高中数学数列通项公式的常用求法

数列通项公式的求法一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列na是递增数列，前n项和为nS，且931,,aaa成等比数列，255aS．求数列na的通项公式.点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。二、公式法若已知数列的前n项和nS与na的关系，求数列na的通项na可用公式2111nSSnSannn求解。例2．已知数列na的前n项和nS满足1,)1(2naSnnn．求数列na的通项公式。点评：利用公式211nSSnSannnn求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．三、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。类型1递推公式为)(1nfaann解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累加法(逐差相加法)求解。已知数列na中,12211,(1),kkkaa且a2123kkkaa,其中1,2,3,k……，求数列na的通项公式。（高考题）例3.已知数列na满足211a，nnaann211，求na。类型2（1）递推公式为nnanfa)(1解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累乘法(逐商相乘法)求解。已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项（高考题）1___na12nn例4.已知数列na满足321a，nnanna11，求na。（2）．由nnanfa)(1和1a确定的递推数列na的通项可如下求得：由已知递推式有1)1(nnanfa，21)2(nnanfa，，12)1(afa依次向前代入，得1)1()2()1(afnfnfan，简记为111))((akfankn)1)(,1(01kfnk，这就是叠（迭）代法的基本模式。（3）递推式：nfpaann1解法：只需构造数列nb，消去nf带来的差异．例5．设数列na：)2(,123,411nnaaann，求na.说明：（1）若)(nf为n的二次式，则可设CBnAnabnn2;(2)本题也可由1231naann,1)1(2321naann（3n）两式相减得2)(3211nnnnaaaa转化为qpbbnn1求之.例6．已知31a，nnanna23131)1(n，求na。类型3递推公式为qpaann1（其中p，q均为常数，)0)1((ppq）。解法：把原递推公式转化为：)(1taptann，其中pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解。在数列na中，若111,23(1)nnaaan，则该数列的通项na新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（高考题）例7.已知数列na中，11a，321nnaa，求na.类型4递推公式为nnnqpaa1（其中p，q均为常数，)0)1)(1((qppq）。（或1nnnaparq,其中p，q,r均为常数）设数列na的前n项的和14122333nnnSa，1,2,3,n求首项1a与通项na；（高考题）解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以1nq，得：qqaqpqannnn111引入辅助数列nb（其中nnnqab），得：qbqpbnn11再应用类型3的方法解决。例8.已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na。类型5递推公式为nnnqapaa12（其中p，q均为常数）。解法：先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa其中s，t满足qstpts，再应用前面类型3的方法求解。已知数列na满足*111,21().nnaaanN求数列na的通项公式；（高考题）例9.已知数列na中，11a,22a,nnnaaa313212，求na。类型6递推公式为nS与na的关系式。(或()nnSfa)解法：利用)2()1(11nSSnSannn进行求解。已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（高考题）例10.已知数列na前n项和2214nnnaS.（1）求1na与na的关系；（2）求通项公式na.类型7双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例11.已知数列na中，11a；数列nb中，01b。当2n时，)2(3111nnnbaa,)2(3111nnnbab，求na,nb.四、待定系数法（构造法）求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。1、通过分解常数，可转化为特殊数列{an+k}的形式求解。一般地，形如a1n=pan+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a1n+k=p（an+k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k=1pq，从而得等比数列{an+k}。例12、数列{an}满足a1=1，an=21a1n+1（n≥2），求数列{an}的通项公式。说明：这个题目通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列{an－2}，从而达到解决问题的目的。例13、数列{an}满足a1=1，0731nnaa,求数列{an}的通项公式。例14．已知数列na满足11a，且132nnaa，求na．点评：求递推式形如qpaann1（p、q为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列)1(11pqappqann来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型．例15．已知数列na满足11a，123nnnaa)2(n，求na．点评：递推式为11nnnqpaa（p、q为常数）时，可同除1nq，得111nnnnqaqpqa，令nnnqab从而化归为qpaann1（p、q为常数）型．2、通过分解系数，可转化为特殊数列}{1nnaa的形式求解。这种方法适用于nnnqapaa12型的递推式，通过对系数p的分解，可得等比数列}{1nnaa：设)(112nnnnkaahkaa，比较系数得qhkpkh,，可解得kh,。已知数列na满足*12211,3,32().nnnaaaaanN（I）证明：数列1nnaa是等比数列；（II）求数列na的通项公式；（高考题）例16、数列na满足23,5,21221nnaaaana=0，求数列{an}的通项公式。分析：递推式02312nnnaaa中含相邻三项，因而考虑每相邻两项的组合，即把中间一项1na的系数分解成1和2，适当组合，可发现一个等比数列}{1nnaa。例17、数列na中，nnnaaaaa122123,2,1，求数列na的通项公式。说明：若本题中取1,31hk，则有nnnnaaaa3131112即得}31{1nnaa为常数列,nnaa311131nnaa1231aa37312故可转化为例13。例18．已知数列na满足11a,22a,nnnaaa313212求na．点评：递推式为nnnqapaa12（p、q为常数）时，可以设)(112nnnnsaatsaa，其待定常数s、t由pts,qst求出，从而化归为上述已知题型．五、特征根法1、设已知数列}{na的项满足dcaabann11,,其中,1,0cc求这个数列的通项公式。作出一个方程,dcxx则当10ax时，na为常数列，即0101,;xbaaxaannn时当，其中}{nb是以c为公比的等比数列，即01111,xabcbbnn.例19．已知数列}{na满足：,4,N,23111anaann求.na2、对于由递推公式nnnqapaa12，21,aa给出的数列na，方程02qpxx，叫做数列na的特征方程。若21,xx是特征方程的两个根，当21xx时，数列na的通项为1211nnnBxAxa，其中A，B由21,aa决定（即把2121,,,xxaa和2,1n，代入1211nnnBxAxa，得到关于A、B的方程组）；当21xx时，数列na的通项为11)(nnxBnAa，其中A，B由21,aa决定（即把2121,,,xxaa和2,1n，代入11)(nnxBnAa，得到关于A、B的方程组）。例20：已知数列na满足),0(0253,,1221Nnnaaabaaannn，求数列na的通项公式。3、如果数列}{na满足下列条件：已知1a的值且对于Nn，都有hraqpaannn1（其中p、q、r、h均为常数，且rharqrph1,0,），那么，可作特征方程hrxqpxx,当特征方程有且仅有一根0x时,则01nax是等差数列;当特征方程有两个相异的根1、2时，则12nnaxax是等比数列。数列).1(0521681}{111naaaaaannnnn且满足求数列}{na的通项公式.（高考题）例21、已知数列}{na满足性质：对于,324,N1nnnaaan且,31a求}{na的通项公式.例22．已知数列}{na满足：对于,Nn都有.325131nnnaaa（1）若,51a求;na（2）若,31a求;na（3）若,61a求;na（4）当1a取哪些值时，无穷数列}{na不存在？说明：形如:)(11bakmaannn递推式，考虑函数倒数关系有)11(11makannmkakann111令nnab1则nb可归为qpaann1型。(取倒数法)例23：1,13111aaaannn六、构造法：构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，如某种数量关系，某个直观图形，或者某一反例，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉.1、构造等差数列或等比数列：由于等差数列与等比数