2019届福建省宁德市高三质量检查数学(理)试题(解析版)

第1页共23页2019届福建省宁德市高三质量检查数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则()A．B．C．D．【答案】C【解析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．【详解】A＝{x|1＜x＜5}；∴A∩B＝{x|1＜x＜5}．故选：C．【点睛】考查描述法的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算．2．复数izab（,abR）满足2i(1)zz，则ab()A．35-B．15C．15D．35【答案】D【解析】把z＝a+bi（a，b∈R）代入2z＝i（1﹣z），利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求．【详解】∵z＝a+bi，由2z＝i（1﹣z），得2a+2bi＝i（1﹣a﹣bi）＝b+（1﹣a）i，∴221abba，解得a15，b25．∴a+b35．故选D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．3．的展开式中的系数为()A．B．C．D．第2页共23页【答案】A【解析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于，求出r的值，即可求得展开式中的系数．【详解】二项式的展开式的通项公式为Tr+1•（﹣2）r•，令3，求得r＝1，可得展开式中的系数为﹣12，故选：A．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求,再将的值代回通项求解,注意的取值范围()①第m项：此时,直接代入通项；②常数项：即该项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；③有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.4．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为()A．125216B．827C．49D．14【答案】C【解析】有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，由此能求出从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率．【详解】有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，∴从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率：第3页共23页p9642169．故选C．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某棱锥的三视图，则该棱锥的体积为()A．4B．16C．32D．48【答案】B【解析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果．【详解】根据几何体得三视图转换为几何体为：所以：该几何体的体积为：V1124441632．故选B．【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．第4页共23页6．已知平面区域221:9xy，2220,:0,20,xyxyy则点1(,)Pxy是2(,)Pxy的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】将平面区域221:9xy，2220,:0,20,xyxyy，在同一坐标系中画出，由图形的包含关系求解.【详解】如图所示：平面区域221:9xy表示圆及原内部部分，平面区域2220,:0,20,xyxyy表示三角形区域，由图可知：则点1(,)Pxy是2(,)Pxy的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题主要考查平面区域以及逻辑条件，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.7．已知函数()lg(1)fxx，记0.2(5)af，0.2(log3)bf，(1)cf，则,,abc的大小关系为()第5页共23页A．bcaB．abcC．cabD．cba【答案】A【解析】可以看出，f（x）是偶函数，并且在[0，+∞）上单调递增，从而得出0.213bflog，并且可以得出0.20.210153log＜＜＜，从而由f（x）在[0，+∞）上的单调性即可得出a，b，c的大小关系．【详解】f（x）是偶函数，在[0，+∞）上单调递增；∴b＝f（log0.23）＝f（﹣log0.23）0.213flog；∵50.2＞50＝1，0.20.2100.213loglog＜＜；∴0.20.210153log＜＜＜；∴0.20.21153flogff＜＜；∴b＜c＜a．故选A．【点睛】本题考查偶函数的定义，对数函数的单调性，指数函数的单调性，以及增函数的定义．8．若函数()sin2cos2fxxx，则下列结论正确的是()A．函数()fx的最小正周期为2B．对任意的xR，都有()()04fxfxC．函数()fx在3(,)24上是减函数D．函数()fx的图象关于直线=8x对称【答案】B【解析】首先利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】函数f（x）＝sin2x+cos2x，224sinx，则：①函数的最小正周期为22T．