2019-2020学年浙江省舟山市高二上学期期末数学试题(解析版)

第1页共20页2019-2020学年浙江省舟山市高二上学期期末数学试题一、单选题1．直线1yx的倾斜角是（）A．π6B．π4C．π2D．3π4【答案】B【解析】设直线1yx的倾斜角为，由直线的方程可得其斜率k，则有tan1，结合θ的范围即可得答案.【详解】根据题意，设直线1yx的倾斜角为θ，因直线的方程为1yx=+，故其斜率1k，则有tan1，又由0，则4，故选：B.【点睛】本题考查直线倾斜角的求法，一般地，斜率和倾斜角的关系是：当倾斜角0,,22时，斜率tanθk=，当倾斜角2时，斜率不存在.本题属于基础题.2．半径为2的球的表面积是（）A．16π3B．32π3C．16πD．32π【答案】C【解析】由球的表面积公式直接求出表面积即可.【详解】由球的表面积公式可得2416SR，故选：C.【点睛】本题考查球的表面积的计算，记住公式是关键，本题属于容易题.3．已知直线l和平面α，若//l，P，则过点P且平行于l的直线（）A．只有一条，不在平面α内第2页共20页B．只有一条，且在平面α内C．有无数条，一定在平面α内D．有无数条，一定不在平面α内【答案】B【解析】通过假设过点P且平行于l的直线有两条m与n，由平行公理可得//mn，这与mnP矛盾..【详解】假设过点P且平行于l的直线有两条m与n，∴//ml且//nl，由平行公理得//mn，这与两条直线m与n相交与点P相矛盾.故选：B.【点睛】本题考查平行公理的应用，注意在立体几何中解决存在性问题可适当使用反证法，本题属于基础题.4．圆2224xy与圆222325xy的位置关系为（）A．内切B．外切C．相交D．相离【答案】C【解析】求出两圆的圆心距，根据其与半径之和和半径之差的绝对值的关系可得正确的选项.【详解】根据题意，圆2224xy（）的圆心为(2,0)，半径12r；圆222325xy的圆心为(2,3)，半径25r；两圆的圆心距22435d，有5252d，则两圆相交；故选：C.【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，一般地，我们利用圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的关系来判断，本题属于基础题.5．设,mn是不同的直线，,是不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若//m，n，//mn，则B．若//m，n，mn，则第3页共20页C．若//mn，//m，n//，则//D．若m，n，//m，n//，则//【答案】A【解析】在A中，由面面垂直的判定定理得；在B、C中，与相交或平行；在D中，缺了,mn相交的条件，故可得正确的选项.【详解】在A中，过m作平面，使得l，因为//m，,ml，所以//ml，故//ln，而n，所以l，因l，故，故A正确；在B中，若m，n，mn，则与相交或平行，故B错误；在C中，若mn，m，n，则与相交或平行，故C错误；在D中，若m，n，m，n，推不出//，缺了,mn相交的条件，故D错误.故选：A.【点睛】本题考查空间中与线面位置关系有关的命题的真假，一般依据已有的判定定理或性质定理进行判断，必要时应动态考虑不同的位置关系，防止遗漏一些特殊情形，本题属于基础题.6．将正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角BACD，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为（）A．12B．22C．32D．63【答案】A【解析】根据题意可知OB，OC，OD三直线两两垂直，分别以这三直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设1OC，求出,,,ABCD的坐标后可得向量AB，CD的坐标，求出cos,ABCD的值可得异面直线AB和CD所成角的余弦值.【详解】第4页共20页如图，取AC的中点为O，连接BO，DO，则OBAC，ODAC，故DOB为二面角BACD的平面角.因为二面角BACD为直二面角，所以90DOB，∴OB，OC，OD三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.设1OC，则(0,1,0)A，(1,0,0)B，(0,1,0)C，(0,0,1)D，∴(1,1,0)AB，(0,1,1)CD，∴1ABCD，||2AB，||2CD，∴1cos,2||||ABCDABCDABCD，∴异面直线AB和CD所成角的余弦值为12.故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成的角，可通过建立空间直角坐标系，把异面直线所成的角转化为直线的方向向量所成的角，注意异面直线所成的角的范围为0,2，本题属于基础题.7．若直线2244mxnyxy和圆没有交点，则过点(,)mn的直线与椭圆22194xy的交点个数为（）A．2个B．至多一个C．1个D．0个【答案】A【解析】略8．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设1AA是正第5页共20页六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以1AA为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4B．8C．12D．16【答案】D【解析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【详解】根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×4=8，当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，故有8+4+4=16故选D．【点睛】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．9．