电路分析基础-讲义-07

退出开始§7-1正弦量内容提要正弦量的基本概念同频率正弦量的比较同频率正弦量的运算周期信号的平均值、有效值21.正弦量的基本概念t)(tf02mF初相角:离函数轴最近的最大值发生的时刻.简称初相，其值在（）内。—初相角—秒—频率—角频率——最大值幅值—振幅—)1(Hz1)srad(2),(mTfTF正弦(sinusoidal)量：随时间按正弦规律变化的量。)cos()(mtFtf时域表示：初相角反映了正弦量初始值的大小。cos)0(mFf30：最大值发生在原点之左。0：最大值发生在原点之右。振幅(amplitude)、频率(frequency)、初相(initialphase)称为正弦量的三要素。正弦电压：)cos()(mutUtu正弦电流：)cos()(mitItit)(tf02mF01.正弦量的基本概念返回4t)(tf02mF02121)()(tt两个同频率的正弦量：定义相位差：0)()(21tftf超前0)((tftf21)滞后02二者同相二者反相2.同频率正弦量的比较)cos()(2m22tFtf)cos()(1m11tFtf二者正交返回注意：同名函数的比较53.同频率正弦量的运算同频率正弦量的代数加、微分、积分，其结果仍为同频率的正弦量。只是幅度和相位发生了改变。)cos()(mtFtf)sin()(ddmtFtft例如：)90cos(mtF返回64.周期信号的平均值、有效值ttfTFTvad)(10①平均值(averagevalue)设f(t)为周期信号,则其平均值为TttfTF02d)(1②有效值(effectivevalue)（方均根值—rootmeansquarevalue）的能量等于直流个周期内消耗的能量电阻上，在d)(11)(202TFttftfT7ttUTUuTd)(cos120m2mm70702III.有效值与幅值的关系以电压信号为例：)cos()(utUtum同理，有：)cos()(itItimmm70702UU.返回4.周期信号的平均值、有效值cos()2()iitIωtψ8退出开始§7-2正弦量的相量表示内容提要复数正弦量的相量表示小结101.复数j2a1a1AaO21jaaAcos1aa实部的直角坐标形式复数Asin2aa虚部aaAje12arctanaa幅角2221aaa模的极坐标形式A其中：1j为虚数单位。其中：cosasinja1.1复数的表示11（1）相等：两个复数:,21jaaA21jbbB,11ba22ba,baBA或（2）加减：)()(2211bajbaBA（3）乘法：BAjjbaBAeeBAab)(eBAjabBAbaBAjjbaBAee（4）除法：)(eBAjba1.复数1.2复数的运算返回12变换方法的概念变换方法的基本思路：1）把原来的问题变换为一个比较容易处理的问题。2）在变换域中求解问题。3）对变换域中求得的解答进行反变换得到原来问题的解答。基于变换方法的思路，对正弦稳态电路我们也采用这种方法进行分析，所以，要先确定如何进行变换。132.正弦量的相量表示在欧拉公式sinjcosej两边同时乘以一个常数mF，并将用代替，得：t)+sin(j+)+cos(=emm)+(jmψtωFψtωFFψtω上面复数的实部就是我们介绍的正弦量，所以：)(jmmeRe)cos()(tFtFtf[][]tωtωψFFjmjjmeRe=eeRe=其中:ψFFjmme=，并简记为ψFF∠=mm其模为正弦量的幅值，幅角为正弦量的初相。142.正弦量的相量表示为角速度旋转的旋转相量来表示，复常数mmFF就这个旋转相量的复振幅。这个旋转相量在实轴上的投影就是复指数的实部，即我们介绍的正弦量。二者的对应关系如下图所示。j+12t3t1tO2t3tjmReetftFtO1t因此，我们可以用复数表示正弦量，并称其为正弦量的相量tFjme是一个复指数函数，可用复平面上以152.正弦量的相量表示正弦电压)cos(2)(utUtu和电流)cos(2)(itIti的相量分别表示为：uUUmmiIImmmU、mI称为正弦量的幅值相量。因为正弦量的幅值和有效值之间存在2倍的关系，所以也可以用有效值相量表示，即：uUUiII而这种方式用得更多，所以，今后若无特别说明，均指有效值相量。162.54.33VjA)1.53cos(210)(ttiV)60cos(5)(ttu（1）已知A1.531086jI（2）已知它的正弦时域表示式为60sin560cos5j60m5e560jU==邪&它的幅值相量例题17例题（续）。，求其相量已知mIttiA6sin22)(（3）906cos22)(ttiA6022mIA)60cos(22t首先将i(t)用余弦函数表示182.正弦量的相量(phasor)表示2.3相量图作为一个复数，相量在复平面上可用有向线段表示。所以，将相量在复平面上的图示称为相量图。相量图表示了同频率的各正弦量之间的幅值和相位关系。