2019-2020学年江苏省南京市高二上学期期中数学试题(解析版)

1、第1页共17页2019-2020学年江苏省南京市高二上学期期中数学试题一、单选题1．若直线ax+2y+1=0与直线x+2y–2=0互相垂直，则实数a的值是（）A．1B．–1C．4D．–4【答案】D【解析】由直线方程一般式垂直的条件计算．【详解】由题意220a，4a．故选：D．【点睛】本题考查两直线垂直条件，两直线方程分别为1110AxByC和2220AxByC，则它们垂直的充要条件是12120AABB．2．已知向量0,1,1a，1,2,1b.若向量ab与向量2,,4cm平行，则实数m的值是（）A．2B．2C．10D．10【答案】A【解析】由ab与c共线得abc，即(1,1,2)(2,,4)m，解方程组即可.【详解】由已知，(1,1,2)ab，因为ab与c共线，所以存在实数，使得abc，故(1,1,2)(2,,4)m，即12124m，解得122m.故选：A.【点睛】本题考查共线向量定理的应用，涉及向量坐标运算，考查学生的计算能力，是一道基础题。

2、.3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线2212yx的渐近线方程是（）第2页共17页A．2yxB．22yxC．3yxD．33yx【答案】A【解析】将双曲线方程右端1改为0，即可求得双曲线渐近线方程.【详解】令2212yx右端1为0，得2202xy，即2yx.故选：A.【点睛】本题考查求双曲线的渐近线，考查学生基本计算能力，是一道基础题.4．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x（万元）8.38.51011.212支出y（万元）67.588.510根据上表可得10,8xy，线性回归方程0.76yxa.据此估计，该社区一户年收入为20万元家庭年支出为（）A．15.2万元B．15.6万元C．16万元D．16.2万元【答案】B【解析】将样本中心点(,)xy代入回归直线方程求得0.4a，进而回归方程为0.760.4yx$，再令20x=代入计算即可.【详解】将10,8xy代入线性回归方程0.76yxa，得80.7610a，解得0.4a，所以回归方程为0.760.4yx$，当20。

3、x=时，0.76200.415.6y.故选：B.【点睛】本题考查线性回归直线方程及其应用，回归直线一定过样本中心点(,)xy，这是解题的一个依据，本题是一道容易题.5．如图，一个圆柱的底面半径为3，高为2，若它的两个底面圆周均在球O的球面第3页共17页上，则球O的表面积为（）A．323B．16C．8D．4【答案】B【解析】采用数形结合，根据勾股定理可得球的半径，然后利用球的表面积公式，可得结果.【详解】根据题意，画图如下：则OAR，3OAr，12hOO，故在RtOOA中，22132OAOOOA，2R，2244216SR球.故选：B【点睛】本题主要考查球的表面积，属基础题.6．如图，在四面体ABCD中，点M是棱BC上的点，且2BMMC＝，点N是棱AD的中点.若MNxAByACzAD，其中,,xyz为实数，则xyz的值是（）第4页共17页A．19B．18C．19D．18【答案】C【解析】将MN用,,ADABAC表示，对比系数即可.【详解】因为12()23MNANAMADABBC12()23ADABACA。

4、B112233ADABAC，所以121,,332xyz，故19xyz.故选：C.【点睛】本题考查空间向量的线性运算，一定要结合图形，灵活运用三角形法则和平行四边形法则，本题是一道基础题.7．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点1,2P，且被圆O：229xy截得的弦长为42，则直线l的方程为（）A．3450xyB．34110xyC．1x或3450xyD．1x或34110xy【答案】C【解析】由已知得到圆心O到直线l的距离为1，设出直线方程，利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】由已知，圆心O到直线l的距离22(22)981dr，当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为1x，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为(1)2ykx，即20kxyk，由点到直线的距离公式得2|2|11kdk，解得34k，此时方程为3544yx.故选：C.【点睛】第5页共17页本题考查直线与圆的位置关系，涉及到弦心距公式，特别要注意在设直线的点斜式时，要先讨论斜率不存在的情况.8．已知10cos410。

5、，则sin2的值是（）A．45B．25C．25D．45【答案】D【解析】由sin2sin[2()]cos2()424，利用二倍角公式计算即可.【详解】214sin2sin[2()]cos2()12cos()124244105.故选：D.【点睛】本题考查三角恒等变换的应用，涉及到配角技巧及倍角公式等知识，考查学生基本计算能力，是一道基础题.9．在平面直角坐标系xOy中，直线l过抛物线24yx的焦点，交抛物线于,AB两点，且线段AB中点的横坐标为3，则线段AB的长为（）A．6B．7C．8D．10【答案】C【解析】由抛物线定义结合公式12||ABxxp计算即可.【详解】设1122(,),(,)AxyBxy，则126xx，由抛物线定义知，2p，12||22ppABxx12628xxp.故选：C.【点睛】本题考查利用抛物线的定义求焦点弦长，在处理抛物线焦半径时，经常会想到利用抛物线定义将其转化为到准线的距离.10．在平面直角坐标系xOy中，已知点4,0P，点,AB在双。