在长方体1111ABCDABCD中，1DADC，12DD，分别在对角线1AD，1CD上取点M，N，使得直线//MN平面11AACC，则线段MN长的最小值为()A．12B．23C．22D．2【答案】B【解析】作1MMAD于点1M，作1NNCD于点1N，则11//.MNAC设11DMDNx，则1MMx，11NNx，由此能求出MN的最小值．【详解】作1MMAD于点1M，作1NNCD于点1N，第6页共20页线段MN平行于对角面11ACCA，11//MNAC．设11DMDNx，则12MMx，122NNx，在直角梯形11MNNM中，222244(2)(24)18()99MNxxx，当49x时，MN的最小值为23．故选B．【点睛】本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力、空间想象能力，是中档题．10．已知椭圆22221(0)xyabab+-的左、右焦点分别为1F，2F，点P是椭圆上一点，直线2FM垂直于OP且交线段1FP于点M，1||2||FMMP＝，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．10,2B．20,2C．30,2D．1,12【答案】D【解析】设(,)Pmn，||ma＜，又1,0)Fc(-，2(,0)Fc，由向量共线可得M的坐标，第7页共20页再由向量垂直得到,mn的关系式，结合P在椭圆上得到关于,mn的方程组，化简整理可求得m，由||ma可得离心率的取值范围.【详解】设(,)Pmn，||ma，又1,0)Fc(-，2(,0)Fc，1||2||FMMP，∴1(,)MMFMxcy，(,)MMMPmxny，∵12FMMP，222MMMMxcmxyny，解得2323MMmcxny.∴22,33mcnM，∴2242,33mcnFM.又(,)OPmn，2OPFM.∴20OPFM，∴242033mcnmn，整理得到2(2)nmcm.由P在椭圆上，可得22221mnba，故222(2)1mmcmba，化简得到2222220cmmcaca，解得2amac，或2amac，（舍去），由2aaac，可得2ca，即有12cea，又01e，∴112e.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的离心率的取值范围，一般地，圆锥曲线中离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,abc的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,abc的不等式或不等式组．本题属于中档题.第8页共20页二、填空题11．已知向量(1,2,2)a=r，(2,,1)bx=-r，则a_____；若ab，则x_______【答案】30【解析】用向量的模和向量垂直的性质直接求解.【详解】∵向量(1,2,2)a=r，(2,,1)bx=-r，∴||1443a.若ab，则2220abx，解得0x.故答案为：3，0.【点睛】本题考查空间向量的模以及空间向量数量积的坐标形式，注意两个向量垂直等价于它们的数量积为零，本题属于容易题.12．某简单几何体的三视图（俯视图为等边三角形）如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：3cm）为_____；表面积为_____（单位：2cm）.【答案】332318【解析】由三视图可知几何体为正三棱柱，根据三视图中的数据可得其底边的长和棱柱的高，根据公式可求其体积和表面积.【详解】该几何体为正三棱柱，且底面为边长为2的正三角形，高为3.故132233322V，13222323231822S.第9页共20页故答案为：33，2318【点睛】本题考查三视图及其棱柱的体积和表面积，可根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．本题属于基础题.13．双曲线C：221916xy的渐近线方程为_____，C上一点P到点1(5,0)F的距离为7，则点P到点2(5,0)F的距离为_____.【答案】43yx13【解析】求得双曲线的,,abc后可得渐近线方程，讨论P在右支上不可能，结合双曲线的定义可得所求值.【详解】由C：221916xy得3a，4b，5c，可得渐近线方程为43yx.若P在双曲线的右支上，可得1||8PFac，但P到点1(5,0)F的距离为7，故P在左支上，又21||26PFPFa，即有2||7613PF，故答案为：43yx，13.【点睛】本题考查双曲线的渐近线以及双曲线的几何性质，在利用双曲线的几何性质求焦半径的长度时，注意根据已知焦半径的大小确定双曲线上的点是否在某个单支上，本题属于易错题.14．正三棱柱111ABCABC的侧棱长和底面边长均为2，则AC1与侧面ABBA11所成角的正弦值为_____；点E为AB中点，则过1B，E，1C三点的截面面积为_____.【答案】643194【解析】以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，1AA为z轴，建立空间直角坐标系，求出1AC的方向向量与侧面ABBA11的法向量后可求线面第10页共20页角的正弦值.取AC中点D，连结DE，1DC，则过1B，E，1C三点的截面为梯形11DEBC，由此能求出过1B，E，1C三点的截面面积.【详解】以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，1AA为z轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A，1(0,0,2)A，1(0,2,2)C，(3,1,0)B，1(0,2,2)AC，(3,1,0)AB，1(0,0,2)AA，设平面ABBA11的法向量(,,)nxyz，则13020nABxynAAz，取1x=，得(1,3,0)n，设1AC与侧面ABBA11所成角为θ，则1AC与侧面ABBA11所成角的正弦值为：11||236sin4||||82nACnAC.取AC中点D，连结DE，1DC，∵点E为AB中点，则过1B，E