算裁员前、后公司每天揽件数的数学期望；若你是公司决策者，根据公司每天所获利润的期望值，决定是否裁减前台工作人员1人?(桃源一中)解：(Ⅰ)将频率视为概率，样本中包裹件数在(100，300]内的天数为102535，频率为3575010f，故该公司1天揽件数在(100，300]内的概率为710………(2分）未来3天包裹件数在(100，300]内的天数X服从二项分布，即7(3)10XB，所以未来3天内恰有1天揽件数在[100，299]内的概率为：12373189()()10101000PC………(5分）(Ⅱ)①由题可知，样本中包裹质量（kg)、快递费（元）、包裹件数如下表所示：所以每件包裹收取快递费的平均值为14383012151682042412100………(7分）②根据题意及①，揽件数每增加1，公司快递收入增加12（元）若不裁员，则每天可揽件的上限为500件，公司每日揽件数情况如下：每天承揽包裹的件数Y的期望E(Y)=50×0.1+150×0.2+250×0.5+350×0.1+450×0.1=240公司每日利润的期望值为1240125805603元………(9分）若裁员1人，则每天可揽件的上限为400件，公司每日揽件数情况如下：每天承揽包裹的件数Y的期望E(Y)=50×0.1+150×0.2+250×0.5+350×0.1+400×0.1=235天数5102555每天承揽包裹的件数50150250350450包裹质量（kg)（0，1]（1，2]（2，3]（3，4]（4，5]快递费（元）812162024包裹件数43301584件数范围(0，100](100,200](200,300](300，400](400，500]天数5102555每天承揽包裹的件数Y50150250350450概率P0.10.20.50.10.1件数范围(0，100](100，200](200，300](300，400](400，500]天数5102555每天承揽包裹的件数Y50150250350400概率P0.10.20.50.10.1-6-公司每日利润的期望值为1235124806203元………(11分）因为560620，所以公司应将前台工作人员裁员1人．………(12分）20.有一种曲线画图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且21ONDN，1DM．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动，M处的笔尖画出的曲线记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（2)设2F为曲线C的右焦点，P为曲线C上一动点，直线2PF斜率为)0(kk，且2PF与曲线C的另一个交点为Q，是否存在点),0(tT，使得TQPTPQ,若存在，求t