6、曲线22:14xCy上，且3APPB，则直线AB的斜率为（）第6页共17页A．32B．52C．D．32【答案】B【解析】设直线AB方程为4xmy，联立双曲线方程得12yy284mm，122124yym，又由3APPB得123yy，消12,yy即可.【详解】由题意可知，当直线AB的斜率为0时显然不满足题意，设1122(,),(,)AxyBxy，AB的方程为4xmy，联立22:14xCy消x，得22(4)8120mymy，所以12yy284mm，122124yym①，又3APPB，有1122(4,)3(4,)xyxy，即123yy②，由①②，得244m22216(4)mm，即254m，25m，所以斜率为152m.故选：B.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查学生利用韦达定理消元，有一定的运算量，是一道中档题.二、多选题11．已知两条直线l，m及三个平面,,，下列条件中能推出的是（）A．,llB．,,lmlmC．,//D．,,lmlm。

7、【答案】ABC【解析】利用面面垂直的判定定理与性质定理来处理.【详解】如果一个平面经过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直知选项A正确；选项B显然正确；第7页共17页如果两个互相平行的平面有一个垂直于一个平面那么另一个平面也垂直这个平面知选项C正确；D选项有可能与可能平行.故选：ABC.【点睛】本题考查空间中面面垂直的判定，考查学生空间想象能力，是一道基础题.12．在平面直角坐标系xOy中，动点P到两个定点1(1,0)F和2(1,0)F的距离之积等于8，记点P的轨迹为曲线E，则（）A．曲线E经过坐标原点B．曲线E关于x轴对称C．曲线E关于y轴对称D．若点,xy在曲线E上，则33x≤≤【答案】BCD【解析】利用直接法可得曲线的方程为2222(1)(1)8xyxy，然后逐一验证A，B，C，D.【详解】设(,)Pxy，由已知，1||PF2||8PF，即2222(1)(1)8xyxy，平方得，(0,0)不满足方程，故选项A错误；用(,)xy换(,)xy，方程不变，所以曲线E关于x轴对称，故B正确；同理用用(,)xy换(,)xy，方程不变，所以曲线E关于。

8、y轴对称，故C正确；令0y，得22(1)(1)64xx，即218x，所以3x，故33x≤≤，D正确.故选：BCD.【点睛】本题考查利用直接法求曲线的轨迹方程，对于选项A，B，C，D只需逐一代入验证即可，本题是一道中档题.三、填空题13．在平面直角坐标系xOy中，双曲线22:13xCy的焦距为________.若双曲线C的右焦点与抛物线220ypxp＝的焦点重合，则实数p的值为______________.第8页共17页【答案】44【解析】利用222cab及抛物线的焦点横坐标为2p计算即可.【详解】由已知，3,1ab，故222cab，所以焦距为24c，又双曲线右焦点为(2,0)，所以有22p，4p.故答案为：（1）4；（2）4.【点睛】本题考查抛物线、双曲线的定义及应用，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.14．在平面直角坐标系xOy中，若椭圆2222:1(0)xyEabab的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆E的离心率是__________.【答案】22【解析】由题易得bc，再利用222cab计算即可.【详。

9、解】由已知，bc，所以222acbc，故离心率为22cea.故答案为：22.【点睛】本题考查求椭圆离心率，解决椭圆的离心率的问题，关键是建立,,abc的方程或不等式，本题是一道容易题.15．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是：每个大于2的偶数可以表示为两个质数的和，如14311.在不超过15的质数中，随机选取2个不同的数，其和不等于16的概率是________.【答案】1315【解析】先求出和等于16的概率，再利用事件A与其对立事件A概率和为1解决.【详解】第9页共17页不超过15的质数有2，3，5，7，11，13共6个，从中选2个质数一共有2615C种，和等于16的有（3，13），（5，11）两种，由古典概型的概率计算公式知，和等于16的概率为215，和不等于16的概率为21151315.故答案为：1315.【点睛】本题考查古典概型的概率计算，注意正面情况比较多的情况下，可以采用先计算对立事件的概率，本题是一道容易题.16．已知四棱柱1111ABCDABCD的底面ABCD是矩形，底面边长和侧棱长均为2，1160AABAA。

10、D，则对角线1AC的长为________.【答案】25【解析】将1ACuuur表示成11ACABADAA，平方即可.【详解】如图，11ACABADAA，所以22222111()ACABADAAABADAA11222444222cos60222cos60ABADABAAADAA20，所以1||25AC.故答案为：25.【点睛】本题考查空间向量的线性运算，涉及到向量的模，向量数量积等知识，是一道基础题.四、解答题17．在ABCΔABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc.已知12cosco()s13cosaCcAbB.第10页共17页（1）求cosB；（2）若15ac，且ABC的面积为5，求b的值.【答案】（1）3os1c12B（2）55b【解析】（1）利用正弦定理并结合ABC即可获解；（2）由5ABCS及cosB的值可得到6ac，再利用2222222cos2cos()2(1cos)bacacBacacBacBac计算即可.【详解】（1）因为12coscos13cos。