605mU1.5310m1I60222mI+1+jomU1mI2mI60601.53返回193.小结（1）正弦量是时间的函数（时域），而相量只包含了正弦量的幅值（或有效值）和初相位（复数域），它只能代表正弦量，而并不等于正弦量。即：)()(mmtuUtiI（2）在确定的频率下，正弦量和相量之间存在一一对应关系。给定了正弦量，可以得出表示它的相量；反之，由一已知的相量及其所代表的正弦量的频率，可以写出它所代表的正弦量。返回204.相量的性质--线性性质表示若干个同频率正弦量线性组合的相量等于表示各个正弦量的相量的同一线性组合。若：111FF)(1tf，222FF)(2tf1a2a设和是两个实数，则：2211FaFa)()(2211tfatfa即其中：21已知：)30cos(20)(1ttu。求)()(21tutu解：根据线性性质:进行反变换得：)60cos(40)(2ttu，3020)(m11Utu6040)(m22Utu60403020m2m1UU)64.3420()1032.17(jj64.2432.37j43.3372.44)43.33cos(72.44)()(21ttutu例题225.相量的性质--微分性质若：FF)(tf则：90FFjttftfd)(d)('推广到n阶导数：nnnttftfd)(d)()(Fjn)(结论：运用相量的线性性质和微分性质可以将常系数线性微分方程变换为复数代数方程。23退出开始§7-3基尔霍夫定律的相量形式内容提要•基尔霍夫定律•电阻元件•电容元件•电感元件25KCL的时域形式：10Kkki线性非时变电路在单一频率的正弦激励下（正弦电源可以有多个，但频率完全相同）进入稳态时，各处的电压、电流都为同频率的正弦量。m11Re[e]KKjtkkkkiI0m1Re[e]KjtkkI]eRe[1mtjKkkI]e2Re[1tjKkkI基尔霍夫定律的相量形式26m1100KKkkkkII，m1100KKkkII，所以：——相量形式m1100KKkkkkUU，同理可得KVL的相量形式为：m1100KKkkUU，注意基尔霍夫定律的相量形式271.电阻元件iuR)cos()(mitIti设Riu]eRe[)(mtjUtu根据VCR：所以：由定义：mmIRU电阻元件VCR的相量形式]eRe[mtjI]eRe[mtjIRIRUmURmI相量模型28mUmIiuo+1+j相量图uUUmm结论：电阻元件的电压与电流同相位。1.电阻元件iRIIRmmmmRIUiu所以或RIUiu返回292.电容元件)cos()(mutUtu设tuCtidd)(Cui根据VCR：)e(ddRemtjUtCtjUCjmeRetjImeRe]eRe[mtjU]}e{Re[ddtjmUtCmmUCjI电容元件VCR的相量形式所以：UCjICj1mUmI相量模型30uCUjUCjmmmUmIu90O+1+j相量图iIImm90muCU所以mmCUI90ui或CUI90ui结论：电容元件的电流超前电压,亦即电压滞后电流。90902.电容元件返回313.电感元件uiL)cos()(mitIti设]eRe[mtjIdd)(tiLtu根据VCR：]eRe[mtjILj]eRe[mtjU]}e{Re[ddmtjItLmmILjU所以：ILjU电感元件VCR的相量形式mUmILj相量模型32uUUmmmUmIi90o+1+j相量图iLIjILjmm90miLImmLIU90iu所以或LIU90iu结论：电感元件的电压超前电流,亦即电流滞后电压。90903.电感元件33电路如图所示，已知。V)901000cos(120)(ttu，15RμF,3.83C求电流。)(ti解:V90120mU1590120mmRUIRA049010301000901203901201038310006.jA1018010，mH30L8A908j+-L)(tuCR)(ti)(tiR)(tiC)(tiLmCmUCjILjUILmm例题34根据KCL：mmmmLCRIIIIA12710864108jjA)1271000cos(10)(tti所以：+1+jomUmRImCImLImmLCIImI127相量图V90120mUA908mRIA18010mCIA04mLI返回解（续）35退出开始§7-4阻抗和导纳的引入内容提要欧姆定律的相量形式R、L、C元件的阻抗和导纳37R、L、C元件VCR的相量形式：mmZIU——元件的阻抗(impedance)（单位：欧姆）1ZY——元件的导纳(admittance)（单位：西门子）mmIZUmmRRIRU1mmCCICjUmmLLILjU——欧姆定律的相量形式1.欧姆定律的相量形式mmUI返回382.R、L、C元件的阻抗和导纳2.1阻抗CjCjZC11LjZL1表示。即：为容抗，用称CXCRZRCXC1表示。即：为感抗，用称LXLLXL)reactance(表示。，用统称为电抗和感抗容抗XXXLC39分析：|XC|与成反比，越小，|XC|越大。当＝0（直流