第6页共23页故选项A错误．②令：3222242kxk（k∈Z），解得：588kxk，（k∈Z），当k＝0时，函数的单调递减区间为：[588，]，故：选项C错误．③当x8时，f（8）＝0，故选项D错误，故选B．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．函数sin()yAx（A0,ω0）的性质：（1）周期性：sin()yAx存在周期性，其最小正周期为T=2;（2）单调性：根据y=sint和t=x的单调性来研究，由+22,22kxkkZ得单调增区间；由+22,22kxkkZ得单调减区间．9．如图，为了测量某湿地,AB两点之间的距离，观察者找到在同一条直线上的三点,,CDE.从D点测得67.5ADC，从C点测得45ACD，75BCE，从E点测得60BEC.若测得23DC，2CE（单位：百米），则,AB两点之间的距离为（）A．6B．22C．3D．23【答案】C【解析】在ADC中根据三角形内角和为180可求得67.5DAC，从而得到AC；在BCE中利用正弦定理可求得BC；在ABC中利用余弦定理可求得结果.第7页共23页【详解】在ADC中，45ACD，67.5ADC，则1804567.567.5DAC23ACDC在BCE中，75BCE，60BEC，则180756045EBC由正弦定理sinsinCEBCEBCBEC得：32sin23sin22CEBECBCEBC在ABC中，23AC，3BC，18060ACBACDBCE由余弦定理得：2222cos9ABACBCACBCACB3AB故选：C【点睛】本题考查解三角形的实际应用中的距离类问题的求解，涉及到正弦定理、余弦定理的应用；关键是能够将所求长度放到三角形中，通过求解三角形中的边长和角度，通过余弦定理求得结果.10．如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则周长的取值范围是()A．B．C．D．【答案】B【解析】圆（y﹣1）2+x2＝4的圆心为（0，1），半径r＝2，与抛物线的焦点重合，可得|FB|＝2，|AF|＝yA+1，|AB|＝yB﹣yA，即可得出三角形ABF的周长＝2+yA+1+yB﹣yA＝yB+3，利用1＜yB＜3，即可得出．【详解】抛物线x2＝4y的焦点为（0，1），准线方程为y＝﹣1，圆（y﹣1）2+x2＝4的圆心为（0，1），第8页共23页与抛物线的焦点重合，且半径r＝2，∴|FB|＝2，|AF|＝yA+1，|AB|＝yB﹣yA，∴三角形ABF的周长＝2+yA+1+yB﹣yA＝yB+3，∵1＜yB＜3，∴三角形ABF的周长的取值范围是（4，6）．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线的定义与圆的标准方程及其性质、三角形的周长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．下列图象中，可能是函数()(ee)()axxfxxaZ的图象的是()A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，求出函数的导数，按a的值分5种情况讨论，分析函数f（x）的定义域、是否经过原点以及在第一象限的单调性，综合即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）＝xa（ex+e﹣x），其导数f′（x）＝axa﹣1（ex+e﹣x）+xa（ex﹣e﹣x），又由a∈Z，当a＝0，f（x）＝ex+e﹣x，（x≠0）其定义域为{x|x≠0}，f（x）为偶函数，不经过原点且在第一象限为增函数，没有选项符合；当a为正偶数时，f（x）＝xa（ex+e﹣x），其定义域为R，f（x）为偶函数且过原点，在第一象限为增函数，没有选项符合，第9页共23页当a为正奇数时，f（x）＝xa（ex+e﹣x），其定义域为R，f（x）为奇函数且过原点，在第一象限为增函数且增加的越来越快，没有选项符合，当a为负偶数时，f（x）＝xa（ex+e﹣x），其定义域为{x|x≠0}，f（x）为偶函数，不经过原点且在第一象限先减后增，D选项符合；当a为负奇数时，f（x）＝xa（ex+e﹣x），其定义域为{x|x≠0}，f（x）为奇函数，不经过原点且在第一象限先减后增，没有选项符合，综合可得：D可能是函数f（x）＝xa（ex+e﹣x）（a∈Z）的图象；故选D．【点睛】本题考查函数图象的判定，注意讨论a的取值情况，属于基础题．对于已知函数表达式确定函数的图像的题目，一般是通过解析式得到函数的定义域和值域，或者函数的奇偶性等性质，进而对图像进行排除.12．已知直线：交双曲线：于，两点，过作直线的垂线交双曲线于点．若，则双曲线的离心率为()A．B．C．D．【答案】A【解析】联立直线xy和双曲线方程可得A，B的坐标，以及|AB|，直角三角形的性质可得|AC||AB|，设出直线AC的方程，联立双曲线方程，运用韦达定理可得C的横坐标，由弦长公式，化简计算可得a＝b，进而得到所求离心率．【详解】联立直线xy和双曲线方程可得x2，y2，可设A（，），可得|AB|＝2|OA|，在直角三角形ABC中，∠ABC＝60°，可得|AC||AB|，设直线AC的方程为yx，代入双曲线方程可得（b2﹣3a2）x2x﹣a2b20，可得xC，第10页共23页即有|xC﹣xA|＝||，可得|AC|＝2•，即为a2+b2＝|b2﹣3a2|，可得a＝b，e．故选：A．【点睛】本题考查双曲线的方程和运用，考查直线和双曲线的位置关系，以及联立方程组，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于综合题．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方