习题十八-第一型曲线积分

习题十八第一型曲线积分一、填空题1、设曲线L是由)10(1:),10(0:),10(0:321xyxLxyLyxL所围成的平面图形的边界，函数),(yxf在上连续，则将dsyxfL),(化为定积分计算时，1),(Ldsyxf10),0(dyyf，2),(Ldsyxf10)0,(dxxf，3),(Ldsyxf102)1,(dxxxf，Ldsyxf),(1010102)1,()0,(),0(dxxxfdxxfdyyf。2、设曲线L的方程为21xy，函数),(yxf在L上连续，现将曲线积分Ldsyxf),(化为定积分进行计算，则当取x为参数时，Ldsyxf),(11221)1,(xdxxxf，而当取y为参数时，Ldsyxf),(102221)],1(),1([ydyyyfyyf3、设曲线L的方程为24xy（)20x，则曲线L以极角为参数的参数方程20,sin2,cos2ttytx，用极坐标计算弧长的曲线积分时，Ldsyxf),(20)sin2,cos2(2dtttf。（其中),(yxf在L上连续）。4、设曲线的直角坐标方程是13222zzyx，则用柱面坐标中的为参数的参数方程为20,1,sin2,cos2tztytx，并利用它计算曲线积分dszyxf),,(202)1,sin2,cos2(dtttf，（其中f在上连续）。二、计算曲线积分Lxds，其中L为由直线xy及抛物线2xy所围成的区域的边界。解：)10(:),10(:221xxyLxxyL)12655(12111411010221dxxdxxxxdsxdsxdsLLL三、计算曲线积分Lyxdse22，其中L为圆周222ayx，直线xy及x轴在第一象限内所围成的扇形的边界。解：321LLLL，1),0(0:01122aaxLyxedxedseaxyLaaLyxaeadtedsettaytaxL4),40(,sin,cos:402222111),0(:2023322aaxLyxedxedseaxxyL2)42(141222aeeaeedseaaaaLyx四、计算曲线积分Ldsy2，其中L为摆线)cos1()sin(tayttax的一拱)20t。解：3202232043205320253202222215256)2(cos)2cos1(162sin2sin82sin242)cos1(2)]sin0([)]cos1([)cos1(atdtadtttadttadttadttatatadsyL五、计算曲线积分yzdsx2，其中为折线ABCD，这里A,B,C,D依次为点)2,3,1(),2,0,1(),2,0,0(),0,0,0(。解：0),10(,,0,0:2AByzdsxttzyxAB0),30(,2,0,:2BCyzdsxtzytxBC90012),30(,2,,1:302dttyzdsxtztyxCDCD9900)(22dsyzxyzdsxCDBCAB六、试求均匀心形线)0)(cos1(aar的重心。解：由对称性知0y，设线密度为常数。参数方程为：)20(,sin)cos1(sin,cos)cos1(cosaryarxadadadadaadsML42sin22sin4)cos1(2)sincos(cos)sincos2sin(202022020222222220516cos1(2cos)cos1(adadsxMLyaMMxy54所以所求重心坐标为)0,54